第05章非均匀展宽下-Maxwell-Bloch-方程的解析解

116第五章非均匀展宽下Maxwell-Bloch方程的解析解在第三章，我们推导出了二能级体系的MB方程，这是一组偏微分方程，从偏微分方程的分类来看，可以归类于拟线性一阶双曲双曲型方程组。这类方程的解析解是困难的，即使是数值求解都并非一件直观简易的事。但一些特殊条件下，还是能求出解析解的，由这些解析解，也就可以分析MB方程的作用与物理含义。这一章，我们基本沿用MB方程求解的历史文献来求得非均展宽下MB方程的解析解，并讲述由此引入的一些相关术语。虽然从事后的许多研究成果来看，早期的研究推导，显的有些繁杂与难懂，但从阅读文献、理解这方面的新的进展，以及一些重要概念的理解，如面积定理等，我们理解与弄懂这些内容都是有重要意义的。5.1面积定理1969年McCall和Hahn推导出一个所谓的面积定理，它描述入射光场相对于时间积分(脉冲面积)在空间的演变情况。借助这个定理，可以方便地讨论超短激光脉冲在吸收和放大介质中出现的某些现象，而无需知道光学Bloch方程的详细解。5.1.1Bloch角与脉冲面积的定义我们知道，在定态(稳态)作用中，光场、介质极化强度和粒子数都不随时间变化，即，0WPE或者说，0uvw。可以由0WP求出极化强度与光场的关系，而且在时刻t的极化强度)(tP是该时刻的光场)(tE决定。反之亦然。然而，在相干瞬态作用中，0WP，不可能求出)(tP与)(tE的显函数关系t时刻)(tP不只取决于t时刻的光场，还与t时刻以前的光场有关，即有记忆效应。这样，)(),(),(tPtvtu取决于从到t时刻的光场的积分值)(t，即所谓的Bloch角，其定义如下：(,)(,)d(,)dttztEzttztt(5.1.1)其微分式为，),(),(tzttz(5.1.2)而光场慢振幅的(,)Eztt曲线下的面积为称为光脉冲的面积，其定义如下，117()(,)(,)d(,)dlimtAzztEzttztt(5.1.3)为光整个脉冲通过点z的脉冲“面积”。由物理意义知：(,)(,)0EzEz或(,)(,)0zz(5.1.4)例如，对于一个脉宽为，振幅为0E的矩形脉冲，我们有，00()Etttt0(5.1.5)00EAt(5.1.6)5.1.2非均匀展宽共振激发下的面积定理式(5.1.3)对空间变量z求导，有：d()(,)ddlimttAzzttzz(5.1.7)将(3.3.10d)式代入上式，d()(,)(,')dlim(,)(,)(,)ddlimlimtttttAzztvzttztzvzttzt考虑到0),(),(zz，我们得到，d()(,,ddlimttAzvzttz(5.1.8)在对于12,0，由式(4.3.10a)式，得：),(),(tzutzv。在非均匀展宽下为：(,)(,)uztvzt，上式代入(5.1.8)式，可得：d()(,,)ddlimttAzuzttz(5.1.9)取0),,(zu，这样有，d()(,,)dlimtAzuztz(5.1.10)对于气态原子，我们考虑其原子速度分布的影响(相当于非均匀展宽)，这时有：1182221211()()edπzpvvzpttvv(5.1.11a)式中)(~21t表示对速度取平均，pv为原子的最可几速度。这样，便有：221(,,)(,,)edπzpvvzpuztuztvv(5.1.11b)代入(5.1.10)式，可以得到，22d()1(,,)eddπlimzpvvztpAzuztvzv(5.1.12)上述对原子运动速度zv的积分可转换为对共振参量的积分，即对于以速率zv沿光的传播方向运动的原子群的共振调谐参量为，21zkv(5.1.13)当，21时，即光的中心频率与跃迁频率相等(共振)时，这里，矢谐量仅由非均匀展宽引起，即有，zkv(5.1.14a)要注意，这个有是量纲，而(5.3.12a)的是无量纲量，因此，无量纲，则为：zkv0(5.1.14b)代入(5.1.12)，有220d()1(,,)ed()dπ()(,,)dlimlimpkvztptAzuztkvzkvguzt(5.1.15)式中，22()1()epkvpgkv(5.1.16)从第二章，我们知道，忽略弛豫时间的且光场作用已停止后(自由感应衰减)时，可以得得到光学Bloch方程的解析解。这时，我们可以选择一个时刻0t，使得0tt时，0),(tz，所以得到自由感应衰减的公式为，)(sin)0()(cos)0(),,(00ttvttutzu(5.1.17a)119)(sin)0()(cos)0(),,(00ttuttvtzv(5.1.17b)),,(),,(0tzwtzw(5.1.17c)由于上式对于任意一点z都适用，初始值可以取为),,()0(0tzuu(5.1.18a)),,()0(0tzvv(5.1.18b)将(5.1.17a)代入(5.1.15)，可得：000()()(0)cos()(0)sin()dlimtdAzguttvttdz(5.1.19)从(5.1.17)可以看出，u为的奇函数，v为的偶函数，由于)(cos0tt是振荡的，)(g在0时较尖锐，所以在方程(5.1.19)中积分主要来自于0的贡献，因此可以把),,(0tzu和),,(0tzv在0附近可以展开为级数，3210),,()0(aatzuu(5.1.20a)注意u是的奇函数，展开后只有的奇次项，v为的偶函数，忽略去高次项有：10),,(atzu(5.1.21)这样，(5.1.19)式的第一项为100100(0)()(0)cos()d(0)cos()d(0)sin()0limlimlimtttgaguttuttgatttt(5.1.22)由于v为的偶函数，我们有，),,0()0(),,()(00tzvgtzvg(5.1.23)这样，(5.1.19)式的第二项为0000sin()()(,,)sin()d(0)(0,,)dlimlimttttgvztttgvzt(5.1.24)又，对于忽略弛豫时间，且共振时，即0，光学Bloch方程的解为0),,0(tzu(5.1.25a)),(sin),,0(tzwtzveq(5.1.25b)120),(cos),,0(tzwtzweq(5.1.25c)这里，便有0),,0()0(0tzuu(5.1.26a)),(sin),,0()0(00tzwtzvveq(5.1.26b)由图5.1.1可知(5.1.24)中的积分函数是函数，sindπ()limttt(5.1.27)图5.1.1当t，tsin是函数这样，便有00(0)d()πsin(,)deqgwAzztz(5.1.28)由于0t是脉冲结束时刻，所以有)(),(,lim0zAtztzt(5.1.29)代入(5.1.28)，并且令1eqw，0d()π(0)sin()dAzgAzz(5.1.30)上式是无量纲，即zcnz0，这样，有纲量时为：1212020(0)d()(0)sin()sin()d2cNgAzngAzAzzcn(5.1.31)McCall和Hahn发现，对于21,TT的强脉冲，)(zA所遵守的运动方程为：d()sin()d2AzAzz(5.1.32)式中20π(0)cNgn(5.1.33)式中，)0(g是圆频率域多普勒线型函数的中心值。式(5.1.32)即称为面积定理。需要指出，脉冲面积和脉冲能量不同，通过z处的脉冲能量定义为：220(,)()(,)dd(,)dEztWzIztttztt(5.1.34)0)(zW，而)(zA可大零或小零。5.1.2面积定理的物理意义1．面积定理是比尔定律的推广对于吸收介质，当光脉冲很弱时，即脉肿面积很小，从(5.1.32)式，可得：()sin()22dAzAzAdz(5.1.35)脉冲能量按指数衰减，即：22()(0)ezEzE(5.1.36a)或者22()(0)ezz(5.1.36b)()(0)ezIzI(5.1.36c)式(5.1.36c)就是我们熟知的光的吸收的比尔定律。2．脉冲压缩当光脉冲面积πAm(m为整数)时，显然有：dsinπ0d2Amz(5.1.37)上式表明，这里，脉冲在传播过程中，保持脉冲面积不变。但是，对吸收介质，m为奇数时，脉冲是不稳122定的，只有m为偶数时，脉冲才是“稳定”的，图5.1.2表明，短脉冲在吸收介质中传播时，其面积将趋向于最接近的m的偶数倍。如：(0)1.1πA时，脉冲趋向2π，然后保持面积不变，(0)0.9πA时，脉冲趋向零。图5.1.2脉冲传播的面积定理从图5.1.2还看到，(0)1.1πA的脉冲在传播中脉宽变宽了，这是因为光脉冲不可能从吸收介质中提取能量，因此，(0)1.1πA的脉冲在趋向2π时，只有依靠脉冲变宽而增加面积。更有意义情况是(0)3πA脉冲，它在趋向2π脉冲时，脉冲宽变窄而峰值增加。1971年．Gibbs等的实验证实了这种脉冲压缩。3.2π脉冲的无损耗传播由于脉冲面积就是Bloch矢量的转动角度，所以2π脉冲使Bloch矢量严格依复到原来的位置。如果初始时粒子全部在下能级，即(0)1w，在2π脉冲作用下，粒子分布从(0)1w又回到(0)1w，吸收介质并不从光脉冲得到能量。若初始条件为：(0),(0),(0)uvw，共振时，(0)0u，则在2π脉冲作用下，粒子数恢复为(0)w。偶极短则又恢复为(0)v，所以偶极矩也不能从光脉冲得到能量。这说明，从理论上讲，2π光脉肿在二能级吸收介质中的损耗为零。若用于数字通信中，这种光通信的损耗为零，因此123可实现超远距离光通信。4.光脉冲在增益介质中的传播光脉冲在增益介质沿z传播时，相当于光咏肿在吸收介质中沿z方向传播。如，在(0)1w时，(5.1.32)在形式上可写成：d()sin()d2AzAzz(5.1.38)即：d()sin()d()2AzAzz(5.1.38)因此在图5.1.3中，沿z方向看图，就表示光脉冲在增益介质中的传播规律。这时，π的偶数倍的脉冲是不稳定的，π的奇数倍的脉冲是稳定的。例如：(0)1.9πA的脉冲在增益介质中传播时面积变为π。5.脉冲的分裂最后还应指出，面积定理并不能区分2π,4π,6π,等脉冲。进一步的研究表明，在吸收介质中，只有2π脉冲是稳定的，而4π,6π,等脉冲都是不稳定的，在吸收介质中传播时分别分裂为2,3,…个2π脉冲，见图5.1.3和图5.1.4。用计算机数值求解MB方程得的脉冲分裂情况与实验结果是一致的。图5.1.34脉冲分裂为二个2π脉冲图5.1.4Hg激光脉冲在Rb蒸汽中的自感应透明引起的脉冲分裂。虚线是输入脉冲，实线是输出脉冲。(a)实验结果；(b)理论计算结果。1246.零脉冲或零面积脉冲光脉冲面积可以是正值、负值和零，但是零π脉冲并不分裂为2π脉冲和2π脉冲