STFT变换基本知识

1短时傅立叶变换傅立叶变换将信号的时域表示和频域表示联系了起来。在传统的信号分析中，平稳的随机信号在时域常用它的相关函数来表示，在频域常用它的功率谱来表示，相关函数与功率谱之间由傅立叶变换相联系。但这种变换是一种全域变换，只是将信号在单个域（时域或频域）里表示，因此不能反映非平稳信号统计量的时间变化。非平稳信号在局部可以认为是平稳的，对信号的局部进行傅立叶变换，以了解非平稳信号统计量的时间特性，这就是短时傅立叶变换STFT的基本思想。一.STFT的定义给定一个时间宽度很短的窗函数γ（t），令窗函数γ（t）在t轴上滑动，则信号x(t)的短时傅立叶变换定义为：STFTx(t,f)＝∫-∞∞[x(t＇)γ*（t＇-t）]e-j2πft＇dt＇(1)该式的物理意义是，信号x(t)在时间t的短时傅立叶变换就是信号x(t)乘上一个以t为中心的“分析窗”γ*（t＇-t）所作的傅立叶变换。由于乘一个时间宽度很短的窗函数γ*（t＇-t）等价于取出信号在分析点t＇＝t附近的一个切片，所以短时傅立叶变换直接是信号x(t)在“分析时间t”附近的“局部频谱”。STFTx(t,f)既是时间的函数，又是频率的函数。短时傅立叶变换（1）式也称为短时傅立叶分析。二.STFT的时间－频率分辨率由于在时间t的STFT是被窗函数γ*（t＇-t）预加窗后信号x(t)的谱，所以位于以时间t为中心的局部窗间隔内的所有信号特性都会在时间t的STFT内显示出来。显然，STFT的高的时间分辨率要求窗函数γ（t）越窄越好；另一方面，在频率f处STFT的高的频率分辨率要求窗函数γ（t）越宽越好。如果用Δt和Δf分别表示STFT的时间分辨率和频率分辨率，则它们的乘积满足不确定性原理：时宽·带宽＝Δt·Δf≥1／4π（2）不确定性原理也称测不准原理。不确定性原理的重要意义在于它告诉我们，既有任意小的时域宽度，又有任意小的频域宽度的窗函数是根本不存在的。我们只能牺牲时间分辨率以换取更高的频率分辨率，或牺牲频率分辨率以换取更高的2时间分辨率。两个极端的例子是：冲激信号x(t)＝δ(t)的时域宽度为零，而其频域宽度为无穷大，频谱恒等于1；单位直流信号x(t)＝1的带宽为零，其频谱为冲激函数，但其时域宽度为无穷大。三.STFT综合和传统的傅立叶分析与综合一样，短时傅立叶变换也有分析和综合之分。综合（重构）公式为：p(u)＝∫-∞∞∫-∞∞STFTx(t,f)g（u-t）ej2πfudtdf(3)STFT的完全重构条件为：∫-∞∞γ*（t）g(t)dt＝1(4)三种满足STFT完全重构条件的分析窗函数：g(t)＝γ（t）；g(t)＝δ(t)；g(t)＝1。将式g(t)＝γ（t）代入（3）式，得短时傅立叶反变换公式：x(t)＝∫-∞∞∫-∞∞STFTx(t＇,f＇)γ（t-t＇）ej2πf＇f＇dt＇df＇(5)此时的完全重构条件为：∫-∞∞│γ（t）│2dt＝1(6)短时傅立叶正变换（1）是一维变换，而短时傅立叶反变换（5）是二维变换。四.离散STFT短时傅立叶变换在实际应用时，需要将时频平面离散化。STFT分析公式（1）的离散化形式是：STFT综合公式（5）的离散化形式是：式（7）和式（8）分别称作离散STFT分析和离散STFT综合。离散STFT综∞STFT(m,n)＝∑x(k)γ*(kT-mT)e-j2π(nF)k(7)k＝-∞∞∞x(k)＝∑∑STFT(m,n)g(kT-mT)ej2π(nF)k(8)m＝－∞n＝－∞∞∞x(k)＝∑∑STFT(m,n)γ(kT-mT)ej2π(nF)k(9)m＝－∞n＝－∞3合也可以看作是离散STFT分析的广义反变换。若选择γ（k）＝g(k)，则有离散STFT反变换：式中采样周期T和F、离散分析窗g(k)和离散综合窗γ（k）应满足下列“完全重构条件”：2001年1月14日∞∑g(kT+n／F-mT)γ*(kT-mT)／F＝δn(10)k＝-∞