计算机辅助设计(图形变换)

图形变换曾建江[e-mail]图形变换1.数学基础矢量运算矩阵运算图形变换采用齐次坐标所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。如向量(x1,x2,…,xn)的齐次坐标表示为(hx1,hx2,…,hxn,h)，其中h是一个实数显然一个向量的齐次表示是不唯一的，齐次坐标的h取不同的值都表示的是同一个点，比如齐次坐标[8,4,2]、[4,2,1]表示的都是二维点[2,1]。齐次坐标的必要性A.它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。B.它可以表示无穷远的点。n+1维的齐次坐标中如果h=0，实际上就表示了n维空间的一个无穷远点。C.方便统一变换变换具有统一表示形式的优点便于变换合成便于硬件实现几何变换窗口区到视图区的坐标变换二维图形的几何变换三维几何变换二维图形的显示流程图（1/4）坐标系：建立了图形与数之间的对应联系世界坐标系(worldcoordinate)用户坐标系(usercoordinate)局部坐标系(localcoordinate)二维图形的显示流程图（2/4)屏幕坐标系(screencoordinate)设备坐标系(devicecoordinate)二维图形的显示流程图（3/4）窗口在世界坐标系中指定的矩形区域用来指定要显示的图形视区在设备坐标系（屏幕或绘图纸）上指定的矩形区域用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置窗口到视区的变换二维图形的显示流程图（4/4）窗口到视区的变换（1/2）目标将窗口之中的图形变换到视区中变换的求法变换的分解与合成),(),(),(minminminminyxTEEEESvuTMyvxxwv窗口到视区的变换（2/2）),()(),(),(minminminminyxTREEEESvuTMyvxxwv窗口区到视图区的坐标变换实际的窗口区与视图区往往不一样大小，要在视图区正确地显示形体的，必须将其从窗口区变换到视图区。比例关系，两者的变换公式为：二维齐次坐标变换的矩阵的形式是：其中：对图形进行缩放、旋转、对称、错切对图形进行平移投影整体缩放二维图形的几何变换二维基本变换（1/3）平移变换TPPyxPyxttTyxPyxtyytxx1）平移变换2）缩放变换二维基本变换（2/3）旋转变换点P(x,y,)的极坐标表示绕坐标原点旋转角度（逆时针为正，顺时针为负）PRPcossinsincosR3）旋转变换在直角坐标平面中，将二维图形绕原点旋转角的变换形式如下：逆时针为正，顺时针为负4）对称变换对称变换其实只是a、b、d、e取0、1等特殊值产生的一些特殊效果。例如：A.当b=d=0，a=-1，e=1时有x´=-x，y´=y，产生与y轴对称的图形。B.当b=d=0，a=-1，e=-1时有x´=x，y´=-y，产生与x轴对称的图形。C.当b=d=0，a=e=-1时有x´=-x，y´=-y，产生与原点对称的图形。D.当b=d=1，a=e=0时有x´=y，y´=x，产生与直线y=x对称的图形。E.当b=d=-1，a=e=0时有x´=-y，y´=-x，产生与直线y=-x对称的图形。5）错切变换A.当d=0时，x´=x+by，y´=y，此时，图形的y坐标不变，x坐标随初值（x，y）及变换系数b作线性变化。B.当b=0时，x´=x，y´=dx+y，此时，图形的x坐标不变，y坐标随初值（x，y）及变换系数d作线性变化。复合变换及变换的模式（1/6）问题：如何实现复杂变换？关于任意参照点的旋转变换变换分解变换合成Pxyrrr(,)),()(),();,(rrrrrryxTRyxTyxR复合变换及变换的模式（2/6）关于任意参照点的放缩变换Pxyrrr(,)),(),(),(),;,(rryxrryxrryxTssSyxTssyxS复合变换及变换的模式（3/6）变换的结果与变换的顺序有关（矩阵乘法不可交换）Rotate2D(45);Translate2D(1,0);House();Translate2D(1,0);Rotate2D(45);House();复合变换及变换的模式（4/6）变换的固定坐标系模式相对于同一个固定坐标系先调用的变换先执行，后调用的变换后执行Rotate2D(45);Translate2D(1,0);House();复合变换及变换的模式（5/6）人的思维方式每次变换产生一个新的坐标系变换的活动坐标系模式先调用的变换后执行，后调用的变换先执行（图形系统一般用堆栈实现）复合变换及变换的模式（6/6）Rotate2D(45);Translate2D(1,0);House();例子6）复合变换如果图形要做一次以上的几何变换，那么可以将各个变换矩阵综合起来进行一步到位的变换。复合变换有如下的性质：A.复合平移对同一图形做两次平移相当于将两次的平移两加起来复合缩放两次连续的缩放相当于将缩放操作相乘：A.复合旋转两次连续的旋转相当于将两次的旋转角度相加：A.缩放、旋转变换都与参考点有关，上面进行的各种变换都是以原点为参考点的。如果相对某个一般的参考点（xf，yf）作缩放、旋转变换，相当于将该点移到坐标原点处，然后进行缩放、旋转变换，最后将（xf，yf）点移回原来的位置。切记复合变换时，先作用的变换矩阵在右端，后作用的变换矩阵在左端。A.关于（xf，yf）点的缩放变换绕（xf，yf）点的旋转变换其它变换(2/6)关于任意轴的对称变换三维几何变换1.由于用齐次坐标表示，三维几何变换的矩阵是一个4阶方阵三维几何变换（1/5）三维其次坐标(x,y,z)点对应的齐次坐标为标准齐次坐标(x,y,z,1)右手坐标系),,,(hzyxhhh0,,,hhzzhyyhxxhhh三维几何变换（2/5）平移变换放缩变换1000100010001),,(zyxzyxttttttT1000100010001),,(zyxzyxssssssS三维几何变换（3/5）旋转变换绕x轴绕x轴10000cossin00sincos00001)(xR10000cossin00100sin0cos)(yR三维几何变换（4/5）绕z轴错切变换1000010000cossin00sincos)(zR10000100010001),(yxyxzshshshshSH三维几何变换（5/5）对称变换关于坐标平面xy的对称变换三维变换的一般形式1000000333231232221131211aaaaaaaaaA1000010000100001xySY坐标系之间的变换什么是？建立坐标系之间的变换关系将图形从一个坐标系中变换到另一个坐标系中怎样求？投影8.1三维图形的基本问题8.2平面几何投影8.3观察坐标系中的投影变换*投影举例8.4三维图形的显示流程图8.5三维裁剪*图形显示过程小结8.1三维图形的基本问题（1/4）显示器屏幕、绘图纸等是二维的显示对象是三维的解决方法----投影三维显示设备正在研制中二维形体的表示----直线段,折线,曲线段,多边形区域二维形体的输入----简单（图形显示设备与形体的维数一致）1.在二维屏幕上如何显示三维物体？2.如何表示三维物体？三维图形的基本问题（2/4）三维形体的表示----空间直线段、折线、曲线段、多边形、曲面片三维形体的输入、运算、有效性保证----困难解决方法----各种用于形体表示的理论、模型、方法物体之间或物体的不同部分之间存在相互遮挡关系遮挡关系是空间位置关系的重要组成部分解决方法----消除隐藏面与隐藏线3.如何反映遮挡关系？三维图形的基本问题（3/4）何谓真实感图形逼真的示意的人们观察现实世界产生的真实感来源于空间位置关系----近大远小的透视关系和遮挡关系光线传播引起的物体表面颜色的自然分布解决方法----建立光照明模型、开发真实感图形绘制方法4.如何产生真实感图形三维图形的基本问题（4/4）三维图形的基本研究内容1.投影2.三维形体的表示3.消除隐藏面与隐藏线4.建立光照明模型、开发真实感图形绘制方法8.2平面几何投影（1/12）照像机模型与投影如何投影?生活中的类比--如何拍摄景物？拍摄过程选景取景--裁剪对焦—参考点按快门--成像移动方式移动景物移动照相机两个坐标系平面几何投影（2/12）投影—照相机模型选定投影类型设置投影参数–拍摄方向、距离等三维裁剪–取景投影和显示–成像简单的三维图形显示流程图平面几何投影（3/12）平面几何投影及其分类投影将n维的点变换成小于n维的点将3维的点变换成小于2维的点投影中心(COP:CenterofProjection)视觉系统—观察点、视点电影放映机—光源投影面不经过投影中心平面--照相机底片曲面—球幕电影,视网膜平面几何投影（4/12）投影线从投影中心向物体上各点发出的射线直线—光线曲线—喷绘平面几何投影投影面是平面投影线为直线投影变换投影过程投影的数学表示平面几何投影（5/12）投影分类投影中心与投影平面之间的距离为无限投影中心与投影平面之间的距离为有限根据投影方向与投影平面的夹角根据投影平面与坐标轴的夹角平面几何投影（6/12）平面几何投影（7/12）透视投影投影中心与投影平面之间的距离为有限参数：投影方向例子：室内白炽灯的投影，视觉系统灭点：不平行于投影平面的平行线，经过透视投影之后收敛于一点，称为灭点.主灭点:平行于坐标轴的平行线的灭点。一点透视两点透视三点透视特点：产生近大远小的视觉效果，由它产生的图形深度感强，看起来更加真实。灭点的个数?主灭点的个数由什么决定?平面几何投影（8/12）平面几何投影（9/12）平面几何投影（10/12）平行投影投影中心与投影平面之间的距离为无限是透视投影的极限状态平面几何投影（11/12）正投影与斜投影平面几何投影（12/12）三视图：正视图、侧视图和俯视图8.3观察坐标系中的投影变换（1/15）-如何进行投影变换？-观察坐标系生活中的类比--移动舞台还是移动摄像机移动舞台投影（摄像）简单移动难度大移动摄像机移动容易投影复杂变换的分解与合成采用观察坐标系，投影简单观察坐标系中的投影变换（2/15）什么是观察坐标系ViewReferenceCoordinate或VRC照相机所在的坐标系如何建立观察坐标系坐标原点----聚焦参考点在底片（投影平面）上的投影，称为观察参考点VRP（ViewReferencePoint)n轴----照相机镜头方向（投影平面的法向）v轴----照相机向上的方向（观察正向）u轴----nvu观察坐标系中的投影变换（3/15）观察坐标系中的投影变换（4/15）为什么需要观察坐标系简化和加速投影变换投影平面----n=0投影中心----（0，0，d)视见体视见体是三维裁剪窗口建立步骤定义窗口形成观察空间形成视见体发出射线前后裁剪面观察坐标系中的投影变换（5/15）投影参考点PRP:ProjectionReferencePoint透视投影：COP==PRP平行投影：投影方向DOP=窗口中心CW-PRP观察坐标系中的投影变换（6/15）观察空间有限观察空间亦称视见体或裁剪空间观察坐标系中的投影变换（7/15）参数作用投影类型定义投影是平行投影还是透视投