高中数学北师大版必修4《两角和与差的正弦、余弦》ppt导学课件

第2课时两角和与差的正弦、余弦1.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.2.能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式.3.能够运用两角和的正、余弦公式进行简单的化简、求值、证明.问题1是不问题2cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30°(填“是”或“是不”)成立的,如果不成立,那么不查表求得cos15°的值是.问题3cosαcosβ+sinαsinβ两角和的余弦、两角和与差的正弦公式的推导cosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβ问题4(3)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=.sinαcosβ-cosαsinβ异名积符号同任意角C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)公式间的特点两角和与差的余弦公式的特点:同名积、符号反、任意角.两角和与差的正弦公式的特点:、、.1B不查表,求cos75°的值为().A.6+24B.6-24C.32D.12【解析】cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=𝟐𝟐×𝟑𝟐-𝟐𝟐×𝟏𝟐=𝟔-𝟐𝟒.已知sinα=45,α∈(π2,π),cosβ=-513,β是第三象限角,则sin(α-β)、sin(a+β)的值分别是().A.5665、1665B.5665、-1665C.-5665、1665D.-5665、-16652C【解析】∵α∈(𝛑𝟐,π),sinα=𝟒𝟓,∴cosα=-𝟏-𝐬𝐢𝐧𝟐𝛂=-𝟑𝟓.又∵cosβ=-𝟓𝟏𝟑,β是第三象限角,∴sinβ=-𝟏-𝐜𝐨𝐬𝟐𝛃=-𝟏-(-𝟓𝟏𝟑)𝟐=-𝟏𝟐𝟏𝟑,又∵sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=𝟒𝟓×(-𝟓𝟏𝟑)-(-𝟑𝟓)×(-𝟏𝟐𝟏𝟑)=-𝟓𝟔𝟔𝟓,∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosβsinα=𝟒𝟓×(-𝟓𝟏𝟑)+(-𝟑𝟓)×(-𝟏𝟐𝟏𝟑)=𝟏𝟔𝟔𝟓.3已知α、β是锐角,且sinα=437,cos(α+β)=-1114,则sinβ=.【解析】∵α是锐角,sinα=𝟒𝟑𝟕,∴cosα=𝟏-𝐬𝐢𝐧𝟐𝛂=𝟏-(𝟒𝟑𝟕)𝟐=𝟏𝟕,又∵cos(α+β)=-𝟏𝟏𝟏𝟒,α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=𝟏-𝐜𝐨𝐬𝟐(𝛂+𝛃)=𝟏-(-𝟏𝟏𝟏𝟒)𝟐=𝟓𝟑𝟏𝟒,∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=𝟓𝟑𝟏𝟒×𝟏𝟕-(-𝟏𝟏𝟏𝟒)×𝟒𝟑𝟕=𝟑𝟐.4已知cosα=-35,α∈(π2,π),求cos(π3-α)的值.【解析】∵cosα=-𝟑𝟓,且α∈(𝛑𝟐,π),∴sinα=𝟏-𝐜𝐨𝐬𝟐𝛂=𝟒𝟓,∴cos(𝛑𝟑-α)=cos𝛑𝟑cosα+sin𝛑𝟑sinα=𝟏𝟐×(-𝟑𝟓)+𝟑𝟐×𝟒𝟓=𝟒𝟑-𝟑𝟏𝟎.利用两角和与差的三角函数公式进行化简或求值化简或计算下列各题:(1)sin7π18cos2π9-sinπ9sin2π9;(2)cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α).【解析】(1)原式=sin𝟕𝛑𝟏𝟖cos𝟐𝛑𝟗-sin(𝛑𝟐-𝟕𝛑𝟏𝟖)sin𝟐𝛑𝟗=sin𝟕𝛑𝟏𝟖cos𝟐𝛑𝟗-cos𝟕𝛑𝟏𝟖sin𝟐𝛑𝟗=sin(𝟕𝛑𝟏𝟖-𝟐𝛑𝟗)=sin𝛑𝟔=𝟏𝟐.(2)原式=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos60°=𝟏𝟐.已知角的三角函数值或关系式求相关角的三角函数值已知θ是第二象限角,sinθ=1213,求cos(π6+θ)的值.【解析】∵θ是第二象限角,sinθ=𝟏𝟐𝟏𝟑,∴cosθ=-𝟏-𝐬𝐢𝐧𝟐𝛉=-𝟓𝟏𝟑.∴cos(𝛑𝟔+θ)=cos𝛑𝟔·cosθ-sin𝛑𝟔·sinθ=𝟑𝟐×(-𝟓𝟏𝟑)-𝟏𝟐×𝟏𝟐𝟏𝟑=-𝟓𝟑-𝟏𝟐𝟐𝟔.两角和与差的三角函数公式在三角形问题中的应用已知角A,B,C为△ABC的内角,且cosA=35,sinB=513,求cosC的值.【解析】由cosA=𝟑𝟓,得A∈(0,𝛑𝟐),故sinA=𝟒𝟓.又∵sinB=𝟓𝟏𝟑,∴cosB=±𝟏𝟐𝟏𝟑.[问题]cosB能为负数吗?[结论]不能,由于A,B,C为△ABC的内角,存在隐含条件,故应当进行检验.于是,正确解答如下:∵sinBsinA,且在△ABC中,∴BA或Bπ-A,即BA𝛑𝟐或A+Bπ(舍去),∴B𝛑𝟐,cosB0,∴cosB=𝟏𝟐𝟏𝟑,∴cosC=sinAsinB-cosAcosB=𝟒𝟓×𝟓𝟏𝟑-𝟑𝟓×𝟏𝟐𝟏𝟑=-𝟏𝟔𝟔𝟓.求cos43°cos77°+sin43°cos167°的值.【解析】原式=cos43°cos77°+sin43°cos(90°+77°)=cos43°cos77°-sin43°sin77°=cos(43°+77°)=cos120°=-𝟏𝟐.已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,求cos(β-γ)的值.【解析】由题意可得sinβ+sinγ=-sinα,cosβ+cosγ=-cosα,∴(sinβ+sinγ)2+(cosβ+cosγ)2=1,即2+2cos(β-γ)=1,∴cos(β-γ)=-𝟏𝟐.在△ABC中,已知cosA·cosBsinA·sinΒ,则△ABC一定是钝角三角形吗?【解析】在△ABC中,0Cπ,且A+B+C=π,即A+B=π-C.由已知得cosA·cosB-sinA·sinB0,即cos(A+B)0,∴cos(π-C)=-cosC0,即cosC0,∴C一定为钝角,∴△ABC一定为钝角三角形.CB1.cos40°cos70°+cos20°cos50°的值为().A.0B.12C.32D.-12【解析】cos40°cos70°+cos20°cos50°=cos40°cos70°+sin70°sin40°=cos30°=𝟑𝟐.2.sinπ12-3cosπ12的值为().A.0B.-2C.2D.2【解析】原式=2(sin𝛑𝟏𝟐×𝟏𝟐-cos𝛑𝟏𝟐×𝟑𝟐)=2(sin𝛑𝟏𝟐cos𝛑𝟑-cos𝛑𝟏𝟐sin𝛑𝟑)=2sin(𝛑𝟏𝟐-𝛑𝟑)=-2sin𝛑𝟒=-𝟐.3.已知α,β∈(3π4,π),sin(α+β)=-35,sin(β-π4)=1213,则cos(α+π4)=.【解析】由已知可得cos(α+β)=𝟒𝟓,cos(β-𝛑𝟒)=-𝟓𝟏𝟑,故cos(α+𝛑𝟒)=cos[(α+β)-(β-𝛑𝟒)]=cos(α+β)cos(β-𝛑𝟒)+sin(α+β)sin(β-𝛑𝟒)=-𝟓𝟔𝟔𝟓.4.已知α,β均为锐角,cosα=17,cos(α+β)=-1114,求cosβ的值.【解析】∵α,β均为锐角,∴sinα=𝟏-𝐜𝐨𝐬𝟐𝛂=𝟒𝟑𝟕,sin(α+β)=𝟏-𝐜𝐨𝐬𝟐(𝛂+𝛃)=𝟓𝟑𝟏𝟒,∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-𝟏𝟏𝟏𝟒×𝟏𝟕+𝟓𝟑𝟏𝟒×𝟒𝟑𝟕=𝟏𝟐.