高等数学上册第二章第一节--导数的概念

第二章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.英国数学家Newton一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数第一节导数的概念第二章一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为0t则到的平均速度为v)()(0tftf0tt而在时刻的瞬时速度为lim0ttv)()(0tftf0tt221tgsso)(0tf)(tft自由落体运动xyo)(xfyC2.曲线的切线斜率曲线NT0xM在M点处的切线x割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率tan)()(0xfxf0xx切线MT的斜率tanlimlim0xxk)()(0xfxf0xx两个问题的共性:so0t)(0tf)(tft瞬时速度切线斜率xyo)(xfyCNT0xMx所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题二、导数的定义定义1.设函数在点0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0xfxfy0xxx存在,并称此极限为记作:;0xxy;)(0xf;dd0xxxy0d)(dxxxxf即0xxy)(0xfxyx0lim则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.运动质点的位置函数)(tfsso0t)(0tf)(tft在时刻的瞬时速度0t曲线)(:xfyC在M点处的切线斜率xyo)(xfyCNT0xMx)(0tf)(0xf说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.)()(0xfxfy0xxx若上述极限不存在,在点x0不可导.若,lim0xyx也称f(x)在x0的导数为无穷大.若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:;y;)(xf;xdyd.)(xdxdf就说函数就称函数在I内可导..)(,)()(lim)(10的导数在任意点则称该极限为存在如果极限义函数在任意点的导数定定义xxfxxfxxfx注意:)(0xf0)(xxxfxdxdf)(0例1.求函数(C为常数)的导数.解:y即例2.求函数解:axafxf)()(axlimaxaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1naxxfxxf)()(0limx说明：对一般幂函数xy(为常数)1)(xx例如，)(x)(21x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后将证明）hxhxhsin)sin(lim0例3.求函数的导数.解:则hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx)2cos(lim0hxhxcos即xxcos)(sin类似可证得xxsin)(cos例4.求函数的导数.解:hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0即xx1)(ln0limhh1x1x0limhelnxhhh1lim0或则令,0hxt原式是否可按下述方法作:例5.证明函数在x=0不可导.证:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在,例6.设存在,求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解:原式0limh)(0xfhhxf2)(0)(0xf)(210xf)(210xf)(0xf)(2)(0hhxf)(0xf函数f(x)导数定义专题.)2()(.0)(.)(2)(.)()(][)()(lim,)(.10afDCafBafAxxafxafaxxfx等于则处可导在设xafxafxafxafxxafxafxx)()()()(lim)()(lim00因,)(处可导知在而由axxf)()()(lim0afxafxafxxafxafx)()(lim0xafxafx)()]([lim0)()()(lim0afhafhafh).(2)()(lim0afxxafxafx从而.)()(lim)(.2)()(lim)(.)()2(lim)(.)()1(lim)()(,)(.2000存在存在存在存在一个充分条件是处可导的在则的某邻域内有定义在设函数hhafafDhhafhafChhafhafBafhafhAaxxfaxxfhhhhhafhafhhafafhh)()(lim)()(lim00因解hafhafh)()(lim0taftaftth)()(lim0令).(af)]()1([lim),(afhafhAh对于taftafhafhafth)()(lim/1)()/1(lim0只是右极限存在,极限存在不一定存在.hhafhafBh)]()2([lim),(0对于hafhafafhafh)]()([)()2(lim0])()()()2([lim0hafhafhafhafh])()(2)()2(.2[lim0hafhafhafhafh,)]()2([lim0存在显然hhafhafhhafhafh2)()2(.2lim0不能得出.)()(lim0存在与hafhafh(C)的分析与(B)相同..)1(,1)()(.)1(,1)()(.)1(,1)()(.1)()(,,,)0(),()1()(.3abfxxfDbfxxfCafxxfBxxfAbabfxafxfxxf且处可导在且处可导在且处可导在处不可导在则为非零常数中其且均满足对任意的设函数hfhfh)1()1(lim0解hfhfh)01()1(lim0hafhafh)0()(lim0hfhfah)0()(lim0.)0(abfa重要结论.)(,0)()(lim,)(00000AxfxfAxxxfxxxfxx则处连续在若函数Axxxfxxxxxx)()(lim,0)(lim0000且因证0)(lim0xfxx.0)(lim)(,)(000xfxfxxxfxx于是处连续在又由导数的定义可得000)()(lim)(0xxxfxfxfxxAxxxfxx0)(lim0)(.0)(.0)(.0)(.0)()()(,)0(,)(.4DxDxCxBxAxxfxgfxf有可去间断点处右极限不存在在有跳跃间断点处左极限不存在在则函数存在且为不恒等于零的奇函数设xxfxgxx)(lim)(lim00.)0(0)0()(lim0fxfxfx作业题.)(.)(.)(.)()(0,0)0(,0)0(,0)(,0,)0(0,)()(此确定连续点或间断点不能由第二类间断点第一类间断点连续点的是则处可导在其中设DCBAxFxffxxfxfxxxfxF三、导数的几何意义xyo)(xfyCT0xM曲线在点的切线斜率为)(tan0xf若曲线过上升;若曲线过下降;xyo0x),(00yx若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:)0)((0xfxyo0x1111例7.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:3231x,0xy令,3113132x得,1x对应,1y则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线.2)(.21)(1)(.2)())1(,1()(,12)1()1(lim,)(80DCBAfxfyxxffxfx处的切线斜率为在点则曲线且满足为可导函数设例xfxfxxffxx2)1()1(lim2)1()1(lim100解)1(21)1()1(lim21)1()1(lim2100fhfhfxfxfhxhx令.2)(.1)(0)(.21)())5(,5()(,12)1()1(lim,4,),()(90DCBAfxfyxxffxfx处的切线斜率为在点则曲线又周期为内可导在设周期函数例.2)(.1)(0)(.21)())3(,3()(,12)1()1(lim,4,),()(0DCBAfxfyxxffxfx处的切线斜率为在点则曲线又周期为内可导在设周期函数作业题)4()(,),()(xfxfxf且内可导在因为)4()(xfxf故)8(.2)1()41()5(例于是fff四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x处可导,存在,因此必有其中故0x所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:xyoxy在x=0处连续,但不可导.即在点的某个右邻域内五、单侧导数若极限则称此极限值为在处的右导数,记作)(0xf即)(0xf(左)(左))0(x)0(x))((0xf0x例如,xxf)(在x=0处有xyoxy定义2.设函数有定义,存在,定理2.函数在点且)(0xf存在)(0xf简写为在点处右导数存在定理3.函数在点必右连续.(左)(左)若函数)(bf与都存在,则称显然:在闭区间[a,b]上可导在开区间内可导,在闭区间上可导.可导的充分必要条件是且.)(.)(.)(.)()(1,1,21,11)(.12可导且导数连续可导但导数不连续连续但不可导不连续处函数则在设DCBAxfxxxxxxf11lim21xxx,2)1(lim1xx11lim)(lim211xxxfxx因解11lim)(lim211xxxfxx11lim21xxx,2)1(lim1xx.1)(,)(lim1处不连续在即不存在故xxfxfx.)(.)(.)(.)(0)(,0,00,1sin)(.22可导连续但不可导极限存在但不连续极限不存在处在则设函数DCBAxxfxxxxxf,1sin,,02是有界量而是无穷小量时由于当解xxx.01sinlim20xxx故.0)(处连续在因此xxf.0)(,1sin1lim1sinlim1sinlim0)0()(lim2020200处不可导在所以不存在又xxfxxxxxxxxfxfxxxx.0)(.1)(.2)(.3)()2()(.332DCBAxxxxxf不可导点的个数为函数,0处不可导在xx,11处不可导在xx,11处不可导在xx处可导在又11)1(xxx.10)(xxxf与不可导的点为故11)1)(2()(xxxxxxf解.0)(.1)(.2)(.3)()()(.32DCBAxxxxxf不可导点的个数为函数作业题.)(.)(.)(.)(1)(0)1(,1)(),(1)(.43即非必要也非充分条件充分但非必要条件必要