第二章--矩阵的运算及与矩阵的秩

第二章矩阵的运算与矩阵的秩本章要点流程:首先介绍矩阵的基本运算进一步了解分块矩阵重点学习可逆矩阵最后对齐次线性方程组解的作了讨论认识矩阵的秩§2.1矩阵的基本运算一、矩阵的线性运算定义2.1设矩阵A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，l为给定的数．（1）加法：C=(aij+bij)为矩阵A与B相加的和，记作A+B（2）数乘：C=l(aij)为数l与矩阵A相乘的积，记作lAllll000000I称为数量矩阵§2.1矩阵的基本运算称矩阵(-1)A=(-aij)为矩阵A的负矩阵，记为-A．矩阵的减法：A-B=A+(-B)=(aij-bij)矩阵的线性运算矩阵的加法数与矩阵的乘法§2.1矩阵的基本运算运算规律（设为A,B,C同型矩阵，k,s,l为给定的数）1)A+B=B+A（交换律）2)(A+B)+C=A+(B+C),(ks)A=k(sA)=s(kA)（结合律）3)k(A+B)=kA+kB,(k+s)A=kA+sA（分配律）4)A+O=A5)A+(-A)=O6)1·A=A；0·A=O;l·O0§2.1矩阵的基本运算例2.1123015A设113242B且A-2X=B,求X§2.1矩阵的基本运算二、矩阵的乘法圆珠笔钢笔铅笔九月200100300十月2201502601．矩阵乘法的定义§2.1矩阵的基本运算引例某文化用品商店售圆珠笔、钢笔和铅笔三种，每种商品的进货单价和数量如下表。每种商品进货单价和销售单价（元）如下表：进货单价销售单价圆珠笔68钢笔912铅笔34§2.1矩阵的基本运算§2.1矩阵的基本运算求每个月的总进货额和总销售额。金额月份总进货额总销售额九月十月200×6+100×9+300×3200×8+100×12+300×4220×6+150×9+260×3220×8+150×12+260×442601215082203260915062204300121008200330091006200C定义矩阵矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列的对应元素乘积之和。§2.1矩阵的基本运算200100300220150260A6891234B矩阵C与A、B之间有什么关系？定义2.2设A=(aij)m×s，B=(bij)s×n，那么称C=AB=(cij)m×n为矩阵A与B的乘积.其中)2,1;2,1(1njmibackjskikij§2.1矩阵的基本运算由这个定义可知：1）矩阵A、B相乘的条件：矩阵A的列数=矩阵B的行数.3）矩阵乘法法则：乘积C的第i行第j列的元素Cij等于矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列的对应元素乘积之和。§2.1矩阵的基本运算2）矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数。例2.1123012121A设120312B求AB§2.1矩阵的基本运算1234A设5121B求AB，BA例2.2注：⑴矩阵乘法一般不满足交换律，即AB≠BA.若对A、B有AB=BA，则称A与B是可交换的.§2.1矩阵的基本运算1111A设1111B求AB例2.3注：⑵由AB=0一般不能得到A=0或B=0.1224A设1321B求AB，AC例2.47112C注：⑶若AB=AC，且A≠0,则一般不能得到B=C.矩阵乘法满足的运算律：§2.1矩阵的基本运算1)(AB)C=A(BC)（结律合）k(AB)=(kA)B=A(kB)2)A(B+C)=AB+AC（分配律）(B+C)A=BA+CA3)设Am×n，则ImA=AIn=A方阵的幂kllklklkAAAAA)(,其中k,l为正整数．设A是n阶方阵，k是正整数，k个A连乘称为A的k次幂，记作Ak，即kkAAAA个相关结论：§2.1矩阵的基本运算kkkBAAB)(一般地约定A0=I矩阵的多项式：()fA1110mmmmaAaAaAaI§2.1矩阵的基本运算例2.50211A设求f(A)且f(x)=x2-2x+3为n阶方阵A的m次多项式用数学归纳法证(1)1221100100000nnnnnnnnnnnlllllllll§2.1矩阵的基本运算例2.6(n为任意自然数）．线性方程组的矩阵表示系数矩阵：§2.1矩阵的基本运算11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA1112111212222212nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxbAXB．§2.1矩阵的基本运算2.矩阵与初等矩阵的乘积例如：计算下列矩阵与初等阵的乘积242322213433323114131211343332312423222114131211010100001)3,2(aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAE§2.1矩阵的基本运算24232221343332311413121134333231242322211413121132aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaarr上述过程也可以等同于：34333231242322211413121134333231242322211413121110000001))(2(aaaakakakakaaaaaaaaaaaaaaaaakAkE3433323134243323322231211413121134333231242322211413121110010001))(3,2(aaaakaakaakaakaaaaaaaaaaaaaaaaaakAkE§2.1矩阵的基本运算§2.1矩阵的基本运算3432333124222321141213113433323124232221141312111000001001000001)3,2(aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAE上述过程也可以等同于：34323331242223211412131134333231242322211413121132aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaCC343332312423222114131211343332312423222114131211100001000000001))(2(aakaaaakaaaakaakaaaaaaaaaaaakAE343233323124222322211412131211343332312423222114131211100001000100001))(3,2(akaaaaakaaaaakaaaakaaaaaaaaaaaakAE§2.1矩阵的基本运算即：E(i,j)A：相当于交换A的第i行与第j行；E(i(k))A：相当于用非零数k乘矩阵A的第i行；E(i,j(k))A：相当于A的第j行乘k加到第i行上；§2.1矩阵的基本运算定理2.1设Am×n=(aij)m×n,则：（1）对A施行某种行初等变换，相当于对A左乘一个相应的m阶初等矩阵.即：AE(i,j)：相当于交换A的第i列与第j列；AE(i(k))：相当于用非零数k乘矩阵A的第i列；AE(i,j(k))：相当于A的第i列乘k加到第j列上．§2.1矩阵的基本运算同理：（2）对A施行某种初等列变换，相当于对A右乘一个相应的n阶初等矩阵.推论：若m×n矩阵A与B等价，则存在若干个m×m初等矩阵Pi(i=1,2-----,s)和若干个n×n初等矩阵Qj(j=1,2-----,t)使得1212stPPPAQQQB§2.1矩阵的基本运算.212221212111mnnnmmTaaaaaaaaaA三、矩阵的转置mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211§2.1矩阵的基本运算定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个n×m矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.§2.1矩阵的基本运算相关性质：3.(kA)T=kAT（k为常数）2.(A+B)T=AT+BT1.(AT)T=A4.(AB)T=BTAT§2.1矩阵的基本运算定义2.4设A是n阶方阵，如果AT=A，则称A是对称矩阵；123251317A如：023201310A12130,03;.12TTABBA设求例2.7如果AT=-A，则称A是反对称矩阵.A=(aij)n×n为对称阵的充要条件是aij=aji(i,j=1,2,…n)§2.1矩阵的基本运算结论A=(aij)n×n为反对称阵的充要条件是aij=－aji(i,j=1,2,…n)反对称阵的主对角线上的元素aii=0(i=1,2,…n)§2.1矩阵的基本运算例2.8设A、B均是n阶对称矩阵，求证AB是对称矩阵的充要条件是A、B可交换.例2.9设A是n阶对称矩阵,B是n阶反对称矩阵，证明AB+BA是反对称矩阵.§2.2分块矩阵111213212223313233414243aaaaaaaaaaaa§2.2分块矩阵一、分块矩阵的概念矩阵的分块就是将矩阵A用若干纵线和横线分成几个小矩阵，每一小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵，称为分块矩阵。321900000023000085200011000000040000021AAAA例如：§2.2分块矩阵1．分块矩阵相加、减二、分块矩阵的运算设A、B是两个用相同方法分块的同型矩阵§2.2分块矩阵11121111212122221222121211111111,qqqqmnmnpppqpppqqqpppqpqAAABBBAAABBBABAAABBBABABABABAB设2.数与分块矩阵相乘§2.2分块矩阵11121121112112,qpppqqpppqAAAAAAAAAAAAAAllllllll设是一个实数，则3．分块矩阵相乘.)(,1212222111211212222111211212222111211qkkjikijptppttqtqqttpqppqqBACCCCcCCCCCBBBBBBBBBAAAAAAAAAAB其中设A=(aij)m×s，B=(bij)s×n，并作如下分块：§2.2分块矩阵分块矩阵相乘的条件：(1)A分出的列子块数＝B分出的行子块数(2)A中每一个子块的列数＝B中相应的子块的行数§2.2分块矩阵分块对角阵乘法：