动态最优化第6讲-变分法约束问题

动态最优化方法——第6讲变分法约束问题第六讲变分法约束问题基本形式的变分法：带有约束条件的变分法：边界条件或dttytytFyVMinMaxT0,,适当的边界条件mnmnTnncyytgcyytgTSdtyyyytFVMax,,,,,,..,,,,,,1111011第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（1）等式约束形式：（m个独立的约束，mn）都是常数）（适当的边界条件mmnmnTnncccyytgcyytgTSdtyyyytFVMax,,,,,,,,..,,,,,,11111011第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（1）等式约束静态最优化等式约束问题：构造拉格朗日函数：mixhTSExxfMinin,,2,1,0..,miiixhxfxL1,为拉格朗日乘子Tm,,,21第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（1）等式约束静态最优化等式约束问题：最优解满足拉格朗日条件：mixhxLnjxxhxxfxxLLiimijiijj,,1,0,,,1,0,1xfxhxfxLmiii最小化等价于满足约束条件的最小化1,第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（1）等式约束静态最优化等式约束问题：约束条件有时候是这种形式：拉格朗日函数：miCxhTSExxfMiniin,,2,1,..,的影子价格外生参数的经济学含义拉格朗日乘子iimiiiiCxhCxfxL:,1第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（1）等式约束静态最优化等式约束问题：最优解满足拉格朗日条件：mixhCxLnjxxhxxfxxLLiiimijiijj,,1,0,,,1,0,1xfxhCxfxLmiiii最小化等价于满足约束条件的最小化1,第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（1）等式约束求解方法（拉格朗日乘子法）：构造一个拉格朗日被积函数：mmmgctλgctλFL111mnmnTnncyytgcyytgTSdtyyyytFVMax,,,,,,,,..,,,,,,1111011与静态最优化拉格朗日函数区别：1）静态问题中，拉格朗日乘子被加入原始目标函数，变分法是加入被积函数；2）拉格朗日乘子不是常数，而是时间t的函数。第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（1）等式约束把原问题变换为：只要原问题的所有约束条件被满足，F的值就等于L的值泛函的自由极值将对应于泛函V的约束极值TLdtMax0mnmnTcyytgcyytgTSdtFVMax,,,,,,,,..11110mmmgctλgctλFL111其中：第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（1）等式约束把拉格朗日乘子处理为附加状态变量（保证约束条件成立）此问题的最优解满足欧拉—拉格朗日方程：由于，欧拉方程可简化为：）（对于所有的）（对于所有的mi,TtLdtdLnj,TtLdtdLiijyyj,,100,,1000iL0iiLdtdL合）（与给定约束条件相吻对于所有的,TtgcLiiλi00第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（1）等式约束例子：两个状态变量和一个等式约束条件TTTzTzzzyTyyyzytTSdtzyVMin,0,,00,,..10002/122第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（1）等式约束构造拉格朗日被积函数：求：zyttzytFL,,102/12200,,112/1222/122LzytLzyzLtLzyyLtLzzzyyy第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（1）等式约束欧拉—拉格朗日方程条件：得：,TtLdtdL,TtLdtdLLdtdLzzyy00000对于所有的对于所有的0,,01012/1222/122zytzyzdtdtzyydtdtzy第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（2）微分方程约束约束条件为微分方程：适当的边界条件mnmnnTnncyyyytgcyyyytgTSdtyyyytFVMax,,,,,,,,,,,,..,,,,,,111111011第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（2）微分方程约束与等式约束类似，构造拉格朗日被积函数：最优解满足欧拉—拉格朗日方程：mmmgctλgctλFL111）（对于所有的）（对于所有的mi,TtLdtdLnj,TtLdtdLiijyyj,,100,,100第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（2）微分方程约束例子：求出下列泛函的极值曲线的通解拉格朗日被积函数：51,20,21,000..022zzyyzyTSdtzyVTyzzyzyzyL22220第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（2）微分方程约束例子：yzLzLyLdtdzLLyLLzyzzyy22202得：yzzyL22由：00202yzLdtdLzLdtdLyLdtdLzzyy欧拉—拉格朗日方程：第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（2）微分方程约束例子：132*11110202212102CeCeCtyCyyyCyzyzyzCyzyyCzzztt通解：的最优路径：代入由：代入上式，得：由：由：第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（2）微分方程约束例子：4132*132132*,:CtCeCeCtzztCeCeCzCeCeCtyyyztttttt的最优路径通解：得的积分两边求代入，得：的通解把由第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（2）微分方程约束例子：把边界条件代入通解：得：51,20,21,00zzyy4132*132*CtCeCeCtzCeCeCtytttt，得到定解和，，求出432141132*432*1132*132*51202100CCCCCCeCeCzCCCzCeCeCyCCCy第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（3）不等式约束形式：适当的边界条件或mnmnTnncyytgcyytgTSdtyyyytFVMinMax,,,,,,..,,,,,,1111011第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（3）不等式约束静态最优化不等式约束问题：对于最小化问题（标准形式）：构造拉格朗日函数：mixgTSExxfMinin,,2,1,0..,miiixguxfux1,Tnuuuu,,,21第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（3）不等式约束最小化问题的最优解满足以下的库恩-塔克条件：mixguuxguuxnjxxguxxfxuxKTiiiiimijiijj,,1,0,0,0,,,1,0,1xfxguxfuxmiii最小化等价于满足约束条件的最小化1,第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（3）不等式约束静态最优化不等式约束问题：对于最小化问题（约束条件另种形式）：拉格朗日函数：micxgTSExxfMiniin,,2,1,..,miiiixgcuxfux1,第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（3）不等式约束最小化问题的最优解满足以下的库恩-塔克条件：mixgcuuxgcuuxnjxxguxxfxuxiiiiiiimijiijj,,1,0,0,0,,,1,0,1xfxgcuxfuxmiiii最小化等价于满足约束条件的最小化1,第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（3）不等式约束静态最优化不等式约束问题：micxgTSExxfMaxiin,,2,1,..,mixgcTSExxfMiniin,,2,1,0..,转化为最小化问题的标准形式：最大化问题：依据最小化问题，构造的拉格朗日函数：miiiixgcuxfux1,第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（3）不等式约束静态最优化不等式约束问题：最优解满足库恩—塔克条件：mixgcuuxgcuuxnjxxguxxfxuxiiiiiiimijiijj,,1,0,0,0,,,1,0,1xfxfxgcuxfuxmiiii，即最大化的最小化等价于满足约束条件的最小化1,第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（3）不等式约束对于最小化的不等式约束变分法问题：适当的边界条件mnmnTnncyytgcyytgTSdtyyyytFVMin,,,,,,..,,,,,,1111011第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（3）不等式约束最小化的不等式约束变分法问题求解方法：构造拉格朗日被积函数：欧拉—拉格朗日方程：mmmgctugctuFL111的最优值相等积函数的最优值与拉格朗日被（保证原始被积函数）（对于所有的互补松弛条件：）（对于所有的LFmi,TtgcutugcLnj,TtLdtdLiiiiiiuijyyj,,100,0,0,,100第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（3）不等式约束对于最大化的不等式约束变分法问题：适当的边界条件mnmnTnncyytgcyytgTSdtyyyytFVMax,,,,,,..,,,,,,1111011第六讲变分法约束问题（一）约束的四种基本类型（3）不等式约束最小化的不等式约束变分法问题求解方法：构造拉格朗日被积函数：欧拉—拉格朗日方程：mmmgctugctuFL111）（对于所有的互补松弛条件：）（对