第03章二能级体系的-Maxwell-Bloch-方程

74第三章二能级体系的Maxwell-Bloch方程这一章，我们开始讨论光场与体系的相互作用与耦合关系。这种关系，在半经理论框架中，昀简单的方式就是Maxwell-Bloch(MB)方程。我们将详细推导MB方程，并以此为基础，研究相关的物理现象。3.1Maxwell方程与场方程本节从麦克斯韦方程出发，推导出光的电场强度满足的方程，即场方程。1862年，英国物理学家麦克斯韦提出了电磁场理论的基本方程组，引进了位移电流的概念，概括了19世纪以来的电磁场研究的实验定律，预言了电磁波的存在，使电磁场的理论达到了前所未有的高度。1865年又惊奇地发现，真空中的电磁波传播速度与光的传播速度一致，因而他断言光的波动性的本质是电磁波，揭示了光波的电磁波本性。此后，光的电磁波理论研究取得了辉煌的成就，并形成了波动光学，即物理光学的理论体系。光场满足经典电动力学的麦克斯韦方程，在M.K.S.单位制中的形式为tBE(3.1.1a)JtDH(3.1.1b)0B(3.1.1c)D(3.1.1d)式中，E为电场强度(V/m)；H为磁场强度(A/m)；D为电位移(C/m2)；B为磁感应强度(T)；J为电流密度(A/m2)；是自由电荷密度(C/m3)。这里仅讨论0的情况。表征介质的物性方程为EJ(3.1.2a)PED0(3.1.2b)MHB0(3.1.2c)式中，P是介质的电极化强度；M是介质的磁化强度，对非磁介质，0M；是介质的电导率；12010854187816.8F/m，是真空的介电常数；70104H/m，是真空中的电磁系数。且有：752001/c(3.1.3)式中，81099792458.2cm/s，为光速。这样，在上述假设条件下，物性方程为：EJ(3.1.4a)PED0(3.1.4b)HB0(3.1.4c)对(3.1.4c)式求旋度，有HB0(3.1.5)将(3.1.1b)式代入上式，可得JtDHB000(3.1.6)再将(3.1.4a)和(3.1.4b)代入上式，有EtPtEEtDB000000(3.1.7)对(3.1.1a)式求旋度，有tBE(3.1.8)将(3.1.7)代入上)式可得，tEtPtEtBE02202200(3.1.9)根据矢量运算规则，EEE2)((3.1.10)在没有自由电荷的均匀介质中和在EP0的情况下，有0E，这样可得tEtPtEE022022002(3.1.11)激光器中的电磁场一般为矢量场，但是若光场为线偏振场，并且如果介质的极化也在同一方向，则矢量场可简化为标量场。这样上面的矢量函数可以用相应的标量函数来代替。76对理想的电介质，0，这样(3.1.11)变为22022002tPtEE(3.1.12)福克斯和厉鼎毅(FoxandLi,1961)已指出，在垂直于激光轴的方向上，场强的变化和光学波长相比是缓慢的，即222222,yExEzE所以可以略去波场在x和y方向上的导数，近似认为波场只沿z轴方向变化。这时，电场强度和极化强度可以写成标量，由此，(3.1.12)式可简化为220220022tPtEzE(3.1.13)式中，P是总的极化强度，包括线性与非线性部分，即，LNL0NLPPPEP(3.1.14)式中，称为介质的线性极化率。将上式代入(3.1.13)式，可得，222NL0002221PEEztt(3.1.15)2222NL02222PEnEzctt(3.1.16)式中，n为折射率。为了处理上式，我们需要表达出电场E以及由电场作用于介质产生相应的宏观非线性极化强度NLP，实际上在处理时，可以分为以下三种情况，这里全都假定电场与极化的波矢相同。实际上，有许多场合，我们是需要考虑其不同波矢方向。3.1.1复振幅的电场光场与介质极化强度可以写成如下形式，ii1(,)(,)ec.c.2tkzEztEzt(3.1.17)介质中非线性极化强度是在上述光场作用下产生的，可以将它表示为类似光场的形式，即，iiNLNL1(,)(,)ec.c.2tkzPztPzt(3.1.18)77其中，),(~tzE和),(~tzPNL为电场与极化的慢变包络函数。应用旋转波近似，可以略去上两式的复共轭项。对上两式求导数，并应用到(3.1.16)式，有2iiii2ii222222iiiiii22222iiii0021(,)(,)1eie(,)e22(,)(,)eie(,)e22(,)(,)11ee22tkztkztkztkztkztkztkztkzNLNLEztEztkkEztzznEztnEztnEztctctcPztPztitt2ii0(,)etkzNLPzt(3.1.19)为了简化(3.1.19)式所表示的场(波动、传播)方程，需要作若干近似，),(~),(~tzEttzE;ttzEttzE),(~),(~22(3.1.20a)),(~),(~tzEkztzE;),(~),(~22ztzEkztzE(3.1.20b)),(~),(),(~222tzPttzPttzP(3.1.20c)(3.1.20a)和(3.1.20b)式分别表示电场的振幅和相位在一个光波振荡周期时间内的相对变化远小于2π。慢变近似的一般表示式为，可参见Yariv的《QuantumElectronics》。应用上述慢变近似后，(3.1.19)式可以简化为：220NL2(,)(,)1ii(,)2EztnEztkPztzct(3.1.21)又因为，2π2πnnkcc(3.1.22)这样，(3.1.21)式整理后得，0i(,)(,)(,)2NLcEztnEztPztzctn(3.1.23a)其复共轭形式为：***0NLi(,)(,)(,)2cEztnEztPztzctn(3.1.23b)上式，一般意义上，电场的慢变项振幅(,)Ezt和极化强度的慢变项NL(,)Pzt是复数。下面我们讨论两种特别的情形。NL(,)Pzt等于21NL(,)Pzt，而*NL(,)Pzt等于12NL(,)Pzt。783.1.2电场与极化强度相位同步如果初始入射光场有一个初始相位(,)zt，相应地极化强度也要产生一个相位同步，这样有：i(,)0(,)(,)eztEztEzt(3.1.24)i(,)NLNL(,)(,)eztPztPzt(3.1.25)(3.1.24)式对空间与时间求导，可得，i(,)i(,)00(,)(,)(,)ei(,)eztztEztEztztEztzzz(3.1.26a)i(,)i(,)00(,)(,)(,)ei(,)eztztEztEztztEztttt(3.1.26b)将(3.1.24)、(3.1.25)和(3.1.26)各式代入(3.1.23)式，整理后，可得00000NL(,)(,)i(,)(,)i(,)i(,)(,)2EztEztcztnztEztEztPztzzcttn(3.1.27)上式左边虚实部分开写，有000NL(,)(,)Im(,)2EztEztcnPztzctn(3.1.28a)00NL(,)(,)(,)Re(,)2cztnztEztPztzctn(3.1.28b)要注意的是，NLP通常是复数。3.1.3实振幅的电场如果假定光场与介质极化强度都为实振幅，也即光场的初始相位(,)0zt，所以电场可以写如下形式，ii01(,)(,)ec.c.2tkzEztEzt(3.1.29)式中，0(,)Ezt是实数。介质中极化强度是在光场作用下产生的，可表示为如下类似光场的形式。iiNLNL1(,)(,)ec.c.2tkzPztPzt(3.1.30)其中，),(0tzE和NL(,)Pzt为电场与极化的慢变包络函数，前者为实数，后者一般为复数。应用旋转波近似，可以略去上两式的复共轭项。对上两式求导数，并应用到(3.1.16)式，有792iiii2ii000222222iiiiii0022222iiii20002(,)(,)11eie(,)e22(,)(,)eie(,)e221(,)(,)1eie22tkztkztkztkztkztkztkztkzEztEztkkEztzzEztEztnnnztctctcPztPztPttii(,)etkzzt(3.1.31)应用慢变近似，上式便可以简化为，2000(,)(,)1ii(,)2EztEztnkPztzct(3.1.32)应用(3.1.22)式，上式为),(~21),(),(200220tzPttzEcniztzEcniNL上式整理后得，000NL(,)(,)i(,)2EztEztcnPztzctn(3.1.33)将式21(,)2(,)NLPztNzt代入上式，可得：00021(,)(,)i(,)EztEztcNnztzctn(3.1.34)3.2Maxwell-Bloch耦合方程从上面我们可以看到，原子的电偶极矩是光场作用于体系而诱导出来的，而诱导的电偶极形成宏观的电极化强度，这个极化强度可看作新的源而而诱导出电场，这个电场与极化强度间的关系，可由Maxwell波动方程来描述，这之间形成自洽关系，这我们将在后面处理。下面，我们通过关联宏观极化强度的微观表达式，得到Maxwell-Bloch耦合方程3.2.1复振幅的电场与极化强度光场为复振幅时，其光场与介质的极化强度分别可用(3.1.17)和(3.1.18)式的形式表示。由(1.6.10)式，可知极化强度相应的微观表达式为，iiiiNL1221(,)(,)e(,)etkztkzPztNztzt(3.2.1)根据(3.1.18)式，有：iiiiii*iiNL2112NLNL1(,)(,)e(,)e(,)e(,)e2tkztkztkztkzPztNztztPztPzt80N为总的原子数目。根据vu,的定义有，211(,)[(,)i(,)]2ztuztvzt，121(,)[(,)i(,)]2ztuztvzt(3.2.2)这样，便有NL21(,)2(,)[(,)i(,)](,)i(,)PztNztNuztvztUztVzt(3.2.3a)*NL12(,)2(,)[(,)i(,)](,)i(,)PztNztNuztvztUztVzt(3.2.3b)式中，(,)(,)UztNuzt，(,)(,)VztNvzt(3.2.4)将(3.2.3a)式代入到(3.1.17)式，可得，0(,)(,)[i()()]