柯西不等式的应用

集美田慧庆柯西不等式1.已知m2＋n2＝2，t2＋s2＝8，求|mt＋ns|的最大值．【解析】由柯西不等式，(mt＋ns)2≤(m2＋n2)(t2＋s2)＝16，得|mt＋ns|≤4，当且仅当ms＝nt时等号成立．故|mt＋ns|的最大值为4.2.若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点．【解析】方法1：由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，①得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥425.不等式①中当且仅当x3＝y4时等号成立，为求最小值点，需解方程组：3x＋4y＝2x3＝y4，解得x＝625y＝825.因此，当x＝625，y＝825时，x2＋y2取得最小值，最小值为425，最小值点为(625，825)．3.设a1，a2，a3均为正数，且a1＋a2＋a3＝m，求证：1a1＋1a2＋1a3≥9m.【解析】因为(1a1＋1a2＋1a3)·m＝(a1＋a2＋a3)(1a1＋1a2＋1a3)≥33a1·a2·a3·331a1·1a2·1a3＝9，当且仅当a1＝a2＝a3＝m3时等号成立．又因为m＝a1＋a2＋a30，所以1a1＋1a2＋1a3≥9m.4.若不等式|a－1|≥x＋2y＋2z对满足x2＋y2＋z2＝1的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．【解析】由柯西不等式，有(x＋2y＋2z)2≤(12＋22＋22)(x2＋y2＋z2)＝9，所以x＋2y＋2z≤3，所以|a－1|≥3，a≥4或a≤－2.一利用柯西不等式和排序不等式求最值【例1】已知实数x，y，z满足x2＋2y2＋3z2＝3，求u＝x＋2y＋3z的最小值和最大值；【解析】因为(x＋2y＋3z)2＝(x·1＋2y·2＋3z·3)2≤[x2＋(2y)2＋(3z)2]·[12＋(2)2＋(3)2]＝(x2＋2y2＋3z2)(1＋2＋3)＝18.当且仅当x1＝2y2＝3z3，即x＝y＝z时，等号成立．所以－32≤x＋2y＋3z≤32，即u的最小值为－32，最大值为32.【点评】应用柯西不等式求最值或取值范围的技巧是“凑和拆”，根据柯西不等式的特征及题设“凑或拆”定值．(1)设x、y满足2x2＋3y2＝5，求A＝x＋2y的最值；(2)设x＋y＋z＝1，求A＝2x2＋3y2＋z2的最小值．素材1【解析】(1)(x＋2y)2＝(2x·12＋3y·23)2≤(2x2＋3y2)(12＋43)＝(2x2＋3y2)·116.因为2x2＋3y2＝5，所以(x＋2y)2≤556，所以－3306≤x＋2y≤3306.当2x12＝3y432x2＋3y2＝5，即解得x＝33022y＝233033时，Amax＝3306，解得x＝－33022y＝－233033时，Amin＝－3306.(2)(x＋y＋z)2＝(2x·12＋3y·13＋z)2≤(2x2＋3y2＋z2)(12＋13＋1)．因为x＋y＋z＝1，所以2x2＋3y2＋z2≥611.当2x12＝3y13＝zx＋y＋z＝1，即x＝311，y＝211，z＝611时，Amin＝611.【点评】配凑出符合公式的形式，注意公式的正用、逆用．在二次形式限制下，求一次函数的最值，在一次形式的条件下，求二次形式的最小值等．二应用柯西不等式证明不等式【例2】已知x，y，z是正实数，求证：x2y＋z＋y2x＋z＋z2x＋y≥x＋y＋z2.【证明】x，y，z是正实数，又(x2y＋z＋y2x＋z＋z2x＋y)(y＋z＋x＋z＋x＋y)≥(xy＋z·y＋z＋yx＋z·x＋z＋zx＋y·x＋y)2.即(x2y＋z＋y2x＋z＋z2x＋y)·2(x＋y＋z)≥(x＋y＋z)2.而x＋y＋z0，故x2y＋z＋y2x＋z＋z2x＋y≥x＋y＋z2.【点评】应用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可应用柯西不等式对这个式子进行缩小或放大，从而证得问题．已知a，b，c∈R，且a＋b＋c＝3，利用柯西不等式证明：2a＋1＋2b＋1＋2c＋1≤33.素材2【分析】可利用三维柯西不等式或向量不等式|α·β|≤|α||β|推证．【解析】方法1：(2a＋1＋2b＋1＋2c＋1)2≤(2a＋1＋2b＋1＋2c＋1)(12＋12＋12)＝27，所以2a＋1＋2b＋1＋2c＋1≤33，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号．方法2：设p＝(2a＋1，2b＋1，2c＋1)，q＝(1,1,1)，则p·q＝2a＋1＋2b＋1＋2c＋1，|p|＝2a＋12＋2b＋12＋2c＋12＝2a＋b＋c＋3＝3，|q|＝3.因为|p·q|≤|p|·|q|，所以|2a＋1＋2b＋1＋2c＋1|≤33，即2a＋1＋2b＋1＋2c＋1≤33.【点评】方法1是三维柯西不等式的常见变形，方法2是柯西不等式的三维向量形式，这是构建柯西不等式的两种常用方法，应引起注意．备选例题设x是正实数，则z＝2x＋1＋3－2x的最大值为()A．2B．22C．3D．23【解析】因为(2x＋1＋3－2x)2≤[(2x＋1)2＋(3－2x)2]·[12＋12]，而[(2x＋1)2＋(3－2x)2]·[12＋12]＝2(2x＋1＋3－2x)＝8，所以2x＋1＋3－2x≤22，故选B.11223322222221122331231231||||||bkkababababababaaabbbαβαβαβαβ．应用柯西不等式时，常常需要根据柯西不等式的特定结构，对相关式子适当变形，如添、拆、分解、组合等．注意：①二维形式的柯西不等式；②向量形式的柯西不等式：设，是两个向量，则，当且仅当是零向量或存在实数，使时，等号成立；③注意公式的逆用：如；④解题的关键是找出两组数．1122222222112212122.xyxyxyxyxxyyR．二维形式的三角不等式：设、、、，那么注意：把不等式两边各个式子与两点距离公式联系起来，运用几何关系、数形结合法证明不等式，当三点共线时取等号．