关于欧冠球队数学建模

数学建模论文欧冠足球队实力分析及排名学院：淮南师范学院系别：数学与计算科学系系专业：数学与应用数学班级：应数一班姓名：汪力日期：2014-4-16联系方式：15856691735目录·摘要·问题的提出及分析03·模型的假设与设计041.基本假设和名词约定2.模型的设计·模型的建立——层次分析法·051.构造判断矩阵A2.构造辅助矩阵B·MATLAB计算数据09·附录15关于欧冠球队排名问题汪力数学与计算科学系摘要欧洲冠军联赛，简称欧冠，是欧洲足球协会联盟主办的年度足球比赛，代表欧洲俱乐部足球最高荣誉和水平，常被誉为全世界最高素质，最具影响力以及最高水平的俱乐部级赛事，亦是世界上奖金最高的足球赛事和体育赛事之一，估计每届赛事约有超过十亿电视观众通过人造卫星观看赛事。2003/2004赛季，欧洲冠军联赛取消了第二阶段小组赛。决赛阶段共32只球队参加，分成八小组进行双循环（主客场）的小组赛。每个小组出线2支构成16强。产生十六强之后，开始抽签进行淘汰赛，直到决出冠军为止。欧洲冠军联赛是欧洲足联最有声望的一项俱乐部比赛，前身是1955/56赛季创建的欧洲俱乐部冠军杯赛，1992年欧洲足联对这项杯赛的赛制和名称进行了修改。皇家马德里和AC米兰是欧洲冠军联赛最成功的两个俱乐部，先后三次夺冠。如果算上欧洲冠军杯时代，一共9次夺冠的皇家马德里是战绩最辉煌的，在他们之后是7次夺冠的AC米兰和5次夺冠的利物浦。是世界上最有影响力的足球比赛之一。现分析从2003/2004赛季开始欧冠近10年最有影响力的球队。而其中有以下几个问题需要考虑问题一可以指出的是在本次数学模型中，我们认为足球队的排名是指在该时间段内各队的实力分析，通过欧冠近十年的的数据，各队在比赛中的实际名次受到赛制的影响，与实际实力往往有所出入（受到偶然因素的影响）例如13年欧冠联赛小组赛的“死亡之组”阿森纳、多特蒙德、那不勒斯和马赛等强队的碰撞，使强队很有可能无法出线问题二在我们对球队实力排序中，可知比赛场次可能不全，可能不等，甚至每场比赛的重要性也不同，而在建立模型中不应回避这样一个问题，即比赛结果不具备传递性，而比赛结果具有较大的随机性，所以该模型必须要考虑到排名结果对各场比赛成绩的重要性的反馈影响问题三模型要保证稳定性，保证给小队在发挥水平上的小的波动不会对排名顺序造成大的变动，使随机问题要有较为准确的结论，能够判断成绩表的可约性。我们在关于足球队进行排序实际上是对均值的排序，变量是随机的，但均值是不变的，因此，从均值去进行排序在数学上看来是合理的。问题的提出及分析通过对自04年欧冠开始近十年的比赛数据，从而得出排名前十的队伍。从问题一中可知我们排名的目的是根据比赛成绩反映各队真实实力状况的一个排序，可知这是一个较为复杂的问题，我们不妨作出以下假设(1)保序性：我们认为各队的真实实力水平在成绩表中反映出来，所以根据排名的目的，我们要求排名顺序与成绩表所反映的各队的真实水平是一致的。可知道在现有的足球赛中的积分法是不具有保序性的，例如在比赛中A平C,C胜D,D平B，A平B，可知用现有的积分法是不适宜的，所以在模型中需要改进，(2)稳定性:成绩表中小的的变动不会对排名造成巨大的影响。（排除偶然因素）(3)数据可依赖程度给出较为精确的描述。(4)能够判断成绩表的可约性。(5)能够准确的进行补残：两个队之间没有打比赛，我们只为成绩表残缺，需要克服信息的不全从而进行补残，而对于两队成绩的残缺，可以通过他们同其他队的比赛成绩从而间接的判断他们实力的大小。(6)可以容忍不一致现象，即甲胜乙，乙胜丙，而丙却胜甲的现象，即其不具备传递性。(7)能够处理不同场次的权重：而不该将每场比赛的权重都设为1，应该根据不同比赛所代表的重要性，避免由于对手的强弱不同造成的不公平模型的假设与设计一基本假设和名词约定1.名词约定首先自03-04年欧冠开始近十年比赛的队伍数量是较多的，而我们所需考虑的是近十年最有影响力的球队，根据收集的数据，我们事先选出了以下11支球队（因考虑的是近十年的数据，对于新崛起的球队，暂不予考虑）分别以表示皇家马德里利物浦拜仁慕尼黑阿森纳埃因霍温国际米兰AC米兰巴塞罗那曼彻斯特联切尔西里昂2.假设1参赛各队存在客观的真实实力，在比赛中发挥的水平应在其真实实力水平上下较小的波动。假设2在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面真实实力对比是以他们真实实力对比为中心的互相独立的真态分布假设3如果两队之间没有比赛或者双方打成平局，即数据残缺时可由与其他队伍的比赛成绩去判断。假设4可知在实际比赛中，真实实力存在干扰系数，可能由于对手实力的影响导致变动。二模型的设计（1）其中（，）表示第i队和第j队的比赛，其中i=1，2，3，…，11；j=1，2，3，…，11；（2）我们称对的相对强度为两队的表面实力对比，现记为（3）W=(,,…)表示为真实实力向量，其中表示的实力强弱（4）A为判断矩阵B为辅助矩阵§max表示最大特征值表示Ti胜平均每场净胜球数（5）可知矩阵A=()可称为比赛成绩的判断矩阵，我们用表示Ti对Tj这场比赛中，对的相对强弱程度，当成绩残缺是我们约定=0，显然有：（i）≥0（ii）=1/（iii）=1可知这样的矩阵是正矩阵中较大的一类，称之为正互反矩阵，可知在用特征向量办法求实力水平向量存在较多问题，类如正互反矩阵的特征向量是否存在，如果存在，哪一个是实力水平向量，还有关于如何求表示实际水平向量的特征向量，因为正互反矩阵是不对称的，再此通过查阅文献，可得到关于正矩阵（矩阵的每个元素都是正数）或非负矩阵（矩阵的每个元素都是非负数的），可发现对此很有帮助的Perron定理定理一Perron---Frobenius定理A是正矩阵或n阶非负不可约矩阵，则（1）A的谱半径ρ是A的特征根（2）A有一个对应于ρ的正特征向量（3）Ρ的代数重数MULTρ(A)=1,即ρ是A的特征多项式的单根（4）如果A的特征根中恰有S个模为ρ=ρ（A）的特征根=ρ，……=ρ。由以上定理可以解决上述的问题，第一，正互反矩阵一定存在特征向量，第二，正互反矩阵中有一个最大模特征根所对应的特征向量；第三，这个最大模正特征根所对应的特征向量完全可以作为实力水平向量，可知它是一个正向量（其中每个分量都是正数）ρ是A的特征多项式的单根，所以也是唯一确定的，此外Perron定理基本上解决了求最大模的特征根所对应的特征向量的问题至此建立模型所需已经准备好，模型的建立——层次分析法我们模型的主要部分是一个算法，模型的输入是一个成绩表，输出的是关于是否可约的判断，数据可依赖程度和排名次的结果。构造判断矩阵（1）i从1到n,j从1到n循环（2）若Ti与互胜场次相等，则（i）净胜球为0时，令==1；（ii）Ti净胜球多时以Ti净胜一场做后续处理。（3）若净胜K场且k0，则(i)=2k(1≤k≤4);=9（K4)(ii)=胜平均每场净胜球数；=1（2）=0(0≤≤2)=-1(0)(iii)=+,=1/（4）若jT与无比赛成绩，则==0构造辅助矩阵B（5）i从1到n循环，j从1到n循环=(i≠j且≠0)；=mi+1（i=j，其中mi为A的第i行0的个数）；=0（=0）计算B的主特征根和特征向量在这里我们可以通过幂法求最大模正特征根或者和式计算（1）将A的每一列向量归一化得=/（2）对按行求和得==/，W=(,,…)（3）将归一化得即为近视特征向量，（4）计算，作为最大特征根的近似值。（5）之后按w的各分量由大到小的顺序对参赛各队排名次或者通过MATLAB进行计算（见MATLAB数据）现在给出自03--04年欧冠该十一支队伍的比赛数据及结果见表一中数据，可以分别得出判断矩阵A和辅助矩阵B，现就这两个矩阵进行计算表一欧冠近十年比赛结果及数据T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T1O:13:22:21:00;1O:20:21:11:13;03:0T24:04:21:02:02:11:01:01:10:1T32:12:13:10:21:10:22:32;31:10:23:21:11:34:01;13:12:11;0T4O:01:11:01:30:21:10:33:00:01:22;22:12;11:2T50:31:03:11;10;1T60:10:10:11:50:33;1O:02:1T73:31:14:12:24:00:22:02:02:10:02:03;03;1T80:01:04;44:21:10:14:21:21:01;11:00:10:1T91:20:34:03;12:14:13:11:03:14:02:11:12:1O:03:12;10:02:03:1T101:11:02:00:12:10:23:23:24:01:12;11:0T111:01:11:10:31:14:00:0现通过表一所给予的数据，现在计算判断矩阵，现在给出判断矩阵AT1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T111/511/200001/422T251024422100T3101201/21/41/2244T421/21/211/2221/21/21/40T501/4021010001/4T601/421/2011/5021/20T701/241/215141/21/22T801/222001/411/21/60T9411/2201/222180T101/201/4402261/810T111/201/40401/20001检测A的可约性，如果可约则输出可约信息后退出现在计算辅助矩阵BT1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T151/511/200001/422T254024422100T3103201/21/41/2244T421/21/221/2221/21/21/40T501/4027010001/4T601/421/2051/5021/20T701/241/215241/21/22T801/222001/451/21/60T9411/2201/222380T101/201/4402261/840T111/201/40401/20007现在依据上述算法计算矩阵B的主特征根和特征向量MATLAB计算数据A=[1,1/5,1,1/2,0,0,0,0,1/4,2,2;5,1,0,2,4,4,2,2,1,0,0;1,0,1,2,0,1/2,1/4,1/2,2,4,4;2,1/2,1/2,1,1/2,2,2,1/2,1/2,1/4,0;0,1/4,0,2,1,0,1,0,0,0,1/4;0,1/4,2,1/2,0,1,1/5,0,2,1/2,0;0,1/2,4,1/2,1,5,1,4,1/2,1/2,2;0,1/2,2,2,0,0,1/4,1,1/2,1/6,0;4,1,1/2,2,0,1/2,2,2,1,8,0;1/2,0,1/4,4,0,2,2,6,1/8,1,0;1/2,0,1/4,0,4,0,1/2,0,0,0,1];[X,B]=eig(A)X=Columns1through40.1437-0.0424+0.1167i-0.0424-0.1167i0.0928-0.0552i0.39800.1218-0.1366i0.1218+0.1366i-0.0694+0.0976i0.3472-0.1753+0.3103i-0.1753-0.3103i-0.0011+0.0741i0.23060.0823-0.1962i0.0823+0.1962i-0.1356-0.3720i0.0950-0.1255-0.1165i-0.1255+0.1165i-0.2681-0.0120i0.21570.1270+0.2448i0.1270-0.2448i-0.0711+0.1515i0.40160.5028-0.0433i0.5028+0.0433i0.73340.17230.0327+0.0519i0.0327-0.0519i-0.1427+0.1720i0.5346-0.5342-0.5342-0.1557-0.2206i0.3313-0