5.2万有引力定律的应用

海口华兴学校任汉鑫学习目标：1.会利用万有引力定律计算天体的质量．2．理解人造卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系．3．能利用人造卫星的运行规律分析、计算有关问题并能区分人造卫星的发射速度和环绕速度．4．知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度重点难点：利用万有引力定律，求天体的质量、密度、运动周期和运动速度．一、测算天体的质量和密度方法与思路：根据围绕“中心天体”运行的行星（或卫星）的运动情况，求出行星（或卫星）的向心加速度．而向心力是由万有引力提供的。这样，利用万有引力定律和圆周运动的知识，可列出方程，导出计算中心天体（太阳或行星）的质量的公式。点击上图链接1、如何测算天中心体的质量？解题依据：根据天体表面的重力近似等于天体对物体的万有引力，求中心天体的质量。(1)已知天体半径r和天体表面的g。求天体的质量Ｍ2RMmGmg计算公式：GgRM2得中心天体的质量：从中心天体本身出发以上方法可推广的其它行星的质量测算从环绕天体出发解题依据：向心力Ｆ向等于万有引力Ｆ引(2)质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动中心天体环绕天体ｒR以上方法可推广的其它行星的质量测算例1：已知哪组数据，可以测算地球的质量M，引力常数G为已知：A：月球绕地球运动的周期T1及月球中心到地球中心的距离r1。B：地球绕太阳运行的周期T2及地球中心到太阳中心的距离r2。C：人造卫星在地面附近的运行速度v3和运行周期T3。D：地球绕太阳运行的速度v4和及地球中心到太阳中心距离r4。分析：根据求解中心天体质量的方法，如果知道绕中心天体的行星（卫星）的运动的某些量便可求解，方法是利用万有引力提供向心力，则可由等分析，知道中心天体表面的重力加速度，则可有由来分析。答案：A、CrTmmvrvmrmrMmG22222）（GgRM2例2、（2006年全国理综）为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量，已知地球的半径R=6.4×106m，地球质量m=6.0×1024kg日地中心距离r=1.5×1011m，地球表面处的重力加速度g=10m/s2，1年约为3.2×107s，试估算目前太阳的质量M。(估算结果只保留一位有效数字）解得：M=2×1030kg日地地日地地地日地地日）（由于rTmrmrmMG2222日地日地日所以：rTrGM2224kgkgGTrM3027113112232102)102.3(1067.6)105.1(14.344即：解：2、如何测算中心天体的密度？中心天体环绕天体ｒR已知:绕行天体的T绕行和r轨道2224MmGmrrT中绕绕2324rMGT中3233343MrGTRR中中=rR近地轨道23GT中注：用测定环绕天体的轨道半径和周期方法来测量天体的质量，只能测中心天体的质量，而不能测定其自身（环绕天体）的质量。解析：航天飞机绕星球飞行，万有引力提供向心力可得：33/1098.6mkg代入数值：sTkgmNG32211105.4,1067.6该星平均密度为：232323334434GTrGTrRMVM星贴近飞行时，星Rr22)2(TmrrMmG由例3：某宇航员驾驶航天飞机到某一星球，他使航天飞机贴近该星球附近飞行一周，测出飞行时间4.5103s，则该星球的平均密度是多少？2324GTrM得：测算天体质量的黄金代换公式已知：g和R，可得2MmGmgR表2gRMG表2GMgR表2GMgR表黄金代换公式天体表面:(不考虑天体自转)R为天体的半径测算中心天体的质量的基本思路：(2)从环绕天体出发：通过观测环绕天体运动的周期T和轨道半径r;就可以求出中心天体的质量M。(1)从中心天体本身出发：只要知道中心天体的表面重力加速度g和半径R就可以求出中心天体的质量M。解卫星的有关问题：在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力。即：22222Tr4mrmrvmmarMmG向二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即从而得出(黄金代换，不考虑地球自转)mgRMmG22gRGM2322224)4(GTrMrTmrMmG得：由GgRMmgRMmG22,得由例4：已知月球质量是地球质量的1/81，月球的半径是地球半径1/3.8，问：(1)在月球和地球表面附近以同样的初速度竖直上抛同样的物体时上升的最大高度之比是多少？(2)在距离月球和地球表面相同高处（此高度较小），以同样的初速度分别水平抛出一个相同的物体，物体水平射程之比是多少？解：(1)在月球和地球表面附近竖直上抛的物体都做匀减速运动，其上升的最大高度分别为：地地月月，gvhgvh222020式中，g月和g地是月球表面和地球表面附近的重力加速度，根据万有引力定律得：22地地地月月月，RGMgRGMg于是得上升的最大高度之比为：6.5)8.31(81222地月月地月地地月RMRMgghh例4：已知月球质量是地球质量的1/81，月球的半径是地球半径1/3.8，问：(1)在月球和地球表面附近以同样的初速度竖直上抛同样的物体时上升的最大高度之比是多少？(2)在距离月球和地球表面相同高处（此高度较小），以同样的初速度分别水平抛出一个相同的物体，物体水平射程之比是多少？解：(2)设抛出点的高度为h，初速度为V0，在月球和地球表面附近的平抛物体在竖直方向做自由落体运动，从抛出到落地所用的时间分别为：地地月月，ghtght22在水平方向做匀速直线运动，其水平射程之比为：37.28.3900月地地月地月ggtvtvxx答案：37.2:)2(6.5)1(地月地月：xxhh例5、一探空箭进入绕太阳的近乎圆形的轨道运行，轨道半径是地球绕太阳公转半径的9倍，则探空火箭绕太阳公转周期为多少年？(1)火箭绕太阳公转，则有：rTmrMmG2121214MGrT312解得：rTmrMmG2222224(2)地球绕太阳公转，则有：MGrT322解得：273321rrTT那么：答案：27年解：设火箭质量为m1，火箭绕太阳转的轨道半径为，地球质量为m2，地球绕太阳转的轨道半径为r，则有：r例5、一探空箭进入绕太阳的近乎圆形的轨道运行，轨道半径是地球绕太阳公转半径的9倍，则探空火箭绕太阳公转周期为多少年？解法二：由于地球绕太阳公转周期为1年，约为3.2×107sCTrTr2323箭箭地地答案：27年探空箭绕太阳公转的周期为：探空箭也是绕着太阳公转，由开普勒第三定律得：（年））（）（地地箭地地箭地地箭地箭2719332332332TrrTrrTrrTT例6、地球绕太阳公转，轨道半径为r，周期为T。月球绕地球运行轨道半径为，周期为t，则太阳与地球质量之比为多少？解：地球绕太阳公转，太阳对地球的吸引力提供向心力，则：rTmrmMG2224地地日2324GTrM日解得：月球绕地球公转，地球对月球的吸引力提供向心力，则：rtmrmmG2224月月地2324Gtrm地解得：太阳与地球质量之比为：2323TrtrmM地日r１、海王星的发现1821年，人们通过观测发现天王星的实际轨道与用万有引力理论计算的轨道有误差，引发许多猜想。英国剑桥大学的学生，23岁的亚当斯，经过计算，提出了新行星存在的预言．他根据万有引力定律和天王星的真实轨道逆推算，预言了新行星不同时刻所在的位置。同年，法国的勒维列也算出了同样的结果，并把预言的结果寄给了柏林天文学家加勒。当晚（1846.3.14），加勒把望远镜对准勒维列预言的位置，果然发现一颗新的行星——就是海王星。二、预测和发现未知天体相关链接２、冥王星的发现海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的不一致．于是几位学者用亚当斯和勒维列的方法预言另一颗新行星的存在。在预言提出之后，1930年，汤博（Tombaugh）发现了这颗行星——冥王星。冥王星的实际观测轨道与理论计算的一致，所以人们确认，冥王星是太阳系最外一颗行星了。相关链接三、人造卫星和宇宙速度1、宇宙速度（1）第一宇宙速度也叫做(近地环绕速度)v1=7.9km/s.它是人造卫星地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具备的速度。推导方法一：由于卫星在地球附近运行时，卫星做圆周运动的向心力可看作由万有引力来提供，卫星运行的轨道半径近似看作地球半径，根据牛顿第二定律得:（2）第一宇宙速度（环绕速度）的证明）（近地绕行运行rRrvmRmMG22由：skmrGMv/9.7运行得：（第一宇宙速度）物理意义：圆形轨道半径越大，其运行速度越小。非圆形轨道的线速度不能用上述关系式计算。如果发射的速度小于第一宇宙速度，卫星将落到地面而不能绕地球运转；skmsmgRv/9.7/109.78.91037.636发射等于这个速度卫星刚好能在地球表面附近作匀速圆周运动；(此轨道也叫近地轨道)例例::地球半径为地球半径为RR，质量为，质量为MM，地面附近的重力加，地面附近的重力加速度为速度为gg，万有引力常量为，万有引力常量为GG，则靠近地面运转的，则靠近地面运转的人造地球卫星环绕速度为（人造地球卫星环绕速度为（））ARg.RBg.3GMCR.GMDR.2vmgmvgRR22GMmvGMmvRRRADAD推导方法二：把卫星发射到地球附近的轨道，卫星在轨道上做匀速圆周运动，向心力由重力mg提供，卫星运行半径近似看作地球半径，由牛顿第二定律：得：由运行Rvmmg2说明：在地面上的物体及地面附近的物体包括近地轨道的卫星在通常情况下都认为：2RMmGmg发射人造卫星的三大宇宙速度（2）第二宇宙速度（脱离速度）v=11.2km/s如果人造天体的速度大于11.2km/s而小于16.7km/s，则它的运行轨道相对于太阳将是椭圆，太阳就成为该椭圆轨道的一个焦点．这是卫星挣脱地球的引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度．如果大于7.9km/s，而小于11.2km/s，卫星将沿椭圆轨道绕地球运行，地心就成为椭圆轨道的一个焦点．（3）第三宇宙速度（逃逸速度）•这是卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。v3=16.7km/s•如果人造天体具有这样的速度并沿着地球绕太阳的公转方向发射时，就可以摆脱地球和太阳引力的束缚而邀游太空了。注意：不同天体的三个宇宙速度数值大小不同，天体质量越大、半径越小，其三个宇宙速度值就越大。【例题】金星的半径是地球的0.95倍，质量为地球的0.82倍，金星的第一宇宙速度是多大?RMGrMGvrvmrmMG95.082.022金星金星82.095.082.095.095.082.01GmrRGmrGmRGmvv解得V1约等于7.3km/s解:设地球半径为R，金星的半径为r=0.95R，地球质量为M，金星质量=0.82m，地球的第一宇宙速度为7.9km/s。金星的第一宇宙速度为v1，则有：M地地地RGMvRvmRmMG22要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度．若发射速度等于第一宇宙速度，卫星只能“贴着”地面近地运行．如果要使人造卫星在距地面较高的轨道上运行，就必须使发射速度大于第一宇宙速度，即发射速度随着发射高度增加而增大。（1）发射速度：指被发射物在地面附近离开发射装置时的初速度，并且一旦发射后就再无能量补充，被发射物仅依靠自己的初动能克服地球引力上升一定的高度，进入运动轨道。发射速度与运行速度是两个不同的概念2、人造卫星的发射速度和运行速度（2）运行速度：是指卫星在进入运行轨道后绕地球运动时的线速度．当卫星“贴着”地面运行时，运行速度等于第一宇宙速度。根据，人造卫星距地面越高，即轨道半径r越大，运行速度越小，实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，所以卫星的实际运行速度一定小于发射速度。rvＧＭ／＝运（3）人造卫星的发射速度与运行速度之间的大小关