八年级---一次函数知识点总结

一次函数（一）基本概念1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量.常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.*判断y是否为x的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应.3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域.4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；(2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；(5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义.5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像:一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．7、图像画法：五点描点法或两点法8、函数的表示方法：列表法、图像法、解析式法【概念】【例1】在匀速运动公式vts中，v表示速度，t表示时间，s表示在时间t内所走的路程，则变量是;常量是.变式：对于圆的周长公式C=2πR，下列说法中，正确的是（）A．2π是变量B．2πR是常量C．C是R的函数D．该函数没有定义域【例2】下列函数（1）xy（2）12xy（3）xy1（4）xy321（5）12xy中，是一次函数的有()A．4个B．3个C．2个D．1个变式：如图可作为函数y=f（x）的图象的是（）A．B．C．D．【定义域问题】【例3】下列函数中，自变量x的取值范围是2x的是（）xyA2.xyB21.24xyC.22xxyD.变式1.在函数xxy43中，自变量x的取值范围是（）A．x≠0B．x≤-2C．x≥-3且x≠0D．x≤2且x≠0变式2.已知函数221xy，当11x时，y的取值范围是（）2325yA.2523yB.2523yC.2523yD.【动点问题】【例4】如图，何老师早晨出门去锻炼，一段时间内沿⊙O的半圆形O→A→C→B→O路径匀速散步，那么何老师离出发点0的距离y与时间x之间的函数关系的大致图象是（）A.B.C.D.变式1：火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，其中四边形OABC是等腰梯形，则下列结论中正确的是（）A．火车整体都在隧道内的时间为30秒B．火车的长度为120米C．火车的速度为30米/秒D．隧道长度为750米变式2：如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，BC=2cm，∠A=30°，四边形DEFG为矩形，DE＝2cm，EF=6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合．Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时停止．设Rt△ABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为ycm2，运动时间xs．能反映ycm2与xs之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．变式3:如图，矩形ABCD的对角线交于点O，∠BOC=60°，AD=3，动点P从点A出发，沿折线AD-DO以每秒1个单位长的速度运动到点O停止．设运动时间为x秒，y=S△POC，则y与x的函数关系大致为（）A．B．C．D．【拓展】平面直角坐标系xOy中，已知定点A（1，0）和B（0，1）．（1）如图1，若动点C在x轴上运动，则使△ABC为等腰三角形的点C有几个？（2）过A、B向直线l：y=-2x作垂线，垂足分别为M，N（如图2），试判断线段AM、BN、MN之间的数量关系，并说明理由．（3）过A、B向动直线l：y=kx（k0）作垂线，垂足分别为M，N，请直接写出线段AM、BN、MN之间的数量关系．函数基本概念练习题1.下列图象中表示y是x的函数的（）A.B．C．D．2.如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．3.已知某函数图象关于直线x=1对称，其中一部分图象如图所示，点A（x1，y1），点B（x2，y2）在函数图象上，且-1＜x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．无法确定4.函数32xxy的自变量的取值范围是（）A．x－3B．x－3C．x－3且x≠2D．x≥－35.如图，在空中，自地面算起，每升高1千米，气温下降若干度（℃）．某地空中气温t（℃）与高度h（千米）间的图象如图所示，观察图象，可知：（1）该地面气温为℃．（2）当高度h=千米时，气温为0℃．6.若12xxf)(，如：1222)()(f，则20122012321)()()()(ffff.7.两个不相等的正数满足a+b=2，ab=t-1，设S=（a-b）2，则S关于t的函数图象是（）A．射线（不含端点）B．线段（不含端点）C．直线D．抛物线的一部分8.张爷爷晚饭以后外出散步，碰到老邻居，交谈了一会儿，返回途中在读报栏前看了一会儿报，如图是据此情景画出的图象，请你回答下面的问题：（1）张爷爷在什么地方碰到老邻居的，交谈了多长时间？（2）读报栏大约离家多少路程？（3）张爷爷在哪一段路程走得最快？（4）图中反映了哪些变量之间的关系？其中哪个是自变量？（二）一次函数【正比例函数和一次函数及性质】正比例函数一次函数概念一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量范围x为全体实数图象一条直线必过点（0，0）、（1，k）（0，b）和（-kb，0）走向k0时，直线经过一、三象限；k0时，直线经过二、四象限k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限增减性k0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）k0，y随x的增大而减小.（从左向右下降）倾斜度|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴图像的平移b0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；b0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.1、直线11bxky（01k）与22bxky（02k）的位置关系（1）两直线平行21kk且21bb（2）两直线相交21kk（3）两直线重合21kk且21bb（4）两直线垂直121kk2、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.【基本概念理解】【例1】i)正比例函数y=(3m+5)x,当m时，y随x的增大而增大?ii)当m为何值时，函数y=-（m-2）x32m+（m-4）是一次函数?变式1.已知函数y=（k-1）x+k2-1，当k=时，它是一次函数，当k=时，它是正比例函数．变式2.若5y+2与x-3成正比例，则y是x的（）A．正比例函数B．一次函数C．没有函数关系D．以上答案都不正确变式3：已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y的值；（3）当y=4时，求x的值．【变量取值范围的确定】【例2】三角形的三条边长分别为3cm、5cm、xcm，则此三角形的周长y（cm）与x（cm）的函数关系式是.变式1：函数312yx，如果0y，那么x的取值范围是.变式2：当实数x的取值使y=x－2有意义时，函数y=4x+1中y的取值范围为（）A．y≥－7B．y≥9C．y＞9D．y≤9【一次函数图象、性质】1、【单调性研究】【例3】已知一次函数y=(6+3m)x+(n－4)求：（1）m为何值时，y随x的增大而减小；（2）,mn分别为何值时，函数的图象与y轴的交点在x轴的下方？（3）,mn分别为何值时，函数的图象经过原点？（4）当m=－1,n=－2时，设此一次函数与x轴交于A，与y轴交于B，试求AOB面积。变式1：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y=－x图象上的两点，则下列判断正确的是()A．y1y2B．y1y2C．当x1x2时，y1y2D．当x1x2时，y1y2变式2：一次函数y=kx+b－1的图象如图2，则3b与2k的大小关系是，当b=时，y=kx+b－1是正比例函数.变式3：已知(0,0)bcacabkbabcabc，那么ykxb的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限变式4：已知关于x的一次函数27ymxm在15x上的函数值总是正数，则m的取值范围是（）A．7mB．1mC．17mD．都不对变式5：一次函数ykxb，当kb时，函数图象有何特征？请通过不同的取值得出结？2、【求解函数解析式-----待定系数法】【例4】已知：一次函数ykxb的图象经过M(0，2)，(1，3)两点．（1）求k、b的值；（2）若一次函数ykxb的图象与x轴的交点为A(a，0)，求a的值．变式1：一次函数y=kx+3的图象经过点（2，－1），则（1）求这个函数解析式；（2）判断（－2，7）是否在此函数的图象上．变式2：已知点A（2a－1，3a+1），直线l经过点A，则直线l的解析式是.变式3：已知一个一次函数的自变量的取值范围是2≤x≤6，函数值的取值范围是5≤y≤9，求这个一次函数解析式．1yx（-1,-1）（2，2）2yyO3、【直线的位置关系】【例5】已知：如图一次函数y=12x－3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点C（4，0）作AB的垂线交AB于点E，交y轴于点D，求点D、E的坐标．变式1：一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A（1，－2），则kb=.变式2：如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(0，b)(b0)．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P'（点P'不在y轴上），连结PP'，P'A，P'C．设点P的横坐标为a．当b＝3时，（1）求直线AB的解析式；（2）若点P'的坐标是(－1，m)，求m的值；变式3：若把一次函数y=2x－3,向上平移3个单位长度再右平移5个单位，得到图象解析式是()A.y=－2xB.y=2x－10C.y=2x+10D.y=2x－54、【一次函数与不等式的关系】【例6】如图，直线(0)ykxbk与x轴交于点(30)，，关于x的不等式0kxb的解集是（）A．3xB．3xC．0xD．0x变式1：直线11:lykxb与直线22:lykxc在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式12kxbkxc的解集为（）A.x1B.x1C.x－2D.x－2变式2：如图，直线ykxb经过点(12)A，和点(20)B，，直线2yx过点A，则不等式20xkxb的解集为（）A．2xB.21xC．20xD．10x变式3：如图所示，函数xy1和34312xy的图象相交于，（－1，1），（2，2）两点．当21yy时，x的取值范围是（）A．x＜－1B．—1＜x＜2C．x＞2D．x＜－1或x＞2