解析几何测试题及答案解析(1)

由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费2013届高三数学章末综合测试题（15）平面解析几何（1）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，则D与E的关系是()A．D＋E＝2B．D＋E＝1C．D＋E＝－1D．D＋E＝－2[来Xkb1.com解析D依题意得，圆心－D2，－E2在直线x＋y＝1上，因此有－D2－E2＝1，即D＋E＝－2.2．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为()A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝8解析B直径的两端点为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3．已知F1、F2是椭圆x24＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为()A．(－2,0)B．(0,1)C．(2,0)D．(0,1)和(0，－1)解析D由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋|PF2|22＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|，即P(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．4．已知椭圆x216＋y225＝1的焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，若连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是()A.165B．3C.163D.253解析A椭圆x216＋y225＝1的焦点分别为F1(0，－3)、F2(0,3)，易得∠F1PF2π2，∴∠PF1F2＝π2或∠PF2F1＝π2，点P到y轴的距离d＝|xp|，又|yp|＝3，x2p16＋y2p25＝1，解得|xP|＝165，故选A.5．若曲线y＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x＋y＋4＝0B．x－4y－4＝0由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费C．4x－y－12＝0D．4x－y－4＝0解析D设切点为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，∴2x0＝4，即x0＝2，∴切点为(2,4)，方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.6．“mn0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析C方程可化为x21m＋y21n＝1，若焦点在y轴上，则1n1m0，即mn0.7．设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.54B．5C.52D.5解析D双曲线的渐近线为y＝±bax，由对称性，只要与一条渐近线有一个公共点即可由y＝x2＋1，y＝bax，得x2－bax＋1＝0.∴Δ＝b2a2－4＝0，即b2＝4a2，∴e＝5.8．P为椭圆x24＋y23＝1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，则PF1→·PF2→＝()A．3B.3C．23D．2解析D∵S△PF1F2＝b2tan60°2＝3×tan30°＝3＝12|PF1→|·|PF2→|·sin60°，∴|PF1→||PF2→|＝4，∴PF1→·PF2→＝4×12＝2.9．设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m0，n0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为()A.x212＋y216＝1B.x216＋y212＝1由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费C.x248＋y264＝1D.x264＋y248＝1解析B抛物线的焦点为(2,0)，∴由题意得c＝2，cm＝12，∴m＝4，n2＝12，∴方程为x216＋y212＝1.10．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A.2B.3C．2D．3解析B设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1，焦点F(－c，0)，将x＝－c代入x2a2－y2b2＝1可得y2＝b4a2，∴|AB|＝2×b2a＝2×2a，∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝ca＝3.11．已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的焦距为()[来新课标第一网A.5B．25C.3D．23解析B∵抛物线y2＝4x的准线x＝－1过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点，∴a＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±bx.∵双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，∴b＝2，∴c＝a2＋b2＝5，∴双曲线的焦距为25.12．已知抛物线y2＝2px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线x2a－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为()A.19B.14C.13D.12解析A由于M(1，m)在抛物线上，∴m2＝2p，而M到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－p2的距离也为5，∴1＋p2＝5，∴p＝8，由此可以求得m＝4，双曲线的左顶点为A(－a，0)，∴kAM＝41＋a，而双曲线的渐近线方程为由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费y＝±xa，根据题意得，41＋a＝1a，∴a＝19.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知直线l1：ax－y＋2a＋1＝0和l2：2x－(a－1)y＋2＝0(a∈R)，则l1⊥l2的充要条件是a＝________.解析l1⊥l2⇔a·2a－1＝－1，解得a＝13.【答案】1314．直线l：y＝k(x＋3)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，|AB|＝22，则实数k＝________.解析∵|AB|＝22，圆O半径为2，∴O到l的距离d＝22－2＝2.即|3k|k2＋1＝2，解得k＝±147.【答案】±14715．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．解析如图，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝5，∴|OM|＝5，|OQ|＝25－5＝25.在△OQM中，12|QA|·|OM|＝12|OQ|·|QM|，∴|AQ|＝25×55＝2，∴|PQ|＝4.【答案】416．在△ABC中，|BC→|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD→|－|CD→|＝22，则顶点A的轨迹方程为________．解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点．则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.∴|AB|－|AC|＝22，∴点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝2，c＝2，∴b＝2，∴方程为x22－y22＝1(x2)．由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费【答案】x22－y22＝1(x2)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在平面直角坐标系中，已知圆心在直线y＝x＋4上，半径为22的圆C经过原点O.(1)求圆C的方程；(2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程．解析(1)设圆心为(a，b)，则b＝a＋4，a2＋b2＝22，解得a＝－2，b＝2，故圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)当斜率不存在时，x＝0，与圆的两个交点为(0,4)，(0,0)，则弦长为4，符合题意；当斜率存在时，设直线为y－2＝kx，则由题意得，8＝4＋－2k1＋k22，无解．综上，直线方程为x＝0.18．(12分)(2011·合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－3，0)和F2(3，0)，且椭圆过点1，－32.(1)求椭圆方程；(2)过点－65，0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．解析(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由c＝3，椭圆过点1，－32可得a2－b2＝3，1a2＋34b2＝1，[新课标第一网解得a2＝4，b2＝1，所以可得椭圆方程为x24＋y2＝1.(2)由题意可设直线MN的方程为：x＝ky－65，联立直线MN和椭圆的方程：x＝ky－65，x24＋y2＝1，化简得(k2＋4)y2－125ky－6425＝0.由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2＝－6425k2＋4，y1＋y2＝12k5k2＋4，又A(－2,0)，则AM→·AN→＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1625＝0，所以∠MAN＝π2.19．(12分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别为7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OP||OM|＝e(e为椭圆离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解析(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知，得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3.∴椭圆方程为x216＋y27＝1.(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x∈[－4,4]，由已知得x2＋y21x2＋y2＝e2，而e＝34，故16(x2＋y21)＝9(x2＋y2)，①由点P在椭圆C上，得y21＝112－7x216，代入①式并化简，得9y2＝112.∴点M的轨迹方程为y＝±473(－4≤x≤4)，∴轨迹是两条平行于x轴的线段．20．(12分)给定抛物线y2＝2x，设A(a,0)，a0，P是抛物线上的一点，且|PA|＝d，试求d的最小值．解析设P(x0，y0)(x0≥0)，则y20＝2x0，∴d＝|PA|＝x0－a2＋y20＝x0－a2＋2x0＝[x0＋1－a]2＋2a－1.∵a0，x0≥0，∴(1)当0a1时，1－a0，此时有x0＝0时，dmin＝1－a2＋2a－1＝a；[新课标第一网由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费(2)当a≥1时，1－a≤0，此时有x0＝a－1时，dmin＝2a－1.21．(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)求△F1MF2的面积．解析(1)∵双曲线离心率e＝2，∴设所求双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，xkb1.comK]则由点(4，－10)在双曲线上，知λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)若点M(3，m)在双曲线上，则32－m2＝6，∴m2＝3，由双曲线x2－y2＝6知F1(23，0)，F2(－23，0)，∴MF1→·MF2→＝(23－3，－m)·(－23－3，－m)＝m2－3＝0，∴MF1→⊥