数学文化

数学文化第一讲绪论一、什么是数学文化？1.“文化”的内涵：狭义：仅指知识。说一个人“有文化”，就是说他有知识。广义：泛指人类的物质财富和精神财富的积淀，是一种上层建筑，有相对的稳定性。数学文化中的“文化”，用的是“文化”的广义解释。“中华民族的文化”、“校园文化”、“佛教文化”等中的“文化”，用的也都是“文化”的广义的解释。2.“数学文化”的内涵狭义：数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展；广义：除上述内涵以外，还包含数学史、数学家、数学美、数学教育、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系。3.为什么要开设数学文化课程？大学生文化素质的要求：数学文化课程在北京大学、南开大学等高校已成为大学生非常喜爱的一门校级选修课。“数学文化课向我展示了数学极富魅力的一面。不是以往数学课上的定理、公式、计算和题海；而是数学的思想、精神和方法。我第一次用美学的眼光来看待数学；第一次了解到数学在各个领域所发挥的重要作用；第一次走进数学史的长河，去追随数学家的足迹；第一次体会到数学中浓郁的人文主义精神；第一次知道曾深刻影响人类社会发展进程的三次数学危机；希尔伯特的23个问题等等。”小学教师职业发展的需要：“数学教育决不仅仅是数学知识和技能的教育，要让学生“获得基本的数学思想方法……，体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值。”——义务教育新数学课程标准大学阶段数学课的课时虽然较多，但多半以讲授数学知识及其应用为主，对于数学在思想、精神及人文方面的一些内容，很少涉及，甚至连数学史、数学家、数学思想、数学观点、数学思维、数学方法这样一些基本的数学文化内容，也只是个别教师在讲课中零星地提到一些，所以，职前教师虽然学了多年的数学，仍然对数学的思想、精神了解得很肤浅，对数学的宏观认识和总体把握较差。4.数学文化和传统数学课程在目标上存在较大差异传统的数学课程关注数学知识目标；数学文化课程关注数学思想、方法、精神、观点二、数学家谈数学数是一切事物的本质，整个有规律的宇宙的组织，就是数以及数的关系的和谐系统。——毕达哥拉斯学派1、数学是哲学欧几里得在《原本》中对数学的定义几乎都是从哲学方面提出的。比如：点是没有部分的那种东西；线是没有宽度的长度；直线是同其中各点看齐的线；面是只有长度和宽度的那种东西。……圆是包含在一(曲)线里的那种平面图形，从其内某一点达到该线的所有直线彼此相等。2、数学是科学数学，科学的皇后；算术，数学的皇后。——高斯3、数学是工具数学是一个知识工具，比任何其他由于人的作用而得来的知识工具更有力，因而它是所有其他知识工具的源泉。——笛卡尔80年代Hauptmann得了诺贝尔化学奖，他解决的是如何用X光确定晶体结构的问题，主要靠的就是数学。获得诺贝尔化学奖以后，他跟人讲，我的化学水平就是大学念了半年的普通化学。4、数学是艺术许多艺术能够美化人们的心灵，但却没有哪一种艺术能比数学更有成效地去美化和修饰人们的心灵。——毕林斯雷美国当代数学家A.波莱尔在80年代初的一次演讲中指出：“一方面，数学是一门科学，因为它的主要目的是为自然科学和技术科学服务的，这个目的实际上正是数学的起源，常常成为问题的源泉；另一方面，数学也是一门艺术，因为它主要是思维的创造，靠才智取得进展，很多进展出自人类的脑海深处，而且只有美学标准才是最终的鉴定者。”三、数学的定义？1、数学究竟是什么？方延明的《数学文化导论》里，收集了数学的15个所谓的“定义”。从数学研究的对象看：数学研究数和量、数学研究现实世界的数量关系和空间形式、数学研究计算、数学研究模型、数学研究演绎系统……；从数学的价值看：数学是符号语言、数学是工具、数学是模式、数学是思维活动、数学是一切科学的基础……；从数学所从事的领域看：数学是技术、数学是逻辑、数学是自然科学、数学是艺术、数学是文化……。这15个定义，其实是从不同角度来看数学。古往今来，看法不一。这有赖于人们看问题的不同角度和人们对数学理解的不同层次。2、数学的经典定义数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。——恩格斯恩格斯关于数学的定义是经典的，概括了当时数学的发展，即使在目前也概括了数学的绝大部分。但是在19世纪末，数理逻辑诞生了。在数理逻辑中既没有数也没有形，很难归入恩格斯的定义。于是人们又考虑数学的新定义。3、数学是模式数学的本质就是研究相关模式的最显著的实例。——怀特海第二讲数学的发展时期一、数学形成时期（远古——公元前5世纪）建立自然数的概念，认识简单的几何图形；算术与几何尚未分开。当对数的认识变得越来越明确时，人们感到有必要以某种方式来表达事物的这一属性，于是导致了记数。人类现在主要采用十进制，与“人的手指共有十个”有关。而记数也是伴随着计数的发展而发展的。二、常量数学时期（前5世纪——公元17世纪）也称初等数学时期，形成了初等数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。该时期的基本成果，构成现在中学数学的主要内容。1．古希腊（前5世纪——公元6世纪）毕达哥拉斯——“万物皆数”欧几里得——《几何原本》阿基米德——面积、体积阿波罗尼奥斯——《圆锥曲线论》托勒密——三角学丢番图——不定方程2．东方（公元2世纪——15世纪）1）中国西汉（前2世纪）——《周髀算经》、《九章算术》魏晋南北朝（公元3世纪——5世纪）——刘徽、祖冲之出入相补原理，割圆术，算π宋元时期（公元10世纪——14世纪）宋元四大家——杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰天元术、正负开方术——高次方程数值求解；大衍总数术——一次同余式组求解2）印度现代记数法（公元8世纪）——印度数码，有0，负数；十进制（后经阿拉伯传入欧洲，也称阿拉伯记数法）数学与天文学交织在一起阿耶波多——《阿耶波多历数书》（公元499年）开创弧度制度量婆罗摩笈多——《婆罗摩修正体系》、《肯特卡迪亚格》代数成就可贵婆什迦罗——《莉拉沃蒂》、《算法本源》（12世纪）算术、代数、组合学3）阿拉伯国家（公元8世纪——15世纪）花拉子米——《代数学》曾长期作为欧洲的数学课本，“代数”一词，即起源于此；阿拉伯语原意是“还原”，即“移项”；此后，代数学的内容，主要是解方程。阿布尔．维法奥马尔．海亚姆阿拉伯学者在吸收、融汇、保存古希腊、印度和中国数学成果的基础上，又有他们自己的创造，使阿拉伯数学对欧洲文艺复兴时期数学的崛起，作了很好的学术准备。3．欧洲文艺复兴时期（公元16世纪——17世纪）1）方程与符号意大利－塔塔利亚、卡尔丹、费拉里三次方程的求根公式法国－韦达引入符号系统，代数成为独立的学科2）透视与射影几何画家－布努雷契、柯尔比、迪勒、达．芬奇数学家－阿尔贝蒂、德沙格、帕斯卡、拉伊尔3）对数简化天文、航海方面烦杂计算，希望把乘除转化为加减。英国数学家－纳皮尔三、变量数学时期（公元17世纪——19世纪）家庭手工业、作坊→工场手工业→机器大工业对运动和变化的研究成了自然科学的中心1．笛卡尔的坐标系（1637年的《几何学》）恩格斯：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……”2、牛顿和莱布尼兹的微积分（17世纪后半期）3、微分方程、微分几何、复变函数、概率论第三个时期的基本结果，如解析几何、微积分、微分方程，高等代数、概率论等已成为高等学校数学教育的主要内容。四、现代数学时期（公元19世纪70年代——）１．康托的“集合论”2．柯西、魏尔斯特拉斯等人的“数学分析”3．希尔伯特的“公理化体系”4．高斯、罗巴契夫斯基、波约尔、黎曼的“非欧几何”5．伽罗瓦创立的“抽象代数”6．黎曼开创的“现代微分几何”7．其它：数论、拓扑学、随机过程、数理逻辑、组合数学、分形与混沌等。现代数学时期的结果，也成为高校数学、力学、物理学等学科数学教学的内容，并被科技工作者所使用。作业：以常量数学和变量数学为线索，数学的历史可划分为哪几个时期？并简述每一个历史时期的特点。第三讲河谷文明中的数学一、古代埃及数学1、古埃及的纸草书：古埃及人用纸草作为书写材料，由于埃及地区气候干燥，因此有些纸草能幸运保存至今。其中有两卷纸草记录了古埃及的数学资料。它们都产生于公元前1700年左右。2、古埃及记数方法：古埃及人使用的是以10为基的象形数字计数的。如：︱表示1，∩表示10，︱︱∩∩∩=3210进位记数系统，但不是位值制3、古埃及的叠加法：古埃及人的算术主要用叠加法。做通常加减法时，他们只是填上或化掉一些记号，以求得最后结果。4、古埃及的乘除计算：5、古埃及的单位分数：古埃及人通常用单位分数的和来表示分数。在兰德纸草中有个数表，它把分子为2分母为5到101的奇数的这类分数，表达成为单位分数的和，用现代的记号可表示为：6、古埃及的方程：古埃及人能解决相当于今天解方程的问题，但实质上用的是纯粹算术的方法，还没有出现代数语言，并不存在解方程的概念。7、古埃及的几何：古埃及人留下了许多气势宏伟的建筑，其中最突出的是约公元前2900年兴建的金字塔，还有与金字塔媲美的阿蒙神庙。这些宏伟建筑的落成，离不开几何学知识。“假如河水冲毁了一个人所得任何一部分土地，国王就会派人去调查，并通过测量来确定损失的确切面积。……我认为正是由于这类活动，埃及人首先懂得了几何学，后来又把它传给希腊人。”希罗多德《历史》二：古巴比伦的数学巴比伦人是指居住在底格里斯和幼发拉底两河之间及其流域上的一些民族。这块地方古代叫美索不达米亚，是今日伊拉克的一部分。美索不达米亚文明历史简表公元前4300年……南部奥拜德文化前期公元前3500年……苏美尔人定居在幼发拉底河岸公元前2600年……乌尔第一王朝兴起公元前1894年……巴比伦第一王朝兴起公元前1800年……汉穆拉比王朝（1792-1750BC）公元前1244年……亚述王统治巴比伦公元前625年……新巴比伦王朝公元前320年……马其顿王亚历山大统一美索不达米亚1、古巴比伦的楔形数字：巴比伦人的文字是楔形文字——一种断面呈三角形的笔斜刻泥板,在板上按不同方向刻出楔形刻痕。2、古巴比伦的记数方法：采用60进位的位值制计数法如：1.4=1×60+4=6458.1=58×60+1=34813、古巴比伦的分数：巴比伦人经常使用分数，而且通常以60，602，…，为分母。但他们并没有像现代的十进位分数那样的记号，而是与表示整数的符号相混淆。因此，要弄清巴比伦数字的真正数值，还必须联系上下文进行推断。三、总结1、在古巴比伦和古埃及的数学中，有整数和分数的计算，有进位制计数法，有初步的代数和几何上的一些经验公式。2、几乎还没有成套的记号，几乎没有有意识的抽象思维，没有证明——使人能相信他们所做的运算步骤或所用的公式是正确的。3、在这两种文明中，数学并没有成为一门独立的学科，它只是一种工具，在形式上表现为一些无联系的简单法则，用于解决人们日常生活中所碰到的问题。第四讲古希腊数学家“希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上，他们虽也取用了周围其他文明世界的一些东西，但希腊人创造了他们自己的文明和文化，这是一切文明中最宏伟的，是对现代西方文化的发展影响最大的，是对今日数学的奠基有决定作用的。文明史上的重大问题之一，是探讨何以古代希腊人有这样的才气和创造性。”——M.克莱因《古今数学思想》第一册P27问题：“为什么古希腊在数学史上至高无上”？古希腊不是一个国家，是一种文明，一个包含了上千个城邦的世界。古希腊既没有大河也没有大平原，有的只是山与山之间的小块平原或谷地。海洋性的地理格局使得航海成为希腊人日常生活的一部分。航海生活方式意味着人口能周游四方、见多识广，同时将散居在各地的希腊部族联系了起来，使不同的希腊人群体即便远在天边也能共享一种文化。一、希腊数学发展的三个阶段1、雅典时期（公元前700年到公元前323年）：从伊奥尼亚学派到柏拉图学派2、亚历山大前期（从公元前323年到公元前30年）3、亚历山大后期（从公元前30年到公元600年）：罗马人统治下的时期二：泰勒斯——论证数学的开创者圆被任一直径平分；等腰三角形的两底角相等；两直线相交，对顶角相等；在两个三角