多边形的镶嵌问题

请你欣赏观察以下图案，说明它们都是由哪些几何图形组成？正多边形:各边相等、各内角也相等的多边形.正三角形正方形正六边形正五边形……..思考:(1)三边都相等的三角形是正三角形吗?(2)四边都相等的四边形是正方形吗?(3)四个角都相等的四边形是正方形吗?正三角形正方形正六边形正五边形做一做:求下列各正多边形的各个内角度数60o90o108o120o正n边形呢？nn180)2(用一种或几种多边形进行拼接,彼此之间不留缝隙,也不重叠地铺成一片,叫做平面图形的镶嵌.生活中利用镶嵌组成的美丽图案你注意到地砖的形状一般都是几边形吗？有没有正五边形地砖？你知道为什么吗？下列各正多边形中,哪些能单独镶嵌平面，哪些不能，为什么？观察以下图形并思考在镶嵌时，如何做到既无缝隙又不重叠?每个顶点处几个角的和为360°正三角形为什么能镶嵌？正方形为什么能镶嵌？123∠1+∠2+∠3=?正五边形可以镶嵌吗？原来拼不了！为什么?正五边形不能密铺!正六边形为什么能镶嵌？正多边形能否镶嵌平面,关键是拼接点处的几个内角和能否构成360°.还有其他的正多边形可以进行镶嵌吗？正多边形边数拼图每个内角的度数每个内角与360°的关系结论能镶嵌能镶嵌不能镶嵌不能镶嵌能镶嵌60°90°108°108°120°36456×60°=360°4×90°=360°4×108°＞360°3×120°=360°3×108°＜360°能否平面镶嵌图形一个顶点处正多边形的个数能能能正三角形正方形正五边形正六边形643不能规律小结：(1)如果正多边形能够镶嵌平面，那么共顶点的各个角的度数之和应等于360°.(2)能单独用来镶嵌平面的正多边形的内角度数一定能整除360.收获能用下列正多边形单独镶嵌平面吗？试一试(1)正八边形；(2)正十边形；(3)正二十边形；1358180)28(14410180)210(16220180)220(能单独镶嵌平面的正多边形只有3种，即正三角形、正方形、正六边形.综合上述研究，可得出以下结论：1.三角形可以作平面镶嵌吗?若能，三角形将如何镶嵌呢?231231231231231231231231形状、大小完全相同的任意三角形可以镶嵌平面吗？如图,四边形ABCD中,因为∠A+∠B+∠C+∠D=360°,所以四边形也可以作平面镶嵌.ABDC2.四边形呢?241324132413241324132413241324132413241324132413形状、大小完全相同的任意四边形可以镶嵌平面吗？从而发现：形状、大小完全相同的平面图形能够镶嵌平面的有：任意三角形、任意四边形、正六边形.探究多种正多边形的组合镶嵌平面下列多边形组合，能够密铺平面的是：（1）正三角形与正六边形；（2）正三角形与正方形；（3）正方形与正八边形；（4）正六边形与正八边形；（5）正三角形、正方形与正六边形。当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角和加在一起恰好组成一个周角时,就能镶嵌一个平面图形;那么哪些正多边形可以进行镶呢？设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形的角。360903602mmnn注意:同一个组合会有不同的镶嵌效果(1)正三角形与正方形的平面镶嵌正方形和正三角形的组合镶嵌正方形和正三角形的组合镶嵌设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形的角.426012036012mmmnnn,(2)正三角形与正六边形的平面镶嵌正六边形和正三角形的组合镶嵌正六边形和正三角形的组合镶嵌1.镶嵌的要求：无缝隙，不重叠2.多边形能否镶嵌的条件：每个顶点处几个角的和为360°试试看:请你用两种或两种以上的多边形设计镶嵌图案.解：因为正八边形的内角为135o，正方形的内角为90o，根据：135o×2+90o＝360o，可知：两个正八边形和一个正方形能拼成一幅镶嵌图.例:用边长相同的正四边形和正八边形做平面密铺，有几种可能？为什么？在公共的顶点处各正多边形的内角和等于360°正方形、正八边形的组合镶嵌解：设在一个顶点周围有x个正四边形，y个正八边形，则x·90°+y·135°=360°即2x+3y=8这个方程的非负整数解为：x1=1x2=4y1=2y2=0所以用正四边形和正八边形做平面密铺有两种可能：(1)在它的一个顶点周围1个正四边形配2个正八边形；(2)在它的一个顶点周围都用正四边形.例:用边长相同的正四边形和正八边形做平面密铺，有几种可能？为什么？关键：得到一个关于边数x，y的方程，然后求出它的整数解。正三角形、正方形、正六边形的组合镶嵌正三角形、正十二边形的组合镶嵌2m+5n=12m=1n=2m·60+n·150=360。。。设在一个顶点周围有m个正三角形的角、n个正十二边形的角，则有∵m、n为正整数∴解为