二次函数与方程、不等式综合

Page1of7板块考试要求A级要求B级要求C级要求二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2.能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简单的实际问题；2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；一、二次函数与一元二次方程的联系1.直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线2yaxbxc得交点为0c，.（2）与y轴平行的直线xh与抛物线2yaxbxc有且只有一个交点2hahbhc，.（3）抛物线与x轴的交点:二次函数2yaxbxc的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程20axbxc的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点．可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是2axbxck的两个实数根.（5）抛物线与x轴两交点之间的距离．若抛物线2yaxbxc与x轴两交点为1200AxBx，，，，由于1x、2x是方程20axbxc的两个根，故1212bcxxxxaa，222212121212444bcbacABxxxxxxxxaaaa2.二次函数常用的解题方法（1）求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；（3）根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.（5）与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxca本身就是所含字母x的二次函数；以0a时为例，二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系如下：中考要求知识点睛二次函数与方程、不等式综合Page2of70抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.3.二次函数与一元二次方程根的分布（选讲）所谓一元二次方程，实质就是其相应二次函数的零点（图象与x轴的交点问题），因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的．设20fxaxbcca的二实根为1x，2x，12xx，24bac，且，是预先给定的两个实数．（1）当两根都在区间，内，方程系数所满足的充要条件：∵12xx，对应的二次函数fx的图象有下列两种情形：x1x2a0OxyyxOx2x1当0a时的充要条件是：0，2ba，0f，0f．当0a时的充要条件是：0，2ba，0f，0f．两种情形合并后的充要条件是：0200baff，，①（2）当两根中有且仅有一根在区间，内，方程系数所满足的充要条件；∵1x或2x，对应的函数fx的图象有下列四种情形：x1xyOx1xyOxyx1Oxyx1O从四种情形得充要条件是：Page3of70ff②（3）当两根都不在区间，内方程系数所满足的充要条件：当两根分别在区间，的两旁时；∵12xx对应的函数fx的图象有下列两种情形：xyx2x1OOx1x2yx当0a时的充要条件是：0f，0f．当0a时充要条件是：0f，0f．两种情形合并后的充要条件是：()0f，()0f③当两根分别在区间[]，之外的同侧时：∵12xx或12xx，对应函数fx的图象有下列四种情形：xyx1x2Oxyx1x2Oxyx1x2Oxyx1x2O当12xx时的充要条件是：0，2ba，0f④当12xx时的充要条件是：0，2ba，0f⑤（3）区间根定理如果在区间ab，上有0fafb，则至少存在一个xab，，使得0fx．此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力．f(b)f(a)baPage4of7一、二次函数与方程、不等式综合【例1】已知二次函数2fxxpxq，且方程0fx与20fx有相同的非零实根．（1）求2qp的值；（2）若128f，解方程0fx.【例2】已知二次函数2yxxa(0)a，当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（）A.1m的函数值小于0B.1m的函数值大于0C.1m的函数值等于0D.1m的函数值与0的大小关系不确定【例3】小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式245xx的值的情况．他们作了如下分工：小明负责找值为1时x的值，小亮负责找值为0时x的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（）A.小明认为只有当2x时，245xx的值为1.B.小亮认为找不到实数x，使245xx的值为0.C.小梅发现245xx的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值D.小花发现当x取大于2的实数时，245xx的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值.【例4】已知关于x的一元二次方程22410xxk有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数2241yxxk的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线12yxbbk与此图象有两个公共点时，b的取值范围.【例5】已知函数1yx，22yxbxc，，为方程120yy的两个根，点MtT，在函数2y的图象上．（1）若1132，，求函数2y的解析式；（2）在（1）的条件下，若函数1y与2y的图象的两个交点为AB，，当ABM的面积为3112时，求t的值；（3）若01，当01t时，试确定T，，三者之间的大小关系，并说明理由．【例6】已知方程2210xpx的两个实根一个小于1，一个大于1，求p的取值范围．【例7】已知方程20xaxb的两根均大于2，求ab，的关系式．例题精讲Page5of7【例8】设二次方程22120xaxa有一根比1大，另一根比1小，试确定实数a的范围．【例9】若二次方程22100axxa在区间13，内仅有较大实根，另一根不等于1，求a的取值范围．【例10】已知方程20xbxc有两个实数根st、，并且22xt，．证明：（1）4c；（2）4bc．【例11】若x的二次方程242xmxn，因为方程0fx的解都位于01x的范围中，求正整数mn，的值．【例12】设有整系数二次函数2fxaxbxc，其图像开口方向朝上，且与x轴有两个交点，分别在10，、1，内，且0fx的判别式等于5，试求abc，，的值．【例13】已知方程210xkxk有两个大于2的实根，求k的取值范围．【例14】若关于x的二次方程2271320xpxpp的两根、满足012，求实数p的取值范围．【例15】方程211300xxa有两实根，且两根都大于5，证明104a≤．【例16】已知方程240axxb0a的两实根为1x、2x，方程230axxb的两实根为、．（1）若a、b均为负整数，且||1，求a、b的值；（2）若12，12xx，求证：1221xx．【例17】设ab，是实数，二次方程20xaxb的一个根属于区间11，，另一个根属于区间12，，求2ab的取值范围．【例18】已知m、n均为正整数，若关于x的方程2420xmxn的两个实数根都大于1且小于2，求m、n的值．【例19】实数a在什么范围内取值时，关于x的方程2(2)50xaxa的一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6？【例20】已知方程20axbxc有两个不同实根，求证：方程202baxbxckxa至少有一个根，在前一个方程的两根之间．（此处0k）Page6of7【例21】试证：若实数abc，，满足条件021abcmmm，这里m时正数，那么方程20axbxc有一个根介于0和1之间．【例22】阅读材料，解答问题．例：用图象法解一元二次不等式：2230xx．解：设223yxx，则y是x的二次函数．∵10a，∴抛物线开口向上．又∵当0y时，2230xx，解得1213xx，．∴由此得抛物线223yxx的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当1x或3x时，0y．∴2230xx的解集是1x或3x．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：2230xx的解集是____________；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：210x．【例23】阅读下列内容后，解答下列各题：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．例如：考查代数式12xx的值与0的大小当1x时，1020xx，，∴120xx当12x时，1020xx，，∴120xx当2x时，1020xx，，∴120xx综上：当12x时，120xx；当1x或2x时，120xx（1）填写下表：（用“”或“”填入空格处）2x21x13x34x4x2x1x3x4x2134xxxx（2）由上表可知，当x满足时，21340xxxx；（3）运用你发现的规律，直接写出当x满足时，7890xxx．【例24】如图所示，抛物线20yaxbxca与x轴的两个交点分别为10A，和20B，，当0y时，x的取值范围是．-121OxyBA【例25】如下右图是抛物线2yaxbxc的一部分，其对称轴为直线1x，若其与x轴一交点为30B，，则由图象可知，不等式20axbxc的解集是．Page7of731xyOB【例26】解不等式：22xxx．【例27】对于满足04p≤≤的所有实数p，求使不等式243xpxxp成立的x的取值范围．【例28】已知二次函数2(1)1yxmxm（1）求证：不论m为任何实数，这个函数的图象与x轴总有交点，（2）m为何实数时，这两个交点间的距离最小？这个最小距离是多少？【例29】先阅读理解下面的例题，再按要求解答：例题：解一元二次不等式290x．解：∵2933