第二章-2.3工业机器人运动学(二)

第二章机器人基础知识2.3工业机器人运动学(二)【内容提要】本课主要学习工业机器人技术的运动学基础知识，涉及连杆参数及连杆坐标系的建立、连杆坐标系之间的变换矩阵、机器人运动学一般方程，并介绍了正逆向运动学以及实例。知识要点：连杆坐标系连杆坐标系之间的变换矩阵机器人运动学一般方程重点：掌握连杆坐标系之间的变换矩阵掌握机器人运动学一般方程的建立掌握机器人正逆向运动学的实例难点：机器人运动学一般方程的建立关键字：连杆参数、变换矩阵、运动学一般方程、【本课内容相关资料】2.3.4工业机器人的连杆参数和齐次变换矩阵1.工业机器人相邻连杆之间的关系，与连杆自身的特征和连杆之间的连接方式有关。因此，我们首先应该清楚如何对连杆的特征和连接方式进行描述。1）连杆特征的描述如图2.35所示，连杆i两端有关节i和i+1。该连杆的特征可以用两个参数来描述：一个是两个关节轴线沿公垂线的距离li，称为连杆长度；另一个是在垂直于公垂线的平面内两个轴线的夹角i，称为连杆扭角。这两个参数为表述连杆特征的尺寸参数。连杆长度li恒为非负数，但连杆扭角i可正、可负。i的正负是这样规定的：公垂线的正向规定为从关节i指向关节i+1，按右手法则从轴线i绕公垂线转至轴线i+1，逆时针为正，瞬时针为负。两轴线平行时，i＝0；两轴线相交时，li＝0，此时扭角i为两轴线的夹角，正负与Xi轴选向有关。2）连杆连接方式的描述如图2.36所示，连杆i与连杆i-1通过关节i相连，因此，关节i的轴线有两条公垂线与它垂直。两条公垂线的相对位置可用两个参数di和i来确定，其中di是沿关节i轴线测量的两个公垂线与i轴线交点的距离，当关节轴线相交时，di为i轴线上两交点的距离；i是在关节i轴线的垂直平面内两个公垂线的夹角，当公垂线不存在时，对旋转关节i仍然存在。di和i是表达相邻连杆连接关系的参数。di和i都可正、可负(详见表2.8)。这样，相邻两个连杆之间的关系可以由四个参数所描述：其中两个参数（li和i）描述连杆i的尺寸；另外两个参数（di和i）描述连杆i和连杆i-1之间的连接关系。对于旋转关节，i是关节变量，其它三个参数固定不变；对于移动关节，di是关节变量，其它三个参数固定不变。(对照图2.36解释，一个关节即为一个自由度)3）连杆坐标系的建立D-H法要求按下面规则建立连杆i的坐标系{i}（简称i系）：1）坐标系{i}与连杆i固连。Zi轴与关节i+1的轴线重合，指向任意；2）Xi轴与连杆i的两个关节轴线的公垂线重合，方向从关节i指向关节i+1。当li连杆i关节i关节i+1ili图2.35连杆尺寸参数li及i＝0时，取Xi＝Zi-1×Zi，但Xi轴取向影响i正负（图2.35）；3）坐标系{i}的Yi轴按右手法则规定，即Yi＝Zi×Xi；4）坐标系{i}的原点Oi取在Xi和Zi的交点上。当关节i的轴线与关节i+1的轴线相交时，原点Oi取在两轴线的交点上；当关节i的轴线与关节i+1的轴线平行时，原点Oi取在使di＝0的地方。（对照图2.36解释）图2.36连杆关系参数图2.36画出了坐标系{i-1}和{i}的设定位姿。在建立连杆坐标系时，下面四点值得注意：1）连杆坐标系的建立不是唯一的。例如，虽然Zi轴与关节i+1的轴线重合，但Zi轴的指向有两种选择；当Zi轴与Zi-1轴相交时，Xi轴的指向也有两种选择；2）坐标系{i}也可以建立在关节i的轴线上，并使Zi轴与关节i的轴线重合；3）建立不同的连杆坐标系，相应的连杆参数将会不同。应使描述连杆i的四个参数中尽可能多地为零；4）与机座固连的{0}系原则上可以任意规定，但是，为了方便计算，一般应将{0}系建立在连杆1的关节1的轴线上，并使{0}系与{1}系尽量靠近或重合（画极坐标型）。现将连杆参数与坐标系的建立归纳为表2.8。表2.8连杆参数及坐标系连杆i的参数符号名称含义正负号性质i转角Xi-l轴绕Zi-l轴转至与Xi轴平行时的转角按右手法则确定转动关节为变量移动关节为常量di距离Xi-l轴沿Zi-l方向移动至与Xi轴相交时发生的位移与Zi-l正向一致为正转动关节为常量移动关节为变量li长度Zi-l轴沿Xi方向移动至与Zi轴相交时移动的距离恒为非负数常量i扭角Zi-l轴绕Xi轴转至与Zi轴平行时的转角按右手法则确定常量连杆i的坐标系OiXiYiZi原点Oi坐标轴Zi坐标轴Xi坐标轴Yi位于连杆i两关节轴线之公垂线与关节i+1轴线的交点处与关节i+1的轴线重合，方向任意确定沿连杆i两关节轴线的公垂线，并指向i+1关节按右手法则确定2.连杆坐标系之间的变换矩阵建立了各连杆的坐标系后，i-1系和i系之间的变换关系可以用坐标系的平移、旋转来实现。从i-1系到i系得变换步骤如下：（1）令i-1系绕Zi-1轴旋转i角，使Xi-1与Xi平行，算子为Rot(z,i)。（2）沿Zi-1轴平移di，使使Xi-1与Xi重合，算子为Trans(0,0,di)。（3）沿Xi轴平移li，使两个坐标系原点重合，算子为Trans(li,0,0)。（4）绕Xi轴旋转i角，使得i-1系和i系重合，算子为Rot(x,i)。用一个变换矩阵Ai来综合表示上述四次变换时，应注意原来的i系在每次旋转或平移后发生了变动，后一次变换是相对动坐标系进行的，因此，在运算中变换算子应该右乘。于是，连杆i的齐次变换矩阵为：1234Rot(,)Trans(0,0,)Trans(,0,0)Rot(,)cossin0010001001sincos000100010000100010010000100010001iiiiiiiiiiizdlxldA0000cossin00sincos00001iiii1000cossin0sinsincoscoscossincossinsincossincosiiiiiiiiiiiiiiiiidll(2-35)实际上，很多工业机器人在设计时，常常使某些连杆参数取特殊值，如使i=0或90，也有使li=0或di=0，从而可以简化变换矩阵Ai的计算，同时也可以简化控制。2.3.5工业机器人的运动学方程1．机器人运动学方程我们将为机器人的每一个连杆建立一个坐标系，并用其次变换来描述这些坐标系间的相对关系，也叫相对位姿。通常把描述一个连杆坐标系与下一个连杆坐标系间的相对关系的变换矩阵叫做Ai变换矩阵。Ai能描述连杆坐标系之间相对平移和旋转的齐次变换。A1描述第一个连杆对于机身的位姿，A2描述第二个连杆坐标系相对于第一个连杆坐标系的位姿。如果已知一点在最末一个坐标系(如n坐标系)的坐标，要把它表示成前一个坐标系(如n–1)的坐标，那么齐次坐标变换矩阵为An。依此类推，可知此点到基础坐标系的齐次坐标变换矩阵为：A1A2A3…An–1An(2-36)若有一个六连杆机器人，机器人末端执行器坐标系(即连杆坐标系6)的坐标相对于连杆i–1坐标系的齐次变换矩阵，用i–1T6表示，即i–1T6=AiAi+1…A6(2-37)机器人末端执行器相对于机身坐标系的齐次变换矩阵为0T6=A1A2…A6(2-38)式中：0T6常写成T6。该矩阵前三列表示手部的姿态；第四列表示手部中心点的位置。可写成如下形式：1000][zzzzyyyyxxxxnpaonpaonpaonpaonT(2-39)事实上，很多工业机器人在设计时，常常使某些连杆参数取特殊值，使得连杆坐标系比较容易建立，同时，相邻两个连杆坐标系之间的变换矩阵Ai也比容易获得。下面通过两个实例来介绍建立工业机器人运动学方程的方法。2.正向运动学及实例正向运动学主要解决机器人运动学方程的建立及手部位姿的求解，即已知各个关节的变量，求手部的位姿。1)SCARA型机器人的运动学方程如图2.37所示，SCARA装配机器人具有一个肩关节、一个肘关节和一个腕关节，共3自由度。考虑到关节轴线相互平行，并且连杆都在一个平面内的特点，将固定坐标系{0}和连杆1、连杆2、连杆3的坐标系{1}、{2}、{3}分别建立在关节1、关节2、关节3和手部的中心，如图2.37(a)所示。坐标系{3}就是手部坐标系。连杆参数中为变量，d、l、均为常量。建立了连杆坐标系之后，即可列出该工业机器人的连杆参数如表2.9所示。表2.9SCARA工业机器人的连杆参数连杆转角两连杆之间距离d连杆长度l连杆扭角连杆11d1＝0l1＝1001＝0连杆22d2＝0l2＝1002＝0连杆33d3＝0l3＝203＝0该SCARA型工业机器人的运动学方程为：T3＝A1A2A3式中，Ai（i=1，2，3）表示坐标系{i}相对于坐标系{i-1}的齐次变换矩阵。X1{2}Y0X0Z0Y1{1}Y2X2O3Y3X3l1l2l3{0}Z1Z2O1Z3O0O2(a){3}图2.37SCARA型机器人的坐标系Y0X0{0}Y1X13{1}O0Y2X2{2}O1O2O3Y3X3{3}21(b)l1l2l3把表2.9中每一行的参数代入公式(2-35)中，即可得出齐次变换矩阵A1、A2和A3。因为该SCARA型工业机器人的各连杆之间的关系比较简单，可以参考图2.37(b)直接写出矩阵A1、A2和A3。我们以A1为例说明其计算方法。{1}系的运动过程是：先沿X0移动l1，再绕Z0转动1，因为转动是相对固定坐标系进行的，所以，Rot(z，1)应该左乘Trans(l1，0，0)。因此，A1、A2和A3分别为：A1＝Rot(z，1)Trans(l1，0，0)A2＝Rot(z，2)Trans(l2，0，0)A3＝Rot(z，3)Trans(l3，0，0)即：10000100s0csc0sc1000010000100011000010000cs00sc11111111111111lllA10000100s0csc0sc1000010000100011000010000cs00sc22222222222222lllA10000100s0csc0sc1000010000100011000010000cs00sc33333333333333lllA因此，可以写出10000100sss0csccc0sc1112212331231231112212331231233213llllllAAAT(2-40)式中：c123＝cos(1+2+3)；s123＝sin(1+2+3)；c12＝cos(1+2)；s12＝sin(1+2)；c1＝cos1；s1＝sin1。(在以后的叙述中，cos可用c表示，sin可用s表示。)T3表示手部坐标系{3}（即手部）在固定坐标系中的位置和姿态。式(2-40)即为图2.37(a)所示的SCARA型机器人的正向运动学方程。当l1、l2、l3和转角变量1、2、3给定时，可以根据式(2-40)算出T3的具体数值。如图2.37(b)所示，设l1＝l2＝100，l3＝20；1＝30，2＝-60，3＝-30，则可以根据式(2-40)求出手部的位姿矩阵表达式为：1000010032.1705.0866.02.1830866.05.03T2)斯坦福工业机器人的运动学方程图2.38为斯坦福工业机器人简图及研究人员赋给各连杆的坐标系。表2.10是研究人员根据设定的坐标系得出的斯坦福工业机器人各连杆的参数。把表2.10中