2015版高中数学(人教版必修5)配套课件：1.1-正弦定理和余弦定理-第3课时

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修5解三角形第一章1.1正弦定理和余弦定理第一章第3课时正、余弦定理的综合应用课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1课前自主预习工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，∠A＝53°，∠B＝47°，AB长为1m.他想修好这个零件，但不知道AC和BC的长度是多少，所以无法截料．你能帮工人师傅这个忙吗？•1.正弦定理的数学表达式为________________．[答案]asinA＝bsinB＝csinC2．余弦定理的数学表达式为________、________、________.[答案]a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝a2＋c2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC1.正弦定理的作用(1)已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角．(2)已知三角形的两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而计算出其他的边和角．(3)边化角，角化边．(1)已知△ABC中，a＝2，A＝45°，B＝30°，求b、c和C；(2)已知△ABC中，a＝3，b＝1，B＝120°，求A；(3)在△ABC中，lga－lgc＝lgsinB＝lg22，且B为锐角，判断三角形的形状．[解析](1)根据三角形内角和定理，得C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.根据正弦定理，得b＝asinBsinA＝2sin30°sin45°＝2×1222＝2，c＝asinCsinA＝2sin105°sin45°＝2sin75°sin45°＝2×6＋2422＝3＋1.(2)由条件知角B为最大角，∴b为最大边，但已知ba，故无解．(3)由lgsinB＝lg22，得sinB＝22.又B为锐角，∴B＝45°.又由lga－lgc＝lg22，得ac＝22.根据正弦定理，得sinAsinC＝22，∴2sinC＝2sinA＝2sin(135°－C)，即sinC＝sinC＋cosC．∴cosC＝0.∴C＝90°.因此△ABC为等腰直角三角形．•2．余弦定理及其推论的作用•(1)已知三角形的两边及其夹角，求其他的边和角．•(2)已知三角形的三边，求三个角．•(3)边化角，角化边．(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求角A；(2)在△ABC中，已知abc＝235，求△ABC中各内角的余弦值．[解析](1)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋(22)2－2×2×22cos15°＝4＋8－82×6＋24＝8－43，因此c＝6－2.又∵asinA＝csinC，∴sinA＝asinCc＝2sin15°6－2＝2×6－246－2＝12.∵ba，∴BA．又∵0°A180°，∴A必为锐角，即A＝30°.(2)令a＝2k，b＝3k，c＝5k(k0)，由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝3k2＋5k2－4k22×3k×5k＝4k2215k2＝21515，cosB＝a2＋c2－b22ac＝4k2＋5k2－3k22×2k×5k＝6k245k2＝3510，cosC＝a2＋b2－c22ab＝4k2＋3k2－5k22×2k×3k＝2k243k2＝36.故cosA＝21515，cosB＝3510，cosC＝36.3．三角形的面积公式由正弦定理可得三角形的面积S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA．(2014·新课标Ⅱ理，4)钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝()A．5B．5C．2D．1[答案]B[解析]本题考查余弦定理及三角形的面积公式．∵S△ABC＝12acsinB＝12·2·1·sinB＝12，∴sinB＝22，∴B＝π4或3π4.当B＝π4时，经计算△ABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．∴B＝3π4，根据余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB，解得b＝5，故选B.课堂典例探究三角函数的化简、求值设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(A－C)＋cosB＝32，b2＝ac，求B.[分析]三角形内角A、B、C满足A＋B＋C＝π，故条件式cos(A－C)＋cosB＝32可化为只含A与C的表达式．由正弦定理可将条件式b2＝ac化为角的表达式sin2B＝sinA·sinC，进而可解出角B.[解析]由cos(A－C)＋cosB＝32及B＝π－(A＋C)得cos(A－C)－cos(A＋C)＝32，∴cosAcosC＋sinAsinC－(cosAcosC－sinAsinC)＝32，∴sinAsinC＝34.又由b2＝ac及正弦正理得，sin2B＝sinAsinC，故sin2B＝34，sinB＝32或sinB＝－32(舍去)，于是B＝π3或B＝2π3.若B＝2π3，则cos(A－C)＝32－cosB＝2，这不可能，所以B＝π3.在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sinC＝2sinA．(1)求AB的值；(2)求sin2A－π4的值．[解析](1)在△ABC中，根据正弦定理得，ABsinC＝BCsinA.于是AB＝BC·sinCsinA＝2BC＝25.(2)在△ABC中，根据余弦定理得，cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝255，于是sinA＝1－cos2A＝55.从而sin2A＝2sinAcosA＝45，cos2A＝cos2A－sin2A＝35.所以sin2A－π4＝sin2Acosπ4－cos2Asinπ4＝210.三角形的面积公式在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边．若a＝2，C＝π4，cosB2＝255，求△ABC的面积S.[分析]由cosB2可求得cosB、sinB，由△ABC内角关系及边a用正弦定理可求b(或c)，再代入面积公式可求面积．[解析]由题意得，cosB＝2cos2B2－1＝35，∴B为锐角，sinB＝1－cos2B＝45，sinA＝sin(π－B－C)＝sin3π4－B＝7210，由正弦定理得c＝asinCsinA＝107，∴S＝12ac·sinB＝12×2×107×45＝87.(2013·浙江文，18)在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinB＝3b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．[解析](1)由2asinB＝3b及正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝32.因为A是锐角，所以A＝π3.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝36.又b＋c＝8，所以bc＝283.由三角形面积公式S＝12bcsinA，得△ABC的面积为733.综合应用在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，B＝π3，cosA＝45，b＝3.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．[解析](1)∵角A、B、C为△ABC的内角，且B＝π3，cosA＝45，∴C＝2π3－A，sinA＝35.∴sinC＝sin2π3－A＝32cosA＋12sinA＝3＋4310.[分析](1)已知角B和cosA，利用内角和定理及两角和与差的三角函数，可求sinC．(2)利用正弦定理求三角形面积需要两边及夹角，已知边b及三内角，可利用正弦定理再求出一边，然后求面积．(2)由(1)知sinA＝35，sinC＝3＋4310.又∵B＝π3，b＝3，∴在△ABC中，由正弦定理得a＝bsinAsinB＝65.∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cosA＝35，AB→·AC→＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6，求边a的长．[解析](1)∵AB→·AC→＝3，∴bccosA＝3，∴bc＝5.∴S△ABC＝12bcsinA＝12×5×45＝2.(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc－2bccosA＝36－10－10×35＝20，∴a＝25.求取值范围钝角三角形的三边长分别是a，a＋1，a＋2，且最大角不超过120°，求实数a的取值范围．[分析]设最大内角为α――――――→a＋2a＋1a余弦定理cosα＝a－32a―――→α90°α≤120°a的取值范围[解析]∵a0，∴a＋2a＋1A．设钝角三角形的最大内角为α，则90°α≤120°，且其所对边长为a＋2.根据余弦定理，cosα＝a2＋a＋12－a＋222aa＋1＝a－32a.∵90°α≤120°，∴－12≤cosα0，即－12≤a－32a0.∵a为正实数，解得32≤a3.即所求a的取值范围是[32，3)．在△ABC中，C＝3B，求cb的取值范围．[解析]由正弦定理，得cb＝sinCsinB＝sin3BsinB＝sinB＋2BsinB＝sinBcos2B＋cosBsin2BsinB＝cos2B＋2cos2B＝4cos2B－1.∵A＋B＋C＝180°，C＝3B，∴0°B45°，即22cosB1，∴12cos2B1，故1cb3.[方法总结]在解该题时，将边之间的关系转化为角的关系，应用三角函数来解决，但应注意对角的限定.在△ABC中，角A、B、C满足2B＝A＋C，B的对边b＝1，求a＋c的取值范围．[错解]∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝π3，C＝2π3－A，∴a＋c＝bsinAsinB＋bsinCsinB＝233(sinA＋sinC)＝233[sinA＋sin(2π3－A)]＝3sinA＋cosA＝2sin(A＋π6)，∵0Aπ，∴π6A＋π67π6，∴－12sin(A＋π6)12，∴－1a＋c1，又a＋c0，∴0a＋c1.[辨析]错解中前面还照顾到了A与C的相互制约关系，后面在讨论sin(A＋π6)的取值范围时又忽略了．误把(0，π)作为A的取值范围；另一处错误是，由π6A＋π67π6得出－12sin(A＋π6)12，事实上sinx在(π6，7π6)上不单调．[正解]在原解答中把“∵0Aπ”后面的去掉，换为∵0Aπ0CπC＝2π3－A，∴0A2π3，∴π6A＋π65π6，∴12sin(A＋π6)≤1，∴1a＋c≤2.正弦定理定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R应用已知两角和一边，解三角形已知两边和其中一边的对角，解三角形余弦定理定理a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝c2＋a2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC应用已知两边及一角，解三角形已知三边，解三角形解三角形课时作业（点此链接）