信号与系统王明泉第七章习题解答

第7章离散时间系统的Z域分析7.1学习要求（1）深刻理解z变换的定义、收敛域及基本性质，会根据z变换的定义和性质求解一些常用序列的z变换，能求解z反变换，深刻理解z变换与拉普拉斯变换得关系；（2）正确理解z变换的应用条件；（3）能用z域分析分析系统，求离散系统的零状态响应、零输入响应、完全响应、单位样值响应；（4）深刻理解系统的单位样值响应与系统函数H(z)之间的关系，并能用系统函数H(z)求解频率响应函数，能用系统函数的分析系统的稳定性、因果性。7.2本章重点（1）z变换（定义、收敛域、性质、反变换、应用）；（2）z域分析（求解分析系统）；（3）系统的频率响应函数。7.3本章的知识结构系统的Z域分析Z变换定义、收敛域Z反变换的求解系统的频响因果稳定系统系统函数基本序列的z变换基本性质与拉氏、傅氏变换的关系序列的傅立叶变换7.4本章的内容摘要7.4.1Z变换（1）定义nnznxzX)()(表示为：)()]([zXnxZ。（2）收敛域1.有限长序列12(),()0,xnnnnxnn其他（1）当0,021nn时，n始终为正，收敛条件为0z；（2）当0,021nn时，n始终为负，收敛条件为z；（3）当0,021nn时，n既取正值，又取负值，收敛条件为z0。2.右边序列11(),()0,xnnnxnnn（1）当01n时，n始终为正，由阿贝尔定理可知，其收敛域为1xRz，1xR为最小收敛半径；（2）当01n时，)(zX分解为两项级数的和，第一项为有限长序列，其收敛域为z；第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知，其收敛域为1xRz；取其交集得到该右边序列的收敛域为zRx1。3．左边序列2(),()0,xnnnxnn其他（1）当02n，n始终为负，收敛域为2xRz，2xR为最大收敛半径；（2）当02n，)(zX可分解为两项级数的和，第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,其收敛域为2xRz，2xR为最大收敛半径；第二项为有限长序列，其收敛域为0z；取其交集，该左边序列的收敛域为20xRz。4．双边序列双边序列指n为任意值时,)(nx皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。其z变换：01)()()()(nnnnnnznxznxznxzX双边序列的收敛域为一环形区域21xxRzR。下表列出了序列的形式与z变换收敛域的关系。（3）常用序列的Z变换表7.11、)()(nnx1)()]([0ZZnnZnn收敛域为整个Z平面。2、()()nxnaunazzazzX111)(，收敛域为az。3、)1()(nuanxnazzzazazX1)(11，收敛域为az。[注释]1．因果序列的收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。2．左边序列的收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。3．对照例2.2和2.3不难发现，不同的序列可得到相同的Z变换表达式，因此一个Z变换表达式不唯一对应一个序列，而需要和收敛域一起确定一个序列。（4）Z反变换1.部分分式法当)(zX的表达式为有理分式时可采用部分分式展开法求其反变换。有理分式是指含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。部分分式法是把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的和，使各分式具有kAxa)(或kBAxxbax)(2的形式，其中BAxx2是实数范围内的不可约多项式，而且k是正整数。这时称各分式称为原分式的“部分分式”。通常，X(z)可表成有理分式形式：iNiiMiiizazbzAzBzX101)()()(因此，X(z)可以展成以下部分分式形式：rkkikrNkkkNMnnnzzCzzAzBzX11110)1(1)(其中，M≥N时，才存在nB；Zk为X(z)的各单极点，Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为：rkzzrikrkrkzzkikzzxzzdzdkrCzzXsA2,1,)()[()!(1])([Re分别求出各部分分式的z反变换，然后相加即得X(z)的z反变换。2.幂级数展开法(长除法)由Z变换的定义可知，x(n)的Z变换为Z-1的幂级数，即2102)2()1()0()1()2()()(zxzxzxzxzxznxzXnn所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。（1）若收敛域为|z|Rx+，x(n)为右边序列，则X(z)主要展成Z的负幂级数。（2）若收敛域|Z|Rx-,x(n)必为左边序列，主要展成Z的正幂级数。[结论]可采用长除法将)(zX的有理表达式展开为幂级数形式。（1）若所对应)(nx为右边序列，在进行长除时，分子、分母采用1z的升幂或z的降幂次序排列；（2）若所对应)(nx为左边序列，在进行长除时，分子、分母采用1z的降幂或z的升幂次序排列。（5）基本性质和定理7.4.2Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系（1）Z变换与拉氏变换的关系1.r与σ的关系)(Ter0即S平面的虚轴，对应1r,即Z平面单位圆；0即S的左半平面，对应1r,即Z的单位圆内；0即S的右半平面，对应1r,即Z的单位圆外。2、ω与Ω的关系（ω=ΩT）Ω=0，S平面的实轴，对应0，Z平面正实轴；Ω=Ω0(常数)，S:平行实轴的直线，对应T0,Z平面上始于原点的射线；TsTT2),,(：宽为的水平条带，对应),(整个z平面。（2）Z变换和傅氏变换的关系12()()()jjazekkXzXeXjTT序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。（3）序列的傅氏变换njnezjenxzXexnxFj)()()()]([11111[()]()()()22jnjjnzFXexnXzzdzxeedj7.4.3离散系统的系统函数及频率响应（1）.系统函数:)()()(zXzYzHnnznhnhZzH)()]([)(（2）系统的频率响应单位圆上的z变换是序列的傅里叶变换，反映了序列的频谱。如果上述z变换是一个线性移不变系统的系统函数，那么单位圆（jez）上系统函数就是系统的频率响应，记为)(jeH。（3）因果稳定系统如果系统函数的收敛域包括单位圆（1z），则系统是稳定的，反之成立。也就是说)(jeH必须存在且连续。因果系统的收敛半径为1xR的圆的外部，且必须包括z在内。一个因果稳定的系统函数)(zH必须在从单位圆到的整个Z域内收敛，即收敛域包括：z1。也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。7.5典型考试试题解析题1、判断LTI系统的221()356zHzzzz的稳定性和因果性答案：因果、不稳定分析：系统的极点为2，3。所以系统的因果的，另外系统的收敛域不包含单位圆，所以系统不稳定题2、已知一线性时不变且因果的离散时间系统差分方程为)1()()2(2)1(3)(nxnxnynyny（1）求这个系统的系统函数和收敛区域；（2）求此系统的单位抽样响应（3）当激励为)()1(10)(nunxn时的系统零状态响应（4）画出系统流图解：（1）将方程两边作Z变换得121()3()2()()()YzzYzzYzXzzXz12122()1()()13232YzzzzHzXzzzzz所以系统的零点为-1，极点为1，2因为系统是因果系统，所以系统的收敛域满足2z（2）2223()3212zzzzHzzzzz求z反变换得：)(23)(2)(nununhn（3）将()xn作z变换得1110)(zzX，根据离散系统的z域分析1210()()()132YzXzHzzz求z反变换得：()10()202()nynunun（4）根据系统函数，可画出系统流图)(nx)(ny1z3-11z-2题3、已知用下列差分方程描述的线性移不变因果系统：)1()2()1(25)(nxnynyny（1）求这个系统的系统函数及其收敛区域；（2）求此系统的单位抽样响应；（3）此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳定的（非因果）系统的单位抽样响应。解：（1）)()()(25)(121zXzzYzzYzzY1z25zz)z(H2，极点2z,21z，零点z=0；收敛域2z（2）系统函数可分解为)21zz2zz(32)z(H求z反变换得：)n(u)22(32)n(hnn（3）稳定的系统，那么收敛域要包含单位圆，所以收敛域为2z21求z反变换得：)]n(u2)1n(u2[32)n(hnn题4、已知,25.0,2523)(211zzzzzX求()xn。解：)2)(12(32523)(2zzzzzzzX22/1)(zzzzzX∵,25.0z∴)1(2)(5.0)(nununxnn题5、己知112125.013)(zzzX求出对应X(z)的各种可能的序列表达式解：两个极点：5.01z，22z（1）5.0z左边序列)1(22)5.0(3)(nunxnn（2）2z右边序列)(22)5.0(3)(nunxnn（1）25.0z双边序列)1(22)()5.0(3)(nununxnn7.6本章习题全解7.1求下列序列的z变换，绘出零、极点分布图，并标明收敛域（1）(1)()0.5()nnnun（2）5[()(2)]nunun（3）1(1)3nun（4）1(1)3nun（5）0()nnk（6）0()knk（7）2()nun（8）2()nun（9）2(1)nun（10）2[()(10)]nunun（11）0()cos()()(01)nxnArnunr解：（1）(1)()0.5()nnnun5.0,5.01111zzzzX（2）5[()(2)]nunun0,5152510zzzznunuzXnnnnnn（3）1(1)3nun31,131131111313113101zzzzzznuzXnnnnnnn（4）1(1)3nun3,313111333131011zzzzzzzznuzXnnnnnnnnn（5）0()nnk（6）0()knknunnnknk2101,110zzzzznuzXnnnn（7）2()nun2,2211220zzzzzznuzXnnnnn（8）2()nun21,21122200zzzzznuzXnnnnnnn（9）2(1)nun21,2121211122212011zzzzzzzznuzXnnnnn