导数练习题及答案

一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1．已知某函数的导数为y′＝12(x－1)，则这个函数可能是()A．y＝ln1－xB．y＝ln11－xC．y＝ln(1－x)D．y＝ln11－x2．(2009•江西)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．4B．－14C．2D．－123．(2009•辽宁)曲线y＝xx－2在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝x－2B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3D．y＝－2x＋14．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为()A.94e2B．2e2C．e2D.e225．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()6．设y＝8x2－lnx，则此函数在区间(0，14)和(12，1)内分别()A．单调递增，单调递减B．单调递增，单调递增C．单调递减，单调递增D．单调递减，单调递减7．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是()①f(x)＞0的解集是{x|0＜x＜2}；②f(－2)是极小值，f(2)是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值．A．①③B．①②③C．②D．①②8．已知f(x)＝－x3－x，x∈[m，n]，且f(m)•f(n)＜0，则方程f(x)＝0在区间[m，n]上()A．至少有三个实根B．至少有两个实根C．有且只有一个实根D．无实根9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A．－1＜a＜2B．－3＜a＜6C．a＜－3或a＞6D．a＜－1或a＞210．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，其高应为()A.2033cmB．100cmC．20cmD.203cm11．(2010•河南省实验中学)若函数f(x)＝(2－m)xx2＋m的图象如图所示，则m的范围为()A．(－∞，－1)B．(－1,2)C．(1,2)D．(0,2)12．定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1.f′(x)为f(x)的导函数，已知函数y＝f′(x)的图象如图所示．若两正数a，b满足f(2a＋b)＜1，则b＋2a＋2的取值范围是()A．(13，12)B．(－∞，12)∪(3，＋∞)C．(12，3)D．(－∞，－3)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)13．(2009•武汉模拟)函数y＝xln(－x)－1的单调减区间是________．14．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.15．(2009•南京一调)已知函数f(x)＝ax－x4，x∈[12，1]，A、B是其图象上不同的两点．若直线AB的斜率k总满足12≤k≤4，则实数a的值是________．16．(2009•淮北模拟)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)•(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)17．(本小题满分10分)设a为大于0的常数，函数f(x)＝x－ln(x＋a)．(1)当a＝34，求函数f(x)的极大值和极小值；(2)若使函数f(x)为增函数，求a的取值范围．18．(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)＝lnxx.(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝1e处的切线方程；(2)求y＝f(x)的最大值；(3)设实数a＞0，求函数F(x)＝af(x)在[a,2a]上的最小值．19．(本小题满分12分)设a＞0，函数f(x)＝x－ax2＋1＋a.(1)若f(x)在区间(0,1]上是增函数，求a的取值范围；(2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1＋ln(x＋1)x.(x＞0)(1)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数还是减函数？证明你的结论；(2)若当x＞0时，f(x)＞kx＋1恒成立，求正整数k的最大值．21．(2009•天津)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)当a≠23时，求函数f(x)的单调区间与极值．命题意图：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．22．(2010•保定市高三摸底考试)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnxx＋ax－1(a∈R)(1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)≤0在区间(0，e2]上恒成立，求实数a的取值范围．答案：一、1答案：A解析：对选项求导．(ln1－x)′＝11－x(1－x)′＝11－x•12(1－x)－12•(－1)＝12(x－1).2答案：A解析：f′(x)＝g′(x)＋2x.∵y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝2，∴f′(1)＝g′(1)＋2×1＝2＋2＝4，∴y＝f(x)在点(1，f(1))处切线斜率为4.3答案：D解析：y′＝(xx－2)′＝－2(x－2)2，∴k＝y′|x＝1＝－2.l：y＋1＝－2(x－1)，则y＝－2x＋1.4答案：D解析：∵y′＝ex，∴y＝ex在点(2，e2)的导数为e2.∴y＝ex在点(2，e2)的切线方程为y＝e2x－e2.y＝e2x－e2与x轴、y轴的交点分别为(1,0)和(0，－e2)，∴S＝12×1×e2＝e22.5答案：D解析：由题意知函数f(x)，g(x)都为增函数，当x＜x0时，由图象知f′(x)＞g′(x)，即f(x)的增长速度大于g(x)的增长速度；当x＞x0时，f′(x)＜g′(x)，g(x)的增长速度大于f(x)的增长速度，数形结合，6答案：C解析：y′＝16x－1x.当x∈(0，14)时，y′＜0，y＝8x2－lnx为减函数；当x∈(12，1)时，y′＞0，y＝8x2－lnx为增函数．7答案：D解析：由f(x)＞0⇒(2x－x2)ex＞0⇒2x－x2＞0⇒0＜x＜2，故①正确；f′(x)＝ex(2－x2)，由f′(x)＝0得x＝±2，由f′(x)＜0得x＞2或x＜－2，由f′(x)＞0得－2＜x＜2，∴f(x)的单调减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．单调增区间为(－2，2)．∴f(x)的极大值为f(2)，极小值为f(－2)，故②正确．∵x＜－2时，f(x)＜0恒成立．∴f(x)无最小值，但有最大值f(2)．∴③不正确．8答案：C9答案：C解析：由于f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1，有f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)．若f(x)有极大值和极小值，则Δ＝4a2－12(a＋6)＞0，从而有a＞6或a＜－310答案：A解析：设高为h，则半径为202－h2，体积V＝13πr2h＝13π(202－h2)•h＝－13πh3＋2023πh(0＜h＜20)，V′＝－πh2＋2023π.令V′＝0，得h＝2033或h＝－2033(舍去)，即当h＝2033时，V为最大值．11答案：C解析：f′(x)＝(x2－m)(m－2)(x2＋m)2＝(x－m)(x＋m)(m－2)(x2＋m)2由图知m－2＜0，且m＞0，故0＜m＜2，又m＞1，∴m＞1，因此1＜m＜212答案：C解析：由y＝f′(x)的图象知，当x＜0时，f′(x)＜0，函数f(x)是减函数；当x＞0时，f′(x)＞0，函数f(x)是增函数；两正数a，b满足f(2a＋b)＜1，f(4)＝1，点(a，b)的区域为图中的阴影部分(不包括边界)，b＋2a＋2的意义为阴影部分的点与点A(－2，－2)连线的斜率，直线AB、AC的斜率分别为12、3，则b＋2a＋2的取值范围是(12，3)二、13答案：(－1e，0)14答案：32解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2，列表得：x－3(－3，－2)－2(－2,2)2(2,3)3f′(x)＋0－0＋f(x)17极值24极值－8－1可知M＝24，m＝－8，∴M－m＝32.15答案：92解析：f′(x)＝a－4x3，x∈[12，1]，由题意得12≤a－4x3≤4，即4x3＋12≤a≤4x3＋4在x∈[12，1]上恒成立，求得92≤a≤92，则实数a的值是92.16答案：(－1,0)解析：结合二次函数图象知，当a＞0或a＜－1时，在x＝a处取得极小值，当－1＜a＜0时，在x＝a处取得极大值，故a∈(－1,0)．三、17解析：(1)当a＝34时，f′(x)＝12x－1x＋34，令f′(x)＝0，则x－2x＋34＝0，∴x＝94或14，当x∈[0，14]时，f′(x)0，当x∈(14，94)，f′(x)0，当x∈(94，＋∞)时，f′(x)0，∴f(x)极大值＝f(14)＝12，f(x)极小值＝f(94)＝32－ln3.(2)f′(x)＝12x－1x＋a，若f(x)为增函数，则当x∈[0，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，∴12x≥1x＋a，即x＋a≥2x，即a≥2x－x＝－(x－1)2＋1恒成立，∴a≥1.18解析：(1)∵f(x)定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝1－lnxx2∵f(1e)＝－e，又∵k＝f′(1e)＝2e2，∴函数y＝f(x)的在x＝1e处的切线方程为：y＋e＝2e2(x－1e)，即y＝2e2x－3e.(2)令f′(x)＝0得x＝e.∵当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，e)上为增函数，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，则在(e，＋∞)上为减函数，∴fmax(x)＝f(e)＝1e.(3)∵a＞0，由(2)知：F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．∴F(x)在[a,2a]上的最小值f(x)min＝min{F(a)，F(2a)}，∵F(a)－F(2a)＝12lna2，∴当0＜a≤2时，F(a)－F(2a)≤0，fmin(x)＝F(a)＝lna.当a＞2时，F(a)－F(2a)＞0，f(x)min＝f(2a)＝12ln2a.19解析：(1)对函数f(x)求导数，得f′(x)＝1－axx2＋1.要使f(x)在区间(0,1]上是增函数，又要f′(x)＝1－axx2＋1≥0在(0,1]上恒成立，即a≤x2＋1x＝1＋1x2在(0,1]上恒成立．因为1＋1x2在(0,1]上单调递减，所以1＋1x2在(0,1]上的最小值是2.注意到a＞0，所以a的取值范围是(0，2]．(2)①当0＜a≤2时，由(1)知，f(x)在(0,1]上是增函数，此时f(x)在区间(0,1]上的最大值是f(1)＝1＋(1－2)a.②当a＞2时，令f′(x)＝1－axx2＋1＝0，解得x＝1a2－1∈(0,1)．因为当0＜x＜1a2－1时，f′(x)＞0；当1a2－1＜x＜1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，1a2－1)上单调递增，在(1a2－1，1)上单调递减．此时f(x)在区间(0,1]上的最大值是f(1a2－1)＝a－a2－1.综上所述，当0＜a≤2时，f(x)在区间(0,1]上的最大值是1＋(1－2)a；当a＞2时，f(x)在区间(0,1]上的最大值是a－a2－1.20解析：(1)f′(x)＝1x2[xx＋1－1－ln(x＋1)]＝－1x2[1x＋1＋ln(x＋1)]．由x＞0，x2＞0，1x＋1＞0，ln(x＋1)＞0，得f′(x)＜0.因此函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．(2)解法一：当x＞0时，f(x)＞kx＋1恒成立，令x＝1有k＜2[1＋ln2]．又k为正整数．则k的最大值不大于3.下面证明当k＝3时，f(x)＞kx＋1(x＞0)恒成立．即证明x＞0时(x＋1)ln(