第2章密度矩阵

1、密度矩阵激活介质包含有大量的原子(或分子或其他微观粒子)。在讨论激活介质辐射场的相互作用时，我们只能给定宏观条件(例如知道气体激光器中的放电电流、气体压强等)。但是宏观条件确定之后，微观运动状态的各种可能性仍然很多，每一个原子可以处于一切可能的微观态，并不能被宏观条件所控制。所以，不能将激活介质当做一个整体而赋于确定的随时间而变化的波函数。这样，即使知道了介质的初始分布，也不可能求出以后某一时刻的波函数。前言但是在研究激活介质和辐射场相互作用的宏观性质时，可以利用统计规律性。由于在给定的宏观条件下，激活介质中原子的状态有一固定的初始分布。可以通过求得在给定的时间间隔和给定的空间体积内、原子系统被激发到两个能级中的一个或另一个，并且其速度分量在给定范围内的几率，再对构成激活介质的所有原子系统取平均值来求得介质对辐射场的影响。在这种情况下，即讨论量子力学系综的统计性质时，会涉及到两种平均：一种是按状态的平均，此为量子力学平均；另一种是将此结果再按微观态出现的几率求平均，即为统计平均。当同时涉及到这两种平均时，就可采用密度矩阵的方法来处理。系统、系综纯态、混态按统计物理系综的概念，把一个原子看做一个系统，大量的全同系统组成一个系综。若系综内的所有系统都处于相同的微观态，则此系综为纯系综，纯系综的平均就是态平均。若系综的各系统处于不同的微观态，则此系综被称为混合系综。假定系综是由N个系统组成，每一个系统由一个归一化的波函数(r,t)描述(1)nnnqutatr)()(),(式中un(q)为完备正交归一本征函数系；an(t)为系统处于本征态un(q)的几率振幅。纯态密度矩阵F现在考虑系统的某个物理可观察量F并求出它在系综表示中的最终平均值。首先考虑纯态的情况。这时，可以由量子力学中所熟悉的方法求得可观察物理量F的平均值。dqFF*(2)式中q为广义坐标，*为波函数的复数共轭量。式(2)的平均是量子力学固有统计性质的结果。若将式(1)代入式(2)，得nmmnnmFaaF,*(3)dqFuuFnmmn*(4)算符F的矩阵元令nmnmaa*(5)nmmnnmFF,)(,FTFrnmmnnm)(FTFr(6)从式(5)可以看出，nm起着几率密度的作用，因此称nm的集合为密度矩阵，nm为密度矩阵元。以上就是纯态的密度矩阵。混态密度矩阵多系统几率相等当系综是由N个系统组成，且N个系统处于不同微观态的几率相同，每一个系统可以用一个归一化波函数来表示。若第k个原子系统的波函数用k(r,t)表示nnknkua(7)由上面讨论可知，对于第k个原子系统，其物理观察量F由式(2)决定。因为系综是由N个系统组成，则得到系综的可观察量的平均值为NkkFNF11(8)将式（2）、（7）代入式（8），得：NknmmnknkmFaaNF1,*)(1(9)交换求和次序nmNkmnknkmFaaNF,1*)(1(10)nm为密度矩阵元NkknkmnmaaN1*)(1(11))(,FTFFrnmmnnm(12)混态密度矩阵多系统几率不等对于N个系统构成的系综，如果各个系统处于不同微观态的几率不相等，则系综的宏观物理量的平均值就不能用简单的算术平均值而应该用统计平均值来代替。假如，第k个原子系统出现某一状态k的几率是Pk1kP系综平均值NkkkFPF1(13)nm定义为：NkknkmknmaaP1*)((14))(FTFr(15)只要求得系综的密度矩阵，任何宏观可观察量都可以由式(15)计算密度矩阵的主要性质密度矩阵之迹等于1归一化的波函数1*)(dqkk1**)(*)(dquuaadquauanmknkmnnknmmkm)()(01*nmnmdquumnnm本征函数的正交性1*)(nknknaa1*)(1*)(111NknknknNkknknnnnnaaNaaN可以得到密度矩阵之迹等于1。对于由N个系统构成的系综，当各个系统处于不同微观态的几率不相等时，也可以证明Tr()=1这一性质。利用式（1）(1)nnnqutatr)()(),(密度矩阵为厄米矩阵knknaa*)(表示第k个原子系统处于状态un（或者能级En）的几率，而几率必为正值，所以密度矩阵的对角元满足下式0nnNkknkmknmaaP1*)(nmNkkmknkmnaaP*1**)(密度矩阵为厄米矩阵。密度矩阵的物理含义从密度矩阵元的定义可知纯态密度矩阵的对角元表示了这个系统处于本征态un的几率。通常．混态密度矩阵的对角元表示系综中的一个系统处于本征态un的平均几率。非对角元的物理含义可以这样理解，若将第k个原子系统的几率振幅写成复数形式kmknikmkmiknkneaaeaa)*()(*)(kmkniknkmknkmeaaaakmknkmnkmniknkmknkmeaaaa*)(纯态系统的密度矩阵元nm，如图所示的复平面上表示。图中矢量即为nm，矢量与实轴间的夹角表示系统处于本征态un、um的几率振幅kmknaa、的乘积的相位差，而矢量的模是由系统处于本征态un、um的几率振幅的乘积所决定。当系统为混合系统时：11kiknkmnmkmneaaN对于给定的本征态un、um，如果所有的值是等几率的，而且当位相为与时，矢量的模的数值分布是相同的，则对系综的平均值为零，此时密度矩阵的非对角元kmnkmn)(kmn)(knkmaa]*)[(knkmaa0*)(1nmknkmnmaaN也就是说,若每一个系统的幅角是随机分布的，则N个系统组成的系综的nm=0。假若N个系统中的每一个系统的幅角不是随机分布或者不完全随机分布，则nm0。所以nm表示了系统的幅角之间的混乱程度或相干性。后面将会看到nm愈大，相干性愈好，系综的极化强度也愈大。2、密度矩阵的运动方程如果原子系统的状态是随时间变化的，那么密度矩阵也是随时间变化的。下面就来求它的运动方程。NkknkmknmaaP1*)(NkknkmknkmknmtaaataPt1*)()*][(与时间有关的薛定谔方程为tiHnnnqutatr)()(),(nnnnnnuatiuaH左乘um*，并对变量q积分得nnnmnnnmuautiuaHu**令nmmnHuuH*系统的哈密顿算符H的矩阵元ppnpnaHita本征函数的正交归一性ppnpnaHita复数共厄pppmmaHita*NkknkmknkmknmtaaataPt1*)()*][(密度矩阵的运动方程为)(pmnppmnpnmHHit],[Hit[H,]=H-H如果t=0时的密度矩阵已知，便可由该式确定任何其他瞬间的密度矩阵。3、二能级原子系统的密度矩阵在激光的半经典理论和量子理论中，都将介质粒子视为简单的二能级原子系统。也就是说，原子只有二个能级需要明显考虑，而其他能级的影响可以通过引进唯象阻尼项来加以概括。在此有必要单独讨论二能级原子系统的密度矩阵及其运动方程。二能级原子系统的波函数假设原子具有高、低两个能级，其能量本征值分别为Ea、Eb，对应的归一化能量本征函数分别为ua、ub，则原子波函数(r,t)为(r,t)=a(t)ua(q)+b(t)ub(q)(1)系数a、b其物理意义是：、分别表示在t时刻找到原子系统处于高能级Ea(即ua本征态)和低能级Eb(即ub本征态)的几率。如果在单位体积中有NV个原子集合构成的系综，每个原子在时刻t处于高能级的几率为，单位体积中处在高能级上的原子数N2为2)(ta2)(tb2)(ta22)(taNNV单位体积中处在低能级上的原子数N1为21)(tbNNV二能级原子系统的密度矩阵根据密度矩阵的定义，得bbbaabaabbbaabaa****（2）*******bbbaabaababa这时一个宏观可观察物理量的平均值为bbbbabbabaabaaaarFFFFFTF)(（3）某一物理量的平均值不仅取决于对角元,还和非对角元有关.前一部分表示了各本征态中相应的平均值,后一部分表示两个本征态之间的干涉效应对平均值的贡献.孤立二能级原子系统首先假设所讨论的二能级原子系统是孤立的，不受外界的影响(忽略自发辐射)，并且假若原子原来处于ua态(或ub态)，则它将始终停留在ua态(或ub态)上。此时，孤立原子系统的波函数为=aua(q)+bub(q)波函数(r,t)应满足如下薛定谔方程tiHa（4）Ha表明孤立原子系统不含时间因素的哈密顿算符。)()(babaabuautibuauH本征值方程（6）bbbaaaaauEuHuEuH将ua*、ub*分别左乘上式各项，对整个空间坐标积分)(babbaaubuaiubEuaE（7）babEibaEia（8）解出上述运动方程，得babEibaEiatEitEibaebtbeata)0()()0()(（9）由此可以看出：孤立原子系统处于某一本征态ua(或ub)的几率P(a)[或P(b)]将不随时间而变化，其值由加在波函数上的初始条件决定。辐射场中的二能级原子系统当原子处于电场强度为E(z，t)的辐射场中时，则它将不再是孤立的。原子和辐射场之间存在着相互作用微扰能。在偶极近似下，其微扰能H1为H1=-pE(10)p是单个原子的电偶极矩。这时总的能量算符H为H=Ha+H1(11)当在哈密顿算符中加入了一项微扰算符时，其结果并不是改变用做波函数的本征函数集，而是使其组合方式随时间而变化，即a(t)、b(t)随时间而变化。这时含时薛定谔方程变为tiHHa)(1将=aua+bub代入上式，得)())((1babaabuautibuauHH(12)可以求出系数a(t)、b(t)随时间变化时所应满足的方程．它的表达式如下bidquHuabEaidquHubaEabbbaa11**(13)Back上式已考虑到0**11dquHudquHubbaa(14)上式的成立是因为H1=-pE，p=er，并且r是奇函数，将以上关系代入则得式（14）表示微扰算符在本征态上的平均值等于零，原子无固有偶极矩。用V(t)表示二能级间与时间有关的微扰矩阵元。dquHutVba1*)(可以通过适当地选取ua和ub的位相因子，使上面的积分为实数，得到dquHudqruueEdquHubbaaaa11*0**(15))()(taVbEbitbVaEaiba(17)dquHudquHutVabba11**)((16)则式（13）可以表示为：以上讨论中忽略了激光上能级的自发辐射以及除了这两个能级以外的其他能级对这两个能级的影响。下面将通过唯象的方法把这两个能级与其他能级之间的跃迁也包括进去。这种跃迁可能是纯辐射的，也可能是由碰撞所引起的，但无论是哪一种，它们的效果都是使这两个主要考虑的能级具有有限的寿命。显然，当应用上述考虑来处理激光器时，这样的效应作为松弛机构与受激辐射相竞争；而对低能级，则有助于维持粒子数反转，而且它们还在决定跃迁的均匀线宽中起重要作用。能级衰减的影响当需要考虑上述影响时，可以按照韦斯科夫和威格纳的方法，把衰减常数a、b引入波函数，以计入这种衰减机构。这时哈密顿算符和含时薛定