第一课向量与线性方程组

●向量与线性方程组引例一个方程对应一组数112212,,,,nnnaxaxaxbaaab矩阵的一行对应一组数线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。●向量的定义由n个数12,,,naaa组成的有序数组12(,,,)naaa称为一个n维行向量，记作12(,,,)naaa，其中称为向量ia的第i个分量（或坐标）。如果将有序数组写成一列的形式，则称向量为列向量。12naaa实际上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。●几个概念1、同维向量：分量个数相等的向量称为同维向量。2、相等向量：如果向量与是同维向量，而且对应的分量相等，则称向量与相等。3、零向量：分量都是0的向量称为零向量，记作O。4、负向量：称向量为向量的负向量，记作。12,,,naaa12,,,naaa12,,,n5、向量组：如果n个向量是同维向量，则称为向量组12,,,n●向量的线性运算1、向量的加减法，称向量设1212,,,,=,,,nnaaabbb，则称向量1122,,,nnababab为向量与向量的和向量，记作1122,,,nnababab为向量与向量的差向量，记作。2、数乘向量向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算。12(,,,),,naaaR设向量则称向量12(,,,)naaa为数与向量的数称向量，记作●向量线性运算的运算律1（）交换律结合律分配律2（）（）（）(4)()OO（3）(8)()(5)1(6)()()()(7)（）=例121011334设向量（，，），（，，），求3432104113630441210712，，，，，，，，，，解练习：已知，求3,5,7,9,1,5,2,0,解4,0,5,911112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb（1）12(1,2,,)jjjmjaajna1122nnxxxb则方程组有向量形式●线性方程组的向量表达式若记线性方程组j即为系数矩阵的第列j●向量的线性关系解设1122kk则121122122512382613kkkkkkkk所以122线性组合的概念：设有同维向量，如果存在一组数，使得成立，则称向量可由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合。12,,,,n12,,,nkkk1122nnkkk12,,,n12,,,n例212121（，，），（2,3,6）,=（5,8,13），设判断向量能否由向量组线性表示？如果可以，求出表达式。12，1122nnxxx小结：可由向量组线性表示线性方程组有解12n，，，●线性相关、线性无关的概念●显然：含有零向量的向量组是线性相关的。因为121000nOO12n，，，12,,,nkkk1122nnkkko12n，，，设有向量组，如果存在一组不全为零的数，使得成立，则称向量组线性相关，否则，称向量组线性无关。即当且仅当全为零时，才成立，则称向量组线性无关。12n，，，1122nnkkkO12n，，，12,,,nkkk●两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。1210000100000n，，，，，，，，，，，，，，，1证明例3证明下列向量组线性无关。1122nnkkko设12000nkkk（，，，）（，，，）则120nkkk所以12n，，，所以向量组线性无关。12n，，，称向量组为n维向量空间的单位坐标向量组。任何一个n维向量都可由向量组线性表示，12,,,naaa12n，，，12naaa12n例4讨论向量组121122102151，，，，，，，，，，342031311041，，，，，，，，，的线性相关性解设112233440kkkk则134124123123412342020230254030kkkkkkkkkkkkkkkkk利用矩阵的初等变换，可求得12342,1,0kkkk注：有无穷多组解可见，向量组线性相关齐次线性方程组有非零解12,,,n11220nnxxx所以向量组线性相关。1234,,,练习判断向量组的线性相关性1232,1,1,1,0,3,2,0,2,4,3,1解设1122330kkk则有13123123132203402300kkkkkkkkkk因为1231,1,1kkk是方程组的一组非零解所以123,,线性相关证明例5已知向量组线性无关，证明：向量组线性无关。123，，122331，，1122233310kkk设1311222330kkkkkk（）（）（）则123，，因为线性无关323000kkkkkk112所以有230kkk1解得122331，，所以向量组线性无关。例6设123,,线性无关，又312323，试证明123,,线性相关11232232,,证明设1122330kkk则有13112321233(2)()(23)0kkkkkkkk因为123,,线性无关所以有13123123200230kkkkkkkk由于1021110213所以123,,kkk不全为零所以123,,线性相关事实上，可取1232,1,1kkk证明因为向量组12m，，，，线性相关所以存在一组不全为零的数mkkk,,,21，使得02211kkkkmm则0k否则，若0k则由m,,,21线性无关，可推得021mkkk于是向量组12m，，，，线性无关这与已知矛盾，所以0k12m，，，定理若向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量可由向量组线性表示，而且表示方法惟一。12m，，，12m，，，，于是11221()mmkkkk假设另有表达式1122mmlll则可得121122()()()0mmmkkklllkkk由于m,,,21线性无关，所以),,2,1(mikklii且表示方法唯一所以可由向量组线性表示，12m，，，所以可由向量组线性表示。12m，，，定理向量组n,,,21线性相关的充分必要条件是该向量组中至少有一个向量可由其余的向量组线性表示。证明因为向量组n,,,21线性相关所以存在不全为零的数12,,,nkkk使得11220nnkkk不妨设10k于是有1223311()nnkkkk反过来，若有23,,,n1可由线性表示12233mmlll则有223310mmlll所以n,,,21线性相关例7设21231,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,试问为何值时，可由123,,线性表示，且表示方法唯一？解设112233xxx则有12312321231111xxxxxxxxx（*）因为可由123,,线性表示，且表示方法唯一所以，方程组（*）只有唯一的一组解所以有1111110111解得03且小结：齐次线性方程组11220nnxxx有非零解齐次线性方程组11220nnxxx只有零解12,,,n线性相关向量组（1）向量组12,,,n线性无关（2）(3)向量可由向量组线性表示12,,,n线性方程组有解1122nnxxx●向量组的线性相关性的几个性质定理1、单个非零向量是线性无关的。2、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。3、增加向量，不改变向量组线性相关；减少向量，不改变向量组线性无关。即部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关。4、增加分量，不改变向量组线性无关；减少分量，不改变向量组线性相关。即低维无关，则高维无关；高维相关，则低维相关。5、n+1个n维的向量构成的向量组是线性相关的。个数大于维数的向量组是线性相关的。●矩阵的K阶子式的概念从矩阵A中任取K行K列，其交叉位置上的元素保持相对位置不变，而构成的K阶行列式，称之为矩阵A的一个K阶子式。如13060274A则矩阵A共有个二阶子式。它们是：246C113202D210707D316404D4302127D536024D6064274D●矩阵的秩的概念矩阵A中所有不为零的子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记作R(A)或r(A)。显然，如果R(A)=r，则A中至少有一个r阶子式不等于零，所有高于r阶的子式都为零。例如123221344A因为0A122022所以()2RA如果A为mχn矩阵，则R(A)≤min(m,n)。特别当R(A)=m时，称矩阵A为行满秩；当R(A)=n时，称矩阵A为列满秩；当R(A)=m=n时，称矩阵A为满秩矩阵。定理推论任意m个n维的向量线性相关m*n矩阵A的m个行向量线性相关的重要条件是R(A)m定理矩阵A的秩为的充要条件是A中存在r个行向量线性无关，且任意r+1个行向量(如果存在）线性相关n个n维的向量线性无关的充要条件是他们组成的矩阵的行列式不等于零推论m个n维向量线性相关的充要条件是由他们组成的m*n矩阵的秩为m(m≤n)推论•行阶梯矩阵，行最简单矩阵设A为m*n的矩阵，若A为行阶梯，满足下列三个条件（1）a11,a22，…，ann以下的元素全为零(2)每一行的每一个非零元前面的零元个数大与前一行的这种零元的个数（3）如果某一行的元全为零，则以下额所有行的元全为零非零行的每一个零元为1，且这些非零元1所在的列的其他元素都为零的行阶梯矩阵称为行最简单矩阵。21032031250004300000B12012023210009800000B行阶梯矩阵的秩等于非零行的个数，行最简单行矩阵的秩等与1的个数●利用矩阵的初等变换求矩阵的秩矩阵的初等变换不改变行列式是否为零的性质。所以有：定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。例求矩阵的秩010211211344A解将矩阵作初等变换3112324112111210102010213440465112101020063rrrrrrA所以R(A)=3行阶梯形●课堂练习：123(1)221343A12001213(