2.4.1圆锥曲线历年高考题总结汇总(椭圆总结)(教师版)

一、椭圆的定义、标准方程、几何性质1.有关a,b,c,e的计算1-1【2017浙江，2】椭圆22194xy的离心率是A．133B．53C．23D．59【答案】B【解析】试题分析：94533e，选B．学科网【考点】椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于cba,,的方程或不等式，再根据cba,,的关系消掉b得到ca,的关系式，建立关于cba,,的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．1-2【2013年（广东卷）文科】已知中心在原点的椭圆C的右焦点为(1,0)F，离心率等于21，则C的方程是（）A．14322yxB．13422yxC．12422yxD．13422yx【答案】D【解析】11,,2,3,2cceaba选D.【学科网考点定位】椭圆的方程.1-3（15年广东文科）已知椭圆（）的左焦点为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由题意得：，因为，所以，故选C．考点：椭圆的简单几何性质．1-4(2016年高考山东卷文)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（ab0）的长轴长为4，焦距为2√2.（I）求椭圆C的方程；【答案】(Ⅰ)22142xy.1-5【2013年（山东卷）文】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为22.(I)求椭圆C的方程;【解析】(I)设椭圆C的方程为222210xyabab,由题意知2222222abccab，解得2,1.ab因此椭圆C的方程为221.2xy1-6（2016年高考北京卷文）已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点.（I）求椭圆C的方程及离心率；【答案】（Ⅰ）1-7【2017北京，文19】已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；【答案】（Ⅰ）2214xy；试题解析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为22221(0,0)xyabab.由题意得2,3,2aca解得3c.22221xyab2214xy32e所以2221bac.所以椭圆C的方程为2214xy.1-8（15年陕西文科）如图，椭圆经过点，且离心率为.(I)求椭圆的方程；【答案】(I)；试题分析：(I)由题意知，由，解得，继而得椭圆的方程为；1-9【2013年（江西卷）文科】椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率32e，3ab.（1）求椭圆C的方程；【答案】（1）22223=1,4,2,2beababa，2231,2,1.4xabbay，1-10（2016年天津卷文数）设椭圆13222yax（3a）的右焦点为F，右顶点为A，已知||3||1||1FAeOAOF，其中O为原点，e为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；【答案】（Ⅰ）22143xy1-11【2017课标1，文12】设A、B是椭圆C：2213xym长轴的两个端点，若C上存在点2222:1(0)xyEabab(0,1)A22E2212xy2,12cba222abc2a2212xyM满足∠AMB=120°，则m的取值范围是A．(0,1][9,)B．(0,3][9,)C．(0,1][4,)D．(0,3][4,)【答案】A【解析】试题分析：当03m，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足120AMB，则tan603ab，即33m，得01m；当3m，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足120AMB，则tan603ab，即33m，得9m，故m的取值范围为(0,1][9,)，选A．【考点】椭圆【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定ba,的关系，求解时充分借助题设条件120AMB转化为360tanba，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．2.利用椭圆上一点坐标求椭圆方程：2-1【2013年（上海）文】设AB是椭圆的长轴，点C在上，且π4CBA．若4AB，2BC，则的两个焦点之间的距离为．【答案】463【解析】不妨设椭圆的标准方程为22214xyb，于是可算得(1,1)C，得2446,233bc．【学科网考点定位】考查椭圆的定义及运算，属容易题.2-1【2013年（安徽文）】已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为4，且过点(23)P，.（Ⅰ）求椭圆C的方程；【答案】（1）因为椭圆过点(23)P，22231ab且222abc28a24b24c椭圆C的方程是22184xy2-2（2016年高考四川卷文）已知椭圆E：22221(0)xyabab的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1(3,)2P在椭圆E上.(Ⅰ)求椭圆E的方程；【答案】（1）2214xy；2-3【2017山东，文21】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:22221xyab(ab0)的离心率为22,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为22.(Ⅰ)求椭圆C的方程；【答案】(Ⅰ)22142xy;2-4【2013年天津（文）】设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F,离心率为33,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(Ⅰ)求椭圆的方程;【答案】(Ⅰ)设(,0)Fc，由33ca知，3ac，过点F且与x轴垂直的直线为xc，代入椭圆方程有2222()1cyab，解得63by，于是263b=433，解得2b，又222acb，从而3a，1c，所以椭圆的方程为22132xy.3.椭圆的焦点三角形问题3-1【2013年大纲全国文科】已知121,0,1,0FF是椭圆C的两个焦点，过2F且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且3AB，则C的方程为（）（A）2212xy（B）22132xy（C）22143xy（D）22154xy【答案】C【解析】如图，213||||22AFAB，12||2FF，由椭圆定义得13||22AFa.①在12RtAFF中，2222212123||||||()22AFAFFF.②由①②得2a，∴2223bac.∴椭圆C的方程为22143xy.应选C.【学科网考点定位】椭圆方程的求解.3-2【2013年新课标Ⅱ数学（文）】设椭圆C：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，P是C上的点，2PF⊥1F2F，∠12PFF=30，则C的离心率为（）（A）36（B）13（C）12（D）33【答案】D【解析】由题意,设2||PFx，则1||2PFx，12||3FFx，所以由椭圆的定义知：23ax，又因为23cx，所以离心率为33，故选D.【学科网考点定位】本小题主要考查椭圆的定义、几何性质、数形结合与化归的数学思想，属中低档题，熟练椭圆的基础知识是解答好本类题目的关键.3-3【2013年（福建）文科】椭圆2222:1(0)xyrabab的左、右焦点分别为122.FFc、，焦距为若直线122132,yxcMMFFMFF与椭圆r的一个交点满足则该椭圆的离心率等于.[答案]31[解析]注意到直线过点(,0)c即为左焦点1F，又斜率为3，所以倾斜角为060，即01260MFF.又故02130MFF，那么02190FMF.01121cos6022MFFFcc，02123sin60232MFFFcc，122223123ccceaMFMFcc.[学科网考点定位]考查离心率的算法，要求学生要有敏锐的观察力，比如直线的特征.属于难题.3-4（15年福建文科）已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．3-5【2013年（浙江）文科】如图12,FF是椭圆221:14xCy与双曲线2C的公共焦点，2222:1(0)xyEababFM:340lxyE,AB4AFBFMl45E3(0,]23(0,]43[,1)23[,1)4A、B分别是1C、2C在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A、2B、3C、32D、62【答案】D【解析】解决此类问题有三种思路，一是求出,,abc三个量中的任何两个，然后利用离心率的计算公式求解.二是求出,ac或,ab或,cb之间关系，然后利用离心率的计算公式求解.三是构造出关于离心率e的方程来求解.此题中关键是灵活的应用椭圆和双曲线的定义构造出方程即可求解.由已知得12(3,0),(3,0)FF，设双曲线实半轴为a，由椭圆及双曲线的定义和已知得到：212212212||||4||||22|||12AFAFAFAFaaAFAF，所以双曲线的离心率为3622ca，所以选D.【学科网考点定位】此题考查椭圆和双曲线的定义、性质的应用.3-6【2013年（辽宁）文科】已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为,FC与过原点的直线相交于,AB两点，,.10,8,AFBFABBF连接若4cosABF,5C则的离心率为（）（A）35（B）57（C）45（D）67[答案]B[解析]AFB三角形中，由余弦定理可得：222||||||2||||cosAFABBFABBFABF代入得：2436||100210||5BFBF，解得||8BF,由此可得三角形ABF为直角三角形.OF=5，即c=5.由椭圆为中心对称图形可知：当右焦点为2F时，2AFBBFA,25214,7,7aAFAFae[学科网考点定位]本题考查椭圆定义，解三角形相关知识以及椭圆的几何性质.3-7[2014·重庆卷]如图1­5，设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，|F1F2||DF1|＝22，△DF1F2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程．图1­5解：(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c2＝a2－b2.由|F1F2||DF1|＝22得|DF1|＝|F1F2|22＝22c.从而S△DF1F2＝12|DF1||F1F2|＝22c2＝22，故c＝1.从而|DF1|＝22.由DF1⊥F1F2得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝92，因此|DF2|＝322，所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝22，故a＝2，b2＝a2－c2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.4.椭圆的离心率问题4-1（2016年新课标Ⅰ文）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】B【解析】试题分析：如图,由题意得在椭圆中,11OFc,OBb,OD2bb42[来源:学科网]在RtOFB中,|OF||OB||BF||OD|,且222abc,代入解得22a4c,所以椭圆得离心率得1e2,故选B.考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a,c的齐次方程,方程两边同时除以a的最高次幂,转化为关于e的方程,解方程求e.4-2【2013年（四川）文科】从椭圆22221(0)xyabab上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点1F，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭