函数的周期性专题

函数的周期性一知识点精讲1．周期函数的定义：对于()fx定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得()()fxTfx恒成立，则称函数()fx具有周期性，T叫做()fx的一个周期，则kT（,0kZk）也是()fx的周期，所有周期中的最小正数叫()fx的最小正周期．周期函数的定义域一定是无限集2性质①若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则)(xf)0(是周期函数，且周期为||T。3．几种特殊的具有周期性的抽象函数：函数yfx满足对定义域内任一实数x（其中0a为常数）（1）fxfxa，则yfx的周期Ta．（2）fxafx，则xf的周期2Ta．（3）1fxafx，则xf的周期2Ta．（4）fxafxa，则xf的周期2Ta．（5）1()()1()fxfxafx，则xf的周期2Ta．（6）1()()1()fxfxafx，则xf的周期4Ta数．（7）1()()1()fxfxafx，则xf的周期4Ta．（8）函数()yfx满足()()faxfax（0a），若()fx为奇函数，则其周期为4Ta，若()fx为偶函数，则其周期为2Ta．（9）函数()yfxxR的图象关于直线xa和xbab都对称，则函数()fx是以2ba为周期的周期函数．（10）函数()yfxxR的图象关于两点0,Aay、0,Bbyab都对称，则函数()fx是2ba为周期的周期函数．（11）函数()yfxxR的图象关于0,Aay和直线xbab都对称，则函数()fx是以4ba为周期的周期函数．(12))-()()(axfxfaxf，则)(xf的周期aT6.二典例解析1．设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=()A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.52．若y=f(2x)的图像关于直线2ax和)(2abbx对称，则f(x)的一个周期为（）A．2baB．)(2abC．2abD．)(4ab3．已知()fx在R上是奇函数满足2)1(),()3(fxfxf，则)5(f4．已知定义在R上的奇函数)(xf满足)()2(xfxf，则)2008(f=例5．已知函数()yfx是定义在R上的周期函数，周期5T，函数()(11)yfxx是奇函数又知()yfx在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x时函数取得最小值5。①证明：(1)(4)0ff；②求(),[1,4]yfxx的解析式；③求()yfx在[4,9]上的解析式。9、函数)(xfy定义域为R，且恒满足)2()2(xfxf和)6()6(xfxf，当62x时，xxf212)(，求)(xf解析式。10、已知偶函数)(xfy定义域为R，且恒满足)2()2(xfxf，若方程0)(xf在4,0上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间10,8中的根。附参考答案：1T：12T：)0,1(3T：1x4T：y轴即0x5T：①y轴②1x6T：①41x②21x7T：C8T：②④9T：),6828(2)8(21),2828()8(21)(Zkkxk　　　kxZkkxk　　　　　kxxf10T：方程的根为1086420246、、、、、、、、共9个根。2.)(xf是定义在R上的以3为周期的偶函数，且0)1(f，则方程0)(xf在区间)6,0(内解的个数的最小值是（）A．5B．4C．3D．24.()fx是偶函数，且(0)993,()(1)fgxfx又为奇函数，则f(1992)=6.数列{}na中122120061,5,,nnnaaaaaa则7已知)(xf是以2为周期的偶函数，且当)1,0(x时，1)1(xxf.求)(xf在)2,1(上的解析式。8)(xf的定义域是R，且)(1)](1)[2(xfxfxf,若2008)0(f,求)2008(f的值。9．已知函数()fx满足1()(1)1()fxfxfx，若(0)2004f，试求f(2005)。（2009山东理）10.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=0),2()1(0),1(log2xxfxfxx，则f（2009）的值为()A.-1B.0C.1D.2【解析】:由已知得2(1)log21f,(0)0f,(1)(0)(1)1fff,(2)(1)(0)1fff,(3)(2)(1)1(1)0fff,(4)(3)(2)0(1)1fff,(5)(4)(3)1fff,(6)(5)(4)0fff,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）=f（5）=1,故选C.（2009山东理）16.已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(4)()fxfx,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间8,8上有四个不同的根1234,,,xxxx,则1234_________.xxxxw.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足(4)()fxfx,所以(4)()fxfx,所以,由)(xf为奇函数,所以函数图象关于直线2x对称且(0)0f,由(4)()fxfx知(8)()fxfx,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为)(xf在区间[0,2]上是增函数,所以)(xf在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m0)在区间8,8上有四个不同的根1234,,,xxxx,不妨设1234xxxx由对称性知1212xx344xx所以12341248xxxx-8-6-4-202468yxf(x)=m(m0)答案:-8（2009全国一）（11）函数()fx的定义域为R，若(1)fx与(1)fx都是奇函数，则(D)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(A)()fx是偶函数(B)()fx是奇函数(C)()(2)fxfx(D)(3)fx是奇函数解:(1)fx与(1)fx都是奇函数，(1)(1),(1)(1)fxfxfxfx，函数()fx关于点(1,0)，及点(1,0)对称，函数()fx是周期2[1(1)]4T的周期函数.(14)(14)fxfx，(3)(3)fxfx，即(3)fx是奇函数。故选D专题函数对称性一知识点精讲：I函数)(xfy图象本身的对称性（自身对称）若()()fxafxb，则()fx具有周期性；若()()faxfbx，则()fx具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、)()(xbfxaf)(xfy图象关于直线22)()(baxbxax对称推论1：)()(xafxaf)(xfy的图象关于直线ax对称推论2、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称推论3、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称2、cxbfxaf2)()()(xfy的图象关于点),2(cba对称推论1、bxafxaf2)()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论2、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论3、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称II两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、)(xfy与)(xfy图象关于Y轴对称2、)(xfy与)(xfy图象关于原点对称函数3、函数)(xfy与()yfx图象关于X轴对称4、函数)(xfy与其反函数1()yfx图象关于直线yx对称5.函数)(xafy与)(xbfy图象关于直线2abx对称推论1:函数)(xafy与)(xafy图象关于直线0x对称推论2:函数)(xfy与)2(xafy图象关于直线ax对称推论3:函数)(xfy与)2(xafy图象关于直线ax对称二典例解析：1、定义在实数集上的奇函数)(xf恒满足)1()1(xfxf，且)0,1(x时,512)(xxf,则)20(log2f________。解析：)(xfy关于直线1x对称，)2()(xfxf，又是)(xf奇函数，)()(xfxf，故有)()2(xfxf，4T,)420(log)20(log22ff1512)54(log)45(log45log222ff2、已知函数)(xfy满足0)2()(xfxf，则)(xfy图象关于__________对称。解析：这是一个函数的对称性，由上述结论知)(xfy图象关于)0,1(对称3、函数)1(xfy与函数)1(xfy的图象关于关于__________对称。解析：这是两个函数的对称性，两函数的图象关于1x对称4、设函数)(xfy的定义域为R，且满足)1()1(xfxf，则)(xfy的图象关于__________对称。解析：这是一个函数的对称性，)(xfy的图象关于y轴即0x对称5、设函数)(xfy的定义域为R，且满足)1()1(xfxf，则)1(xfy的图象关于__________对称。解析：)(xfy关于直线1x对称，)1(xfy是由)(xfy向左平移一个单位得到的，故)1(xfy的图象关y轴对称6、设)(xfy的定义域为R，且对任意Rx，有)2()21(xfxf，则)(xfy关于__________对称，)2(xfy图象关于__________对称，。解析：令xt2，则有)()1(tftf)(tfy关于直线21t即)(xfy关于21x对称，)2(xfy是由纵坐标不变，横坐标变为原来的21，)2(xfy关于41x对称。7、已知函数)(xfy对一切实数x满足)4()2(xfxf，且方程0)(xf有5个实根，则这5个实根之和为（）A、5B、10C、15D、18解析：)(xfy的图象关于直线3x对称，故五个实根，有两对关于直线3x对称，它们的和为12，还有一个根就是3。故这5个实根之和为15，正确答案为C8、设函数)(xfy的定义域为R，则下列命题中，①若)(xfy是偶函数，则)2(xfy图象关于y轴对称；②若)2(xfy是偶函数，则)(xfy图象关于直线2x对称；③若)2()2(xfxf，则函数)(xfy图象关于直线2x对称；④)2(xfy与)2(xfy图象关于直线2x对称，其中正确命题序号为_______。解析：①错)2(xfy关于直线2x对称，②对③错若)2()2(xfxf，则函数)(xfy图象关于直线0x对称；④对第十五讲抽象函数问题一知识点精讲：1所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。2中学阶段常用抽象函数()fx的“原型”（函数）1．()()()fxyfxfy