必修5--数列知识点总结及题型归纳

1/14数列一、等差数列等差数列的公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(2)nnaadn或1(1)nnaadn。例：等差数列12nan，1nnaa题型二、等差数列的通项公式：1(1)naand；例：1.已知等差数列na中，12497116aaaa，则，等于（）A．15B．30C．31D．642.{}na是首项11a，公差3d的等差数列，如果2005na，则序号n等于（A）667（B）668（C）669（D）670题型三、等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中2abAa，A，b成等差数列2abA即：212nnnaaa（mnmnnaaa2）例：1．设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380aaa，则111213aaa（）A．120B．105C．90D．752.设数列{}na是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A．1B.2C.4D.8题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列na中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列na中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（3）在等差数列na中，对任意m，nN，()nmaanmd，nmaadnm()mn；2/14（4）在等差数列na中，若m，n，p，qN且mnpq，则mnpqaaaa；题型五、等差数列的前n和的求和公式：11()(1)22nnnaannSnadnda）（2n2112(),(2为常数BABnAnSnna是等差数列)递推公式：2)(2)()1(1naanaaSmnmnn例：1.如果等差数列na中，34512aaa，那么127...aaa（A）14（B）21（C）28（D）352.设nS是等差数列na的前n项和，已知23a，611a，则7S等于()A．13B．35C．49D．633.设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13项B.12项C.11项D.10项5.设等差数列na的前n项和为nS，若535aa则95SS6.已知na数列是等差数列，1010a，其前10项的和7010S，则其公差d等于()3132．．BAC.31D.327．设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛nSn｝的前n项和，求Tn。题型六.对与一个等差数列，nnnnnSSSSS232,,仍成等差数列。3/14例：1.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和（）A.130B.170C.210D.2602.一个等差数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为。3.设nS为等差数列na的前n项和，971043014SSSS，则，=4．（06全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若36SS＝13，则612SS＝A．310B．13C．18D．19题型七．判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：）常数）（Nndaann(1na是等差数列②中项法：)221Nnaaannn（na是等差数列③通项公式法：),(为常数bkbknanna是等差数列④前n项和公式法：),(2为常数BABnAnSnna是等差数列例：1.已知一个数列}{na的前n项和422nsn，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知一个数列}{na的前n项和22nsn，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.数列na满足1a=8，022124nnnaaaa，且（Nn）①求数列na的通项公式；题型八.数列最值（1）10a，0d时，nS有最大值；10a，0d时，nS有最小值；（2）nS最值的求法：①若已知nS，nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值；4/14可用二次函数最值的求法（nN）；②或者求出na中的正、负分界项，即：若已知na，则nS最值时n的值（nN）可如下确定100nnaa或100nnaa。例：1．等差数列na中，12910SSa，，则前项的和最大。2．设等差数列na的前n项和为nS，已知001213123SSa，，①求出公差d的范围，②指出1221SSS，，，中哪一个值最大，并说明理由。3.已知}{na是等差数列，其中131a，公差8d。（1）数列}{na从哪一项开始小于0？（2）求数列}{na前n项和的最大值，并求出对应n的值．题型九.利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项．1．已知数列na的前n项和，142nnSn则2.设数列}{na的前n项和为Sn=2n2，求数列}{na的通项公式；3.已知数列na中，，31a前n和1)1)(1(21nnanS①求证：数列na是等差数列②求数列na的通项公式4.设数列{}na的前n项和2nSn，则8a的值为（）（A）15(B)16(C)49（D）64二、等比数列一、递推关系与通项公式5/14mnmnnnnnqaaqaaaa推广：通项公式：递推关系：111q在等比数列na中,2,41qa，则na2．在等比数列na中，22a，545a，则8a=3.在各项都为正数的等比数列{}na中，首项13a，前三项和为21，则345aaa（）A33B72C84D189二、等比中项：若三个数cba,,成等比数列，则称b为ca与的等比中项，且为acbacb2，注：是成等比数列的必要而不充分条件.例：1.23和23的等比中项为()()1A()1B()1C()2D三、等比数列的基本性质，1.（1）qpnmaaaaqpnm，则若),,,(Nqpnm其中（2）)(2Nnaaaaaqmnmnnmnmn，（3）na为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.（4）na既是等差数列又是等比数列na是各项不为零的常数列.例：1．在等比数列na中,1a和10a是方程22510xx的两个根,则47aa()5()2A2()2B1()2C1()2D2.在等比数列na中，143613233nnaaaaaa，，①求na6/14②若nnnTaaaT求,lglglg213.等比数列{}na的各项为正数，且5647313231018,logloglogaaaaaaa则（）A．12B．10C．8D．2+3log5四、等比数列的前n项和，)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn例：1.已知等比数列}{na的首相51a，公比2q，则其前n项和nS2.设等比数列}{na的前n项和为nS，已,62a30631aa，求na和nS3．设4710310()22222()nfnnN，则()fn等于（）A．2(81)7nB．12(81)7nC．32(81)7nD．42(81)7n五.等比数列的前n项和的性质若数列na是等比数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等比数列.例：1.一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为（）A．83B．108C．75D．632.已知数列na是等比数列，且mmmSSS323010，则，六.等比数列的判定法（1）定义法：（常数）qaann1na为等比数列；（2）中项法：)0(221nnnnaaaana为等比数列；（3）通项公式法：为常数）qkqkann,(na为等比数列；（4）前n项和法：为常数）（qkqkSnn,)1(na为等比数列。为常数）（qkkqkSnn,na为等比数列。7/14七.利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项．例：1.数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．2.已知数列na的首项15,a前n项和为nS，且*15()nnSSnnN，证明数列1na是等比数列．求数列通项公式方法（1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例1已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。8/14评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列{}na的通项公式。2.已知等差数列}{na满足：26,7753aaa，求na；（2）累加法1、累加法适用于：1()nnaafn若1()nnaafn(2)n，则21321(1)(2)()nnaafaafaafn两边分别相加得111()nnkaafn例2已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列{}na的通项公式为2nan。评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。9/14设数列}{na满足21a，12123nnnaa，求数列}{na的通项公式（3）累乘法适用于：1()nnafna若1()nnafna，则31212(1)(2)()nnaaafffnaaa，，，已知数列{}na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，，求{}na的通项公式。解：因为123123(1)(2)nnaaaanan①所以1123123(1)nnnaaaanana②用②式－①式得1.nnnaana则1(1)(2)nnanan故11(2)nnanna所以13222122![(1)43].2nnnnnaaanaannaaaaa③由123123(1)(2)nnaaaanan，21222naaa取得，则21aa