浅谈高等数学中求极限的若干方法

本科毕业论文浅谈高等数学中求极限的若干方法学院_______数理学院________专业___数学与应用数学____年级班别__2010级1班_学号__2012ZSB090104____学生姓名____汤利___________指导教师____邱呈玲(副教授)__2014年6月6日JINGCHUUNIVERSITYOFTECHNOLOGY目录摘要........................................................................11利用数列和函数的定义及性质求极限...........................................21.1定义法.................................................................21.2利用夹逼性定理求极限...................................................41.3利用极限的四则运算法则求极限...........................................41.4单调有界原理...........................................................51.5利用函数的连续性求极限.................................................52利用等价替换求极限........................................................62.1利用两个重要极限.......................................................62.2利用等价无穷小代换来求极限.............................................62.3用洛必达法则求极限.....................................................72.4利用泰勒展开式求极限...................................................82.5利用无穷小量与无穷大量的性质求极限.....................................93利用微积分求极限...........................................................93.1利用定积分的定义求极限.................................................93.2利用微分中值定理和积分中值定理求极限..................................103.3利用变限积分函数求极限................................................104运用级数的性质求极限.....................................................115其它求极限的方法.........................................................115.1斯特劳林公式法........................................................115.2欧拉数法..............................................................116总结.....................................................................12参考文献...................................................................12致谢.......................................................................131浅谈高等数学中求极限的若干方法摘要:极限是高等数学的重要组成部分,它是微积分的理论基础.极限的类型较为广泛、复杂，求极限的方法也是因题而异，变化多端，有时让人感到无从下手。本文结合书本上求极限的方法和几位名师的解题方法对高等数学中极限的求解方法进行了探讨和归纳。从数列和函数的极限的定义及性质、等价替换、微积分的定义及性质、级数收敛等方面系统地对高等数学中所涉及到的求极限的方法做了一定的概括和总结，并结合具体的例子，指出了在解题过程中常遇见的一些问题。最后本文还列出了斯特劳林公式法、欧拉数法这两种特殊的求极限的方法。关键词:数列与函数;等价替换;微积分;级数;公式法IntroductiontolimitseveralmethodsofhighermathematicsAbstract:Limitisanimportantpartofhighermathematics,whichisthetheoreticalbasisofcalculus.Butthelimittypeiswidespread，iscomplex,asksthelimitthemethodalsoisbecauseofthetopicdifferent,changeable,sometimesletsthehumanfeelstartswithoutknowingwheretobegin.Inthispaper,seekinglimitsonthewaybooksandseveralteacherofhighermathematicsproblem-solvingapproachinthelimitofthesolutionmethodsarediscussedandsummarized.Fromtheseriesandthelimitofafunctiondefinitionandnature,theequivalentreplacement,thedefinitionandnatureofthecalculus,seriesconvergenceandotheraspectsofhighermathematicssystematicallyinvolvedinseekingtolimitthemethodtodoacertainamountofsummaryandconclusion,andwithspecificexamples,problem-solvingprocessthatoftenencounteredinsomeoftheproblems.Finally,thepaperalsolistsManchesterMcLaughlinformula,Eulernumbermethodofseekingthelimitofthesetwospecialmethods.Keywords:sequenceandfunction;equivalentreplacement;calculus;progression;formulamethod2高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。极限是研究变量变化趋势一个基本工具，高等数学中许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导数、微积分、偏导数、二重积分、三重积分、无穷级数收敛的定义等等都是由极限定义的。极限是贯穿高等数学的一条主线，将高等数学中的知识点紧紧联系在一起，离开了极限的思想高等数学就失去了基础价值，因此极限运算是高等数学的基本运算。实际上极限的思想和方法产生于求某些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用。由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限，又由于极限运算分布于整个高等数学的始终，许多重要的概念是由极限定义的，极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具。反过来，我们也可以利用这些概念来求某些类型的极限，所以求极限的方法多种多样。针对这种情况，本文结合课本及各种名师解题方法归纳，总结出了如下14种常见的求极限的方法以及2种特殊的求极限的方法。1、利用数列和函数的定义及性质求极限1.1定义法利用数列极限的定义来求数列的极限。设na是一个数列,a是实数,如果对任意给定的0,总存在一个正整数N,当Nn时,都有aan,我们就称a是数列na的极限。记为aannlim，此定义称为数列极限的N定义。例1．证明10limqqnn。证明：方法一若0q，则结论成立，现设10q，记11qh，则0h于是由nhhn11可知nhnhhqqnnn111110，所以任意的0,要使0nq,只要使nh1，取hN1，则当Nn时，恒有0nq综上所述10limqqnn。3方法二若0q，则结论成立。现设10q，0，要使0nq，即要使nq两边同时取对数，注意到10q，有qnln/ln，取qNln/ln，则当Nn时，就有0nq，从而10limqqnn。用定义法求极限一般方法是先猜想后证明，验证极限有如下两种方法第一种方法:直接解绝对值不等式aan。步骤为：第一步，任给0；第二步，解不等式aan，设解为fn；第三步，取fN（f表示为的某一表示式）；第四步，指出当Nn时,有不等式aan成立。第二种方法步骤为：第一步，任给0；第二步，将aan放大为n(有时要对n作限制，假设1Nn)；第三步，解不等式n，设解为gn；第四步，取gN（或gNN,max1）；第五步，指出当Nn时,有不等式aan成立。利用函数极限的定义求函数极限。设函数f在点0x的某个去心邻域内有定义,A为一常数。若0,0,使得当00xx时有Axf，则称函数f当x趋于0x时以A为极限，记为Axfxx0lim（N定义）。用定义法求函数极限的一般方法也是先猜想后证明，在0xx时，,0要找出对应的，在x时要找出对应的M。一般方法是将Axf经过变形、放大，得到0xx或Mx。在变形时大多是改变xf的形式，但有时也可改变A的形式来实现。用N定义验证Axfxx0lim的步骤如下：4第一步，任给0；第二步，由不等式Axf经适当的变化（如放大等）后可变为0xx；第三步，取)(；第四步，指出在00xx时有Axf成立。11.2利用夹逼性定理求极限定理1：若存在正整数n,当Nn时,有nnnZYX,且limlimnnnnXZa,则limnnYa。2例2．求21limnnn。解:对任意正整数n,显然有nnnnnn221122,而n时01n,02n,由夹逼性定理得01lim2nnn。使用这个法则时必须根据所求数列nY的结构，将nY适当放大或缩小，放大后为nZ，缩小后为nX，其中nX，nZ必须收敛于同一个极限。1.3利用极限的四则运算法则求极限极限的四则运算法则:若极限xfxx0lim和xgxx0lim都存在,则函数)(xf)(xg，)()(xgxf当0xx时极限也存在且①xgxfxgxfxxxxxx000limlimlim②xgxfxgxfxxxxxx000limlimlim又若0lim0x