等差数列知识点总结及练习

1等差数列【知识点】1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{na},若na－1na=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，其中d为公差2．等差数列的通项公式：dnaan)1(1【或nadmnam)(】∴d=nmaanm3．等差中项如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和y的等差中项，则A＝x＋y2.4．等差数列的前n项和公式1：2)(1nnaanS2：2)1(1dnnnaSn公式二又可化成式子：n)2da(n2dS12n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式5.性质：等差数列{an}中，公差为d，若d＞0，则{an}是递增数列；若d=0，则{an}是常数列；若d＜0，则{an}是递减数列．成等差数列，且公差为md。奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆（）是等差数列，若1amnpqnaaaamnpqaaaaaannrnr1211…（）公差为的等差数列中，其子系列，，，…也32daaaamNnkkmkm()（）公差为的等差数列中，连续相同个数的项的和也成等差数列，4dan即，，，…也成等差数列，其公差为。SSSSSmdmmmmm2322（）若，，成等差数列，，，也成等差数列。2pqraaapqr2（5）等差数列的前n项和的性质：①若项数为*2nn，则21nnnSnaa，且SSnd偶奇，1nnSaSa奇偶．②若项数为*21nn，则2121nnSna，且nSSa奇偶，1SnSn奇偶（其中nSna奇，1nSna偶）．6.充要条件的证明：7、最值问题在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②①＋②得：Sn＝na1＋an2.【对应练习】题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-3a+2，则a等于（)A.-1B.1C.-2D.22．在数列{an}中，a1=2，2an+1=2an+1，则a101的值为（）A．49B．50C．51D．523．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（）A．92B．47C．46D．454、已知等差数列}{na中，12497,1,16aaaa则的值是()A15B30C31D645.首项为－24的等差数列，从第10（）A.d＞38B.d＜3C.38≤d＜3D.38＜d≤3aaadaaaadncnSanbnabndddnnnnnnnn为等差数列（关于的一次函数）（、为常数，是关于的常数项为的二次函数）递增数列常数列递减数列11222000036、.在数列}{na中，31a，且对任意大于1的正整数n，点),(1nnaa在直03yx上，则na=_____________.7、在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝．8、等差数列na的前n项和为nS，若＝则432,3,1Saa（）（A）12（B）10（C）8（D）69、设数列na的首项)Nn(2aa,7an1n1且满足，则1721aaa______.10、已知{an}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=__________11、已知数列的通项an=-5n+2,则其前n项和为Sn=.12、设nS为等差数列na的前n项和，4S＝14，30SS710，则9S＝.题型二、等差数列性质1、已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）(A)4(B)5(C)6(D)72、设nS是等差数列na的前n项和，若735S，则4a（）A．8B．7C．6D．53、若等差数列na中，37101148,4,aaaaa则7__________.a4、记等差数列na的前n项和为nS，若42S，204S，则该数列的公差d=（）A．7B.6C.3D.25、等差数列{}na中，已知31a1，4aa52，33an，则n为（）（A）48（B）49（C）50（D）516.、等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（）(A)9(B)10(C)11(D)127、设Sn是等差数列na的前n项和，若5935,95SSaa则（）A．1B．－1C．2D．218、已知等差数列{an}满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有()A．α1＋α101＞0B．α2＋α100＜0C．α3＋α99＝0D．α51＝519、如果1a，2a，…，8a为各项都大于零的等差数列，公差0d，则()（A）1a8a45aa（B）8a1a45aa（C）1a+8a4a+5a（D）1a8a=45aa10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）（A）13项（B）12项（C）11项（D）10项题型三、等差数列前n项和1、等差数列na中，已知12310aaaap，98nnnaaaq，则其前n项和nS．42、等差数列,4,1,2的前n项和为（）A.4321nnB.7321nnC.4321nnD.7321nn3、已知等差数列na满足099321aaaa，则（）A.0991aaB.0991aaC.0991aaD.5050a[ZXXK]4、在等差数列na中，78,1521321nnnaaaaaa，155nS，则n。5、等差数列na的前n项和为nS，若2462,10,SSS则等于（）A．12B．18C．24D．426、若等差数列共有12n项*Nn，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，则项数为（）A.5B.7C.9D.117、设等差数列{}na的前n项和为nS，若39S，636S，则789aaa8、若两个等差数列na和nb的前n项和分别是nnST，，已知73nnSnTn，则55ab等于（）Ａ．7Ｂ．23Ｃ．278Ｄ．214题型四、等差数列综合题精选1、等差数列{na}的前n项和记为Sn.已知.50,302010aa（Ⅰ）求通项na；（Ⅱ）若Sn=242，求n.2、已知数列{}na是一个等差数列，且21a，55a。（1）求{}na的通项na；（2）求{}na前n项和nS的最大值。53、设na为等差数列，nS为数列na的前n项和，已知77S，7515S，nT为数列nSn的前n项和，求nT。4、已知na是等差数列，21a，183a；nb也是等差数列，4a22b，3214321aaabbbb。（1）求数列nb的通项公式及前n项和nS的公式；（2）数列na与nb是否有相同的项？若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由。5、设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.66、已知二次函数()yfx的图像经过坐标原点，其导函数为'()62fxx，数列{}na的前n项和为nS，点(,)()nnSnN均在函数()yfx的图像上。(Ⅰ)求数列{}na的通项公式；(Ⅱ)设1nnnaa3b,nT是数列{}nb的前n项和，求使得20nmT对所有nN都成立的最小正整数m；【课后练习】1、等差数列}{na的前三项依次为x，12x，24x，则它的第5项为（）A、55xB、12xC、5D、42、设等差数列}{na中，17,594aa,则14a的值等于（）A、11B、22C、29D、123、设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380aaa，则111213aaa()A．120B．105C．90D．754、若等差数列}{na的公差0d，则（）（A）5362aaaa（B）5362aaaa（C）5362aaaa（D）62aa与53aa的大小不确定5、已知na满足，对一切自然数n均有1nnaa，且2nann恒成立，则实数的取值范围是（）Ａ．0Ｂ．0Ｃ．0Ｄ．36、等差数列daaadaan成等比数列，则若公差中，5211,,,0,1为（）(A)3(B)2(C)2(D)2或27、在等差数列na中，)(,qppaqaqp，则qpa（）A、qpB、)(qpC、0D、pq78、设数列na是单调递增的等差数列，前三项和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A、1B、2C、4D、89、已知为等差数列，，则等于（）A.-1B.1C.3D.710、已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差d＝（）A.－2B.－C.D.211、在等差数列中，,则其前9项的和S9等于（）A．18B27C36D912、设等差数列的前项和为，若，，则（）A．63B．45C．36D．2713、数列na是等差数列，它的前n项和可以表示为（）A.CBnAnSn2B.BnAnSn2C.CBnAnSn20aD.BnAnSn20a14、在等差数列na中，78,1521321nnnaaaaaa，155nS，则n。15、在等差数列{an}中，an=m，an+m=0，则am=______。16、在等差数列{an}中，a4+a7+a10+a13=20，则S16=______。17、在等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，则从a15到a30的和是______。18、已知等差数列110，116，122，……，则大于450而不大于602的各项之和为______。19、已知等差数列{an}的公差d=，前100项的和S100=145求：a1+a3+a5+……+a99的值。135246105,99aaaaaa20ana7a4a3a1212na284aa{}nannS39S636S789aaa820、已知等差数列{an}的首项为a，记(1)求证：{bn}是等差数列(2)已知{an}的前13项的和与{bn}的前13的和之比为3：2，求{bn}的公差。21、在等差数列{an}中，a1=25，S17=S9(1)求{an}的通项公式(2)这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值。22、等差数列{an}的前n项的和为Sn，且已知Sn的最大值为S99，且|a99|〈|a100|求使Sn〉0的n的最大值。9【思考题】例1．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且3457nnBAnn，则使nnba得为整数的正整数n的个数是()(A)2(B)3(C)4(D)5例2．已知函数:244)(xxxf(Ⅰ)若x1+x2=1，求f(x1)+f(x2)的值；(Ⅱ)设)2011(nfan，求数列{an}的前2010项的和．例3．数列{an}的前n项和为Sn=npan(n∈N*)且a1≠a2，(Ⅰ)求常数p的值；(Ⅱ)证明：数列{an}是等差数列．