学年论文(逆矩阵)

逆矩阵的求法1.引言矩阵理论是线性代数以及高等代数的核心内容，无论是二次型，还是线性变换以及欧几里得空间都可以借助于矩阵简便的解决相关问题．可以说，掌握矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件．而求逆矩阵在矩阵中占有重要地位．所以，笔者详细归纳了一系列的求解方法，并力求在某些方法的基础上推广逆矩阵的求法或找到一种新的求法．矩阵对角化在国内外已有一定的研究．早在十九世纪末，人们在研究行列式的性质和计算时，提出了对角矩阵的概念，由于计算机的发展，更是为矩阵对角化的应用开辟了广阔的前景，它经常出现在诸如可用于求解微分方程组，用于研究数理统计量的分布，还有用于研究集合曲面的标准形等不同的科技领域中，这就使得对角矩阵成为计算数学中应用及其广泛的矩阵．而在且逆矩阵的方法中经常利用对角矩阵为过渡过程，在本文中就运用了此法．2.主要内容定义1：n阶方阵A是可逆的，如果有n阶方阵B,使得ABBAI,这里I是n阶单位矩阵，B就称为A的逆矩阵，记为1AB关于逆矩阵的求法经归纳大致分为以下几类．2.1利用矩阵可逆的定义求逆矩阵引理2.1.1设F是一数域，对于nnAF，如果存在nnBF，使得ABBA，则A可逆且1AB证明由逆矩阵的定义可得例1已知nnAF，设280AAI,求2AI的逆矩阵解因为280AAI，故有262AAII，即232AIAII,那么，所以11232AIAI,即2AI的逆矩阵是13.2AI从此例子可看出，只要有ABI,则有1AB，或者BAI，则1.AB2.2利用伴随矩阵求逆矩阵引理2.2.1设nnAF，若det()0A,那么11*.detAAA证明设1n阶矩阵111212212212nnnnnnaaaaaaAaaa由行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和，以及行列式的某一行（列）的元素与另外一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零，以下等式成立：11221122det,,0,;det,,0,.ijijinjnijijninjAijaAaAaAijAijaAaAaAij若若若若这里stA是行列式detA中元素sta的代数余子式，由此容易看出，若是令1121121222*12,nnnnnnAAAAAAAAAA那么**det00det00det.00detAAAAAAAIA因为det()0A，由此可得**11.detdetAAAAIAA则有1*1.detAAA例2设5218A求A的逆矩阵．解因为det420A，所以A是可逆的，又*8215A，由1*1.detAAA可得1412121154242A2.3利用分块矩阵求逆矩阵引理2.3.1如果方阵A、D可逆，那么分块矩阵1AOTOD可逆，且其逆矩阵为1111.AOTOD引理2.3.2如果方阵B、C可逆，那么分块矩阵可逆，且其逆矩阵为1121.OCTBO引理2.3.3如果r方阵A和s阶方阵B都是可逆，且rsn，那么n阶方阵ACPOB可逆，且其逆矩阵为11111.AACBPOB证明假定P有逆矩阵X，将X按P的分法进行分块：1234,XXXXX那么有1234.rsXXIOACXXOIOB于是得1324,,rAXCXIAXCXO34.,sBXOBXI因为B有逆矩阵，用1B左乘第二行的两个等式得134,.XOXB将3XO代入上面第一个等式得1.AXI再以1A左乘，得11.XA再把14.XB代入等式24AXCXO中得12.AXCBO将第二项移到等号右端，再以1A左乘得112.XACB于是1111.AACBXOB直接验证可知.PXXPI例3求矩阵2-131-23-32-1914003-400-23A的逆矩阵．解将矩阵A进行分块得1ABAOC其中121312334,,.32191423ABC又因为det10,det10,AC所以矩阵1A、C都是可逆的，且1112134,.3223AC则有111213123346576.321914238397ABC那么矩阵A可逆，且11111121-65-7632-83-97.00340023AABCAOC2.4利用初等变换求逆矩阵引理2.4.1在通过行（列）初等变换把可逆矩阵A化为单位矩阵I时，对单位矩阵I施行同样的初等变换，就得到A的逆矩阵1A．证明因为A可逆，则1A可逆，那么存在初等矩阵12,kGGG使得112,kAGGG就有112,kAAGGGAI即12kIGGGA因此112.kAGGGI例4设001110,101A设求1.A解001|100101|001101|001,110|010110|01001-1|01-1101|001001|100001|100AI101|001100|-101010|01-1010|11-1.000|100000|100于是，1-10111-1.100A引理2.4.2如果用有限次行、列初等变换可以将可逆矩阵A化为单位矩阵I，且设用其中的行变换将单位矩阵I化成C，用其中的列变换将单位矩阵化成B，那么1.ABC证明设A是一个n阶可逆矩阵，则12121......skkAQQQPPPP(1.1)其中1,2,...,,1,2,...,ijQisPjk都是n阶初等矩阵，由此得：111111112112......kskQQQAPPPPI(1.2)又12121.......skkAIQQQPPPPI(1.3)那么111111111111212112121(......)......sskkkksAIQQQPPPPIIPPPPQQQQI(1.4)记11111111112121...,....skksBIPPPPCQQQQI比较（1.2）和（1.4）得1.ABC引理2.4.3如果用有限次第三种行、列的初等变换可以将可逆矩阵A化为对角型矩阵B，且设用相应的初等变换将单位矩阵I化成Q，那么11.ABQ证明设A是n阶可逆矩阵，则1212...,....ssBPPPAQPPPI因为B是对角矩阵，故1111111...,ssBAPPP所以11112....sABPPPBQ2.4求矩阵多项式的逆的方法引理2.4.1设A为一个n阶方阵，C为复数域，fx，()gxPx，且()0.fA则gA可逆的充分条件为,1;fxgx此时有,uxvxPx使得()()()()1,uxfxvxgx且1())().gAvA证明设()fx与()gx互素，故()fx与)gx（在C上无公共根．因()0fA，故()fA的特征值均为0，但()if为()fA之特征值，故()0(1,2,).ifin由于()0,ig即()gA无零特征值，从而()gA可逆．当((),())1fxgx时，必有,uxvxCx使得()()()()1,uxfxvxgx从而()(),vAgAE即1()().gAvA例５已知n阶方阵A满足2AA，证明AE可逆，并求1().AE证明令2(),()1,fxxxgxx由于((),())1fxgx且()0fA，故()gAAE可逆，又因1*()(2)()2,fxxgx故()(2)2,gAEAE从而11().2gAEA参考文献：[1]张禾瑞，郝炳．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，1983．[2]曹春娟．矩阵逆的另一种求法[J]．运城学院学报，2006,5(24):83-84．[3]刘新文，王雪松．可逆分块矩阵的逆矩阵的求法[J]．衡阳师范学院学报，2008,3(29):29-31．[4]高明．逆矩阵的求法[J]．阴山学刊．2006,2(20):14-16．[5]苏敏．逆矩阵求法的进一步研究[J]．2004,2(16):28-30．[6]杜汉玲．求逆矩阵的方法也与解析[J]．2004,4(17):18-20．[7]张玉莲，董李娜．求逆矩阵的一些方法[J]．2007,2(22):71-73．