辅导资料：全等三角形问题中常见的辅助线的作法

全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．2)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．3)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．4)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．5)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1.已知：如图3所示，AD为△ABC的中线，求证：AB+AC2AD。分析：要证AB+AC2AD，由图形想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有：AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE。EDCBA3图例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.因为BD=DC=AC，所以AC=1/2BC因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2ACABCDE3图∠ACE=∠BCA，所以△BCA∽△ACE所以∠ABC=∠CAE因为DC=AC，所以∠ADC=∠DAC∠ADC=∠ABC+∠BAD所以∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE所以∠BAD=∠DAE即AD平分∠BAE应用：二、截长补短例1.已知：如图1所示，AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4。求证：BE+CFEF。分析：要证BE+CFEF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF。延长FD到G,使DG=FD,再连结EG,BG1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC证明：取AB中点E，连接DE∵AD=BD∴DE⊥AB，即∠AED=90º【等腰三角形三线合一】∵AB=2AC∴AE=AC又∵∠EAD=∠CAD【AD平分∠BAC】AD=AD∴⊿AED≌⊿ACD（SAS）∴∠C=∠AED=90º∴CD⊥ACCDBAABCDEFN1图1234EDCBADCBAPQCBA2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD在AB上取点N,使得AN=AC∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN所以∠ANE=∠ACE又AC平行BD所以∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180所以∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBNBE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD3、如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP证明：做辅助线PM‖BQ，与QC相交与M。（首先算清各角的度数）∵∠APB=180°—∠BAP—∠ABP=180°—30°—80°=70°且∠APM=180°—∠APB—∠MPC=180°—70°—∠QBC（同位角相等）=180°—70°—40°=70°∴∠APB=∠APM又∵AP是BAC的角平分线，∴∠BAP=∠MAPAP是公共边∴△ABP≌△AMP(角边角）∴AB=AM，BP=MP在△MPC中，∠MCP=∠MPC=40°∴MP=MC∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在△QBC中∵∠QBC=QCB=40°∴BQ=QC∴BQ+AQ=AQ+QC=AC∴BQ+AQ=AB+BP4、角平分线如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求证：0180CA延长BA,作DF⊥BA的延长线，作DE⊥BCP21DCBA∵∠1=∠2∴DE=DF（角分线上的点到角的两边距离相等）∴在Rt△DFA与Rt△DEC中｛AD=DC,DF=DE}∴Rt△DFA≌Rt△DEC（HL)∴∠3=∠C因为∠4+∠3=180°∴∠4+∠C=180°即∠A+∠C=180°♢5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC延长AC至E，使AE=AB，连结PE。然后证明一下△ABP≌AEP得到PB=PE备用（角边角证很容易吧~）△PCE中，ECPE-PC∵EC=AE-AC，AE=AB∴EC=AB-AC又PB=PE∴PE-PC=PB-PC∴AB-ACPB-PC应用：OEDCBA三、平移变换例1AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为AP，△EBC周长记为BP.求证BP＞AP.例2如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.EDCBA四、借助角平分线造全等1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD在AC上取点F，使AF=AE∵AD是角A的平分线∴角EAO＝角FAE/∵AO=AO∴三角形AEO与AFO全等（两边夹角相等）∴EO=FO，角AOE＝角AOF∵CE是角C的平分线∴角DCO＝角FCO∵角B＝60°∴角A+角C＝180－60＝120°∴角COD=角CAO＋角OCA＝角A/2＋角C/2＝60度∴角OCF＝180－角AOF-角COD＝180－60－60＝60°∴角OCF＝角COD∵OC=OC∴三角形OCD与CFO全等（两边夹角相等）∴CF=CD∴AC=AF+CF＝AE+CD即：AE+CD=AC2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.证明：连接BD,CDDG⊥BC于G且平分BC所以GD为BC垂直平分线垂直平分线上的点到线段两端点距离相等BD=CD角平分线上的点到角两边距离相等,AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC的延长线于F所以DE=DF在RT△BED,RT△CFD中DE=DFBD=CDRT△BED≌RT△CFD(HL)EDGFCBANMEFACBAFEDCBABE=CF应用：五、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90所以∠EAF=45度例2D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1）当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。做DP⊥BC，垂足为P，做DQ⊥AC，垂足为Q∵D为中点，且△ABC为等腰RT△ABC∴DP=DQ=½BC=½AC又∵∠FDQ=∠PDE(旋转）∠DQF=∠DPE=90°∴△DQF≌△DPE∴S△DQF=S△DPE又∵S四边形DECF=S四边形DFCP+S△DPE∴S四边形DECF=S四边形DFCP+S△DQF=½BC*½AC=¼AC²（AC=BC=定值）∴四边形DECF面积不会改变例3如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为；BCDNMA我简单说一下过D点做DE⊥AB的延长线然后证明DMN≌DME（注意△DBE实际上是△DCN旋转后得来的）