第一讲--数列的极限典型例题

1第一讲数列的极限一、内容提要1.数列极限的定义NnNaxnn,,0lim，有axn.注1的双重性.一方面,正数具有绝对的任意性,这样才能有nx无限趋近于)(Nnaxan另一方面,正数又具有相对的固定性,从而使不等式axn.还表明数列nx无限趋近于a的渐近过程的不同程度,进而能估算nx趋近于a的近似程度.注2若nnxlim存在，则对于每一个正数，总存在一正整数N与之对应，但这种N不是唯一的，若N满足定义中的要求，则取,2,1NN，作为定义中的新的一个N也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N．注3axn)(n的几何意义是：对a的预先给定的任意邻域),(aU，在nx中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(aU．注4NnNaxnn00,,0lim，有00axn.2.子列的定义在数列nx中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为nx的子列，记为knx，其中kn表示knx在原数列中的项数，k表示它在子列中的项数．注1对每一个k，有knk．注2对任意两个正整数kh,，如果kh，则khnn．反之，若khnn，则kh．注3KkKaxknn,,0lim，有axkn.注4axnnlimnx的任一子列knx收敛于a.3.数列有界对数列nx，若0M，使得对Nn，有Mxn，则称数列nx为有界数列．4.无穷大量对数列nx，如果0G，NnN,，有Gxn，则称nx为无穷大量，记作nnxlim．2注1只是一个记号，不是确切的数．当nx为无穷大量时，数列nx是发散的，即nnxlim不存在．注2若nnxlim，则nx无界，反之不真．注3设nx与ny为同号无穷大量，则nnyx为无穷大量．注4设nx为无穷大量，ny有界，则nnyx为无穷大量．注5设nx为无穷大量，对数列ny，若0，,N使得对Nn，有ny，则nnyx为无穷大量．特别的，若0ayn，则nnyx为无穷大量．5.无穷小量若0limnnx，则称nx为无穷小量．注1若0limnnx，ny有界，则0limnnnyx．注2若nnxlim，则01limnnx；若0limnnx，且,N使得对Nn，0nx，则nnx1lim．6.收敛数列的性质（1）若nx收敛，则nx必有界，反之不真．（2）若nx收敛，则极限必唯一．（3）若axnnlim，bynnlim，且ba，则N，使得当Nn时，有nnyx．注这条性质称为“保号性”，在理论分析论证中应用极普遍．（4）若axnnlim，bynnlim，且N，使得当Nn时，有nnyx，则ba．注这条性质在一些参考书中称为“保不等号（式）性”．（5）若数列nx、ny皆收敛，则它们和、差、积、商所构成的数列nnyx，nnyx，nnyx，nnyx（0limnny）也收敛，且有nnnyxlimnnxlimnnylim，nnnyxlimnnxlimnnylim，3nnnyxlimnnnnyxlimlim（0limnny）．7.迫敛性（夹逼定理）若N，使得当Nn时，有nnnzxy，且nnylimaznnlim，则axnnlim．8.单调有界定理单调递增有上界数列nx必收敛，单调递减有下界数列nx必收敛．9.Cauchy收敛准则数列nx收敛的充要条件是：NmnN,,,0，有mnxx．注Cauchy收敛准则是判断数列敛散性的重要理论依据．尽管没有提供计算极限的方法，但它的长处也在于此――在论证极限问题时不需要事先知道极限值．10.BolzanoWeierstrass定理有界数列必有收敛子列．11.7182818284.211limennn12.几个重要不等式(1),222abba.1sinx.sinxx(2)算术－几何－调和平均不等式：对,,,,21Rnaaa记,1)(121niiniannaaaaM(算术平均值),)(1121nniinniaaaaaG(几何平均值).1111111)(1121niiniiniananaaanaH(调和平均值)有均值不等式:),()()(iiiaMaGaH等号当且仅当naaa21时成立.（3）Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)对,0x由二项展开式23(1)(1)(2)(1)1,2!3!nnnnnnnxnxxxx)1(,1)1(nnxxn（４）Cauchy－Schwarz不等式:kkba,(nk,,2,1),有421nkkkba21nkkkbankka12nkkb12（５）Nn，nnn1)11ln(1113.O.Stolz公式二、典型例题1．用“N”“NG”证明数列的极限．（必须掌握）例１用定义证明下列各式：（１）163153lim22nnnnn；（２）设0nx，axnnlim，则axnnlim；（97，北大，10分）（３）0lnlimnnn)0(证明：（１）0，欲使不等式nnnnnnnnnnnnn6636635616315322222成立，只须6n，于是，0，取1]6[N，当Nn时，有nnnnn616315322即163153lim22nnnnn．（２）由axnnlim，0nx，知NnN,,0，有aaxn，则axaxaxnnnaaxn于是，NnN,,0，有axnaaxn，即axnnlim．（３）已知nnln，因为nnnnnn1ln2ln2ln022nn122nn][2222244nnn，5所以，0，欲使不等式0lnnnnnln24n成立，只须24n．于是，0，取N142，当Nn时，有0lnnnnnln24n，即0lnlimnnn．评注１本例中，我们均将axn做了适当的变形，使得)(ngaxn，从而从解不等式)(ng中求出定义中的N．将axn放大时要注意两点：①)(ng应满足当n时，0)(ng．这是因为要使)(ng，)(ng必须能够任意小；②不等式)(ng容易求解．评注２用定义证明axn)(n，对0，只要找到一个自然数)(N，使得当)(Nn时，有axn即可．关键证明)(N的存在性．评注３在第二小题中，用到了数列极限定义的等价命题，即：（１）NnN,,0，有Maxn（M为任一正常数）.（２）NnN,,0，有knax)(Nk.例２用定义证明下列各式：（１）1limnnn；（92，南开，10分）（２）0limnknan),1(Nka证明：（１）（方法一）由于1nn（1n），可令1nn（0），则nnnnnnnnn22)1(1)1(22)1(nn（2n）当2n时，21nn，有n22)1(nn2222)1(44nnnn6即nnn210．0，欲使不等式1nnnnn21成立，只须24n．于是，0，取2,14max2N，当Nn时，有1nnn2，即1limnnn．（方法二）因为nnnnnnnnnnnnn212211)111(112个，所以1nnn2，0，欲使不等式1nnnnn21成立，只须24n．于是，0，取142N，当Nn时，有1nnn2，即1limnnn．（２）当1k时，由于1a，可记1a（0），则nnnnnna22)1(1)1(22)1(nn（2n）当2n时，21nn，于是有nan02242)1(nnnn．0，欲使不等式0nannan24n成立，只须24n．7对0，取2,14max2N，当Nn时，有0nannan24n．当1k时，11ka（1a），而nkanknkan)(1．则由以上证明知NnN,,0，有nkan)(01，即knkan0，故0limnknan．评注１在本例中，0，要从不等式axn中解得N非常困难．根据nx的特征，利用二项式定理展开较容易．要注意，在这两个小题中，一个是变量，一个是定值．评注２从第一小题的方法二可看出算术－几何平均不等式的妙处．评注３第二小题的证明用了从特殊到一般的证法．例用定义证明：0!limnann（0a）（山东大学）证明：当10a时，结论显然成立．当1a时，欲使naaanaaaaaaanaan!1210!成立，只须n!1aaa．于是0，取N1!1aaa，当Nn时，有naaanaan!0!即0!limnann．例设1，用“N”语言，证明：0])1[(limnnn．证明：当0时，结论恒成立．当10时，0，欲使8]1)11[(0)1(nnnn11)111(nnn只须n111．于是0，取N1111，当Nn时，有0)1(nn11n即0])1[(limnnn．2.迫敛性（夹逼定理）n项和问题可用夹逼定理、定积分、级数来做，通项有递增或递减趋势时考虑夹逼定理．nnnzxy，byn，czn}{nx有界，但不能说明nx有极限．使用夹逼定理时，要求nnzy,趋于同一个数．例求证：0!limnann（a为常数）．分析：namamaaaanan1321!，因a为固定常数，必存在正整数m，使1mam，因此，自1ma开始，11ma，12ma，1,na，且n时，0na．证明：对于固定的a，必存在正整数m，使1ma，当1mn时，有namamaaaanan1321!0namam!，由于nlim0!namam，由夹逼定理得0!limnann，即0!limnann．评注当极限不易直接求出时，可将求极限的变量作适当的放大或缩小，使放大、缩小所得的新变量易于求极限，且二者极限值相同，直接由夹逼定理得出结果．9例若}{na是正数数列，且02lim21nnaaann，则0lim1nnnaan．证明：由nn