三角形中线的几种用法

三角形中线的几种用法一、加倍法加倍法是三角形中线的最基本最常见的用法，其基本思路是：把三角形一边的中线延长，并截取中线长，得到二倍的三角形的中线长，利用三角形全等或中心对称，证明有关线段（或角）的相等及不等关系．基本模式是：如图1，已知：△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD至E，使DE=AD，则有：△ADC≌△EDB，BE∥AC，BE=AC．例题已知：如图2，AD为△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BＦ．证明：延长AD至H，使DH=AD，则△ACD≌HBD(SAS)，AC=BH，∠HAC=∠H∵AE=EF，∴∠AFE=∠AEF，由∠BFH=∠AFE得∠BFH=∠H，∴BF=BH，∴AC=BF．图1EDCBA图2HFEDCBA二、利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分来解决有关面积的求解问题基本模式是：若AD为△ABC中线，则S△ABD=S△ADC=21S△ABC．例题已知：如图3，△ABC中，M是AB中点，MD⊥BC，EC⊥BC，S△ABC=24，求S△BDE．解：连接MC，由题意知：DM∥EC，∴S△DME=S△DMC，又∵M为AB中点，∴S△BCM=21S△ABC，∴S△BDE=S△BCM=21S△ABC=12．三、关于“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”的用法基本模式：如果CD是Rt△ACB斜边AB上的中线，则有：CD=21AB．例题已知：如图4，∠ABC=∠ADC=90°，点M、N分别是对角线AC、BD的中点，求证：MN⊥BD．证明：连结BM、DM，则由∠ABC=90°，M为AC的中点，得：BM=21AC，同理：由∠ADC=90°，M为AC的中点，得：MD=21AC，∴BM=DM，由N为BD中点及等腰三角形三线合一性质，得MN⊥BD．四、关于三角形重心问题的应用基本模式是：若O为△ABC的三条中线AD、BE、CF的交点（即△ABC的重心），则有ODOA=OEOB=OFOC=12．例题已知：如图5，线段PQ过△ABC的重心M，P、Q分别内分AB、AC的比值为p、q，求p1+q1．解：作射线AM交BC于D点，分别过B、C两点作PQ的平行线交AM于G、F，∵M为△ABC的重心，∴DB=DC，MDAM=2：1，∴△BDG≌△DCF，∴DG=DF．