实变函数第二章---点----集

-1-第二章点集§1.度量空间，n维欧氏空间def.设X是一个集合，若对于X中任意两个元素yx,都有唯一确定的实数),(yxd与之对应，满足：1,0.,0dxydxyxy（非负性）2对任意的,,,,zXdxydxzdyz（三点不等式）则称,,dxyxy是之间的距离，称,Xd为度量空间，X中的元素称为点.注：(1)由1，2可以推出距离具有对称性：,,,,dxydyxxyX(2)子空间：若,Xd为度量空间，,.,YXYYd则也是一个度量空间，称为,Xd的子空间.(3)度量空间的例子及其性质见第七章.n维欧氏空间定义为112:,,,,,1,2,,nniRxxxxxxRin，nR中两点1212,,,,,,,nnxxxxyyyy的距离定义为1221,niiidxyxy易证，对任何,,,,nxyzRd满足：（1）,0,,0dxydxyxy（非负性）（2）,,dxydyx（对称性）（3）,,,dxydxzdzy（三点不等式）注1.从三点不等式可以推出，),(yxd是),(yx的二元连续函数，即当,0,,0,,nnnndxxdyydxydxy时，（当n时）注2.对任何12,,,,nnxxxxRx的模（或长度）定义为-2-2112),(niixXdx，)0,,0,0(是nR的原点.注3.在nR中也可以定义其它的距离，例如：121,max,,niiiiiidxyxydxyxy，其中1212,,,,,,,nnxxxxyyyy但以后所说的nR中的距离一般是指1221,niiidxyxy.1def.设000,0,,:,nPRUPPdPP记，称为0P的邻域.或记为0PU.邻域的性质：1PUP；1233122,,UPUPUPUPUPUP对于和存在使；3QUPUQUQUP对于，存在，使；4PQUPUQUPUQ对于，存在和，使2def.设0123mmnPnRPR，，，，.如果0lim0nndPP，，称点列nP收敛于0P,记为0limnnPP.注1.点列nP收敛于P0等价于：点列nP的坐标序列收敛于P0的坐标;注2.点列nP收敛于0P等价于：对于0P的任何邻域0PU，存在N,当Nn时，有0nPUP.3def.两个非空的点集BA,的距离定义为infPAQBdABdPQ，，.4def.一个非空的点集E的直径定义为-3-supPEQEEdPQ，.5def.设,nRE如果)(E,称E是有界集.注1.nR中点集E是有界集等价于：存在00,,,.UPEUP使注2.nR中点集E是有界集等价于：存在常数K,对所有Exxxxn),,,(21都有),,2,1(||niKxi.注3.nR中点集E是有界集等价于：存在常数K,对所有Ex,有)0,,0,0(0,)0,(Kxd.6def.nR中的开区间定义为点集12,,,:,1,2,,niiixxxaxbin，闭区间定义为点集12,,,:,1,2,,niiixxxaxbin，类似地定义左开右闭或左闭右开区间.记为I,体积1niiiIba.§2.聚点，内点，界点设nnRPRE0,，则0P与E有三种可能的关系：（1）在0P的附近没有E的点.（2）0P的附近全是E的点.（3）0P的附近既有E的点，又有不属于E的点.1def.若存在0P的一个邻域00,EUPUP使，则称0P为E的内点.这时，0PE.若0P是cE的内点，则称0P为E的外点.这时，c00PE,PE即.若对任何000,,,,cUPEUPE，则称0P为E的界点.注：E的界点不一定属于E.2def.设0,.nnERPR若对任何000,,UPPE，则称0P-4-为E的聚点.注1：E的聚点不一定属于E.注2：有限点集没有聚点.注3：E的内点一定是E的聚点.E的聚点不一定是E的内点.E的聚点有可能是E的界点.1Th.....EAFT(1)0P为E的聚点.(2)对任何00,,UP内含有E中无穷多个点.(3)存在各项互异的点列0,nnPEPPn.即：0lim,0nndPP.3def.0,.nnERPR若000,0,,,PEUPPE且使则称0P为E的孤立点.这时0,PE但是0P不是E的聚点.若集合E的每一点都是孤立点，则称E是孤立点集.注1：E是孤立点集''.EEE表示E的聚点全体.注2：E的界点不是聚点就是孤立点注3：若一个点集E没有聚点，即E，则称它是离散集.离散集是孤立点集，反之不一定.如例1.注4：空集没有聚点，也没有孤立点.4def.设nER，有(1)E的内点全体称为E的开核，记为E；(2)E的界点全体称为E的边界，记为E；(3)E的聚点全体称为E的导集，记为E；(4)EE称为E的闭包，记为E。2eg.正整数集N,每个n都是N的孤立点，N是孤立点集.且.,NNNNN3eg.设Q为)1,0(中的有理数集，则0,0,1,0,1QQQQ.4eg.设01,,,,,,IabRIIIIabIab则.5eg.设02,0:,,E,0:ExaxbREEExaxb则.闭包可以表为其它形式：0EEEEEEEEEEEE的全体孤立点.-5-设nn0ERPR.，则以下三条等价：(1)0PE(2)对任何00,,UPE(3)存在E中的点列0,limnnnPEPP闭包与开核的对偶关系：00,.CECECECE证明：前一个式子.00xCExEx不是E的内点,xUxUx对的任何邻域中含有不属于E的点,xEx0或xE但U中含有不属于E的点0,.xCExCExCECExCECECE或2Th.设00,,,.ABABABAB则3Th..ABAB证明,.,,.AABBABAABBABABAB另一方面，设,PAB要证PAB.由,PAB根据定理1，存在一列互异的点,lim,0.nnnPABdPPn若PA,则PAB;若PA,则P中至多有有限多个属于A,其余无穷多个都是属于B的.根据定理1，.PBABABAB.所以，.ABABeg.(1)nR中的孤立点集是至多可数集合.(2)设A是nR中的非空集合，则AAa.(3)设A是nR中的非空集合，若,Aaa则A.4Th.设nER，E是一个有界的无穷集合，则E.5Th.设,,.nnEREERE则.6Th.nR中的有界点列必有收敛子列.-6-§3.开集，闭集，完备集定义1.若EEREn,即E的每一点都是E的内点，称E是开集.注1.EEEEE是开集,.注2.nR,是开集.例1.在),(1baR中，开区间是开集（在2R中就不是）.例2.]1,0(不是开集.例3.在2R中，}1:),{(22yxyx是开集.}1:),{(22yxyx不是开集.例4.设1)(Rxf是上的连续函数，则对任何实数a,集合})(:{axfxE是开集.证明：设1000)(.)(,RxxfaxfEx在即连续，有axfxfxx)()(lim00,,0axfxx)(||0.即存在.),,(),,(),(0000ExxUxxxxU有当即ExExU是00,),(的内点.由Ex0的任意性知,E是开集.注:例4中的1R可以换成开区间),(ba.定义2.设EEREn若,.即E的每一个聚点都属于E,称E是闭集.注1:E是闭集EE.注2:E是闭集E包含了其所有的聚点.注3:E是闭集若0P是E中收敛点列}{nP的极限，则0P必属于E.注4:nR,是闭集.有限集合是闭集.例5.在],[1baR中，是闭集.],(ba不是闭集,有理数集合不是闭集,无理数集合不是闭集.例6.在2R中，}1:),{(22yxyx是闭集，}:)0,{(bxax是闭集.注5:E是闭集EE.-7-定理1.对任何是闭集和是开集，EEEREn,.证明：证EEE是开集，要证.设E非空.EP，存在邻域EPU)(.下证EPU)(.对任意的)(PUQ，存在)(QU使EPUQU)()(.的内点是EQEQ...)(是开集EEPEPU再证E是闭集.要证EE)(.设)(E非空.)(0EP.EP是0的聚点，在)(00PUP的任一个邻域内，至少含有一个属于E而异于0P的点1P.因为)(,011PUPEP,所以又有属于0202)(PPPUPE且的.所以在的0P任一个邻域)(0PU内，至少含有一个属于20PPE的点而异于.即EP0.所以E是闭集.最后证E是闭集.EEEEEEEEEE)()(,.E是闭集.定理2.)2()1(是开集是闭集，则设是闭集；是开集，则设ccEEEE证明：)1(要证ccEE)(.设E是开集，)(0cEP.在0P的任一邻域都有属于cE的点，即在0P的任一邻域都有不属于E的点，所以0P不是E的内点.EEP0..)(,0cccEEEP)2(要证.ccEE设E是闭集,,0cEP.0cEP如果则在0P的任一邻域内至少有一个不属于cE的点，即在0P的任一邻域内至少有一个属于E的点，而且这个点又异于0P(因为)0cEP.,0EEP矛盾.所以.ccEE注1:开集与闭集有对偶关系.注2:开集减闭集，差是开集；闭集减开集,差是闭集.定理3)1(任意多个开集的并是开集；)2(有限多个开集的交是开集.证明:)1(设}:{IiGi是一个开集族，IiiGG.设GPG,.则存在某一个.),(,0.000000GGPUGGPIiiii使是开集，使所以G的每一点都是G的内点，所以G是开集.注:任意多个开集的交不一定是开集.-8-例.,2,1,1,1nnnIn是直线上一列开集，但是}0{1nnI是闭集.定理4)1(任意多个闭集的交是闭集；)2(有限多个闭集的并是闭集.证明：)1(设iiiFFF,是闭集.iiiiiiFFFFFFFF.,.iiiiiiFFFFF.所以F是闭集.)2(设),,2,1(,21niFFFFFin都是闭集.)(21nFFFFFFFFFFFnn2121，所以F是闭集.注:任意多个闭集的并不一定是闭集.例.,3,2,11,0nnFn是直线上一列闭集，但是)1,0[2nnF不是闭集.下面考虑点集间的距离.两个非空的点集BA,的距离是BQAPQPdBAd,:,inf,如果PA,则BQQPdBPdBPd:,inf,,.注: