关于渐近线

关于渐近线若发现问题请联系：[e-mail]1/5关于渐近线1目录关于渐近线.......................................................................................................................................11渐近线求解一例...................................................................................................................12三种渐近线的定义及示例...................................................................................................32.1铅直渐近线................................................................................................................32.2水平渐近线................................................................................................................32.3斜渐近线....................................................................................................................43斜渐近线的求解方法...........................................................................................................41渐近线求解一例求函数1()1xxfxe的渐近线。（首先说明：此题放在第一章习题中不合适，因部分极限的求解过程中需要用到洛必达法则）解：1）铅直渐近线此函数为初等函数，在定义域内连续，定义域为{0}，故只可能在0x点有铅直渐近线，因001lim()lim1xxxxfxe，故0x为该函数的铅直渐近线。2）水平渐近线1lim()lim()11limlim0xxxxxxxxfxeee为型未定式，使用洛必达法则，分子分母分别求导故0y为该函数在x时的一条水平渐近线。111lim()l(imlimlim1111)0xxxxxxxfxxee，x时无水平渐近线；3)斜渐近线()11111limlimlimlim=11110xxxxxxfxxxxxexe，（也可利用第二步中的结论lim()xfx，即()1limli0mlim()00xxxfxfxxx）12016.10.23关于渐近线若发现问题请联系：[e-mail]2/5斜渐近线的斜率不可能为0，故x时，函数无斜渐近线；()1limlim()(1)1lim(e)1lim()1lim(e)111lim1110xxxxxxxxxxxxxxxxfxxxxeexeeexeee型，洛必达法则分子分母同乘以型，洛必达法则分子分母同乘以记()lim1xfxax，再求截距b1lim()lim()11lim(e)1lim()11limlim1101xxxxxxxxxxxxxxxxbfxaxxexeeexeeee通分分子分母同乘以型，洛必达法则于是1yx为x时函数的一条斜渐近线。综上可得：1()1xxfxe的渐近线共有三条：铅直渐近线0x，x时的水平渐近线0y和x时的斜渐近线1yx。下图为该函数图像（局部）。关于渐近线若发现问题请联系：[e-mail]3/52三种渐近线的定义及示例渐近线的类型有三种：铅直（垂直）渐近线、水平渐近线和斜渐近线。考察渐近线，本质上是求极限，属于比较综合的题目，自变量的6种趋向2几乎都考察到了。并且因变量y的趋向也有6种，这样共有6636（计数问题中的乘法原理）种可能的形式。考察渐近线的目的，是为第三章中函数的作图做准备。2.1铅直渐近线定义1：若0lim()xxfx，则称0xx为函数()fx当自变量x从左侧趋向于0x时的一条铅直渐近线。如图1中的a)、b)所示。c)、d)为右侧趋向于0x时的铅直渐近线（定义类似）。图1铅直渐近线例1：1)0x是函数1yx的铅直渐近线（自变量x从左、右两侧无线逼近于0时均是。）2）0x是仅是函数1exy当x从右侧逼近于0时的铅直渐近线，从左侧趋向于0时则不是（为什么？）。2.2水平渐近线定义：若lim()xfxA，则称yA为函数()fx当自变量x从趋向于时的一条2即：000,,,,xxxxxxxxx，关于渐近线若发现问题请联系：[e-mail]4/5铅直渐近线。如图2中的a)、b)。c)、d)为x时的水平渐近线（定义类似）。图2水平渐近线例2：2y为函数arctanyx当x时的水平渐近线；2y为函数arctanyx当x时的水平渐近线。2.3斜渐近线定义：若(im)0lxfxaxb，则称直线yaxb为函数()fx当x时的斜渐近线。如图3中的a)、b)。而c)、d)中，yaxb为x时函数()fx的斜渐近线（定义类似）。图3斜渐近线3斜渐近线的求解方法在三种渐近线中，斜渐近线yaxb的求解相对较为复杂，求解方法：()lim,lim()xxfxabfxaxx关于渐近线若发现问题请联系：[e-mail]5/5图4有两条斜渐近线的可能情况在斜渐近线的求解过程中，有以下几种可能：1)()limxfxax存在，且lim()xbfxax也存在，如图4中的子图a)所示；2)()limxfxax存在，而lim()xfxax不存在，但是2lim()xbfxax或是1lim()xbfxax存在。图4中的子图b)所示为有两条斜率相同的斜渐近线的情况；3)()limxfxax不存在，但是1()limxfxax或是2()limxfxax存在。比如1a存在，求截距1b时，只需考虑x即可。图4中的子图c)所示为有两条不同斜率的斜渐近线的情况；4)若,,xxx时，()fxx均不存在极限，则可断定函数()fx不存在斜渐近线。