高中数学人教A版选修1-1课件：3.4 生活中的优化问题举例

-1-3.4生活中的优化问题举例-2-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航目标导航1.了解生活中的优化问题实例.2.会利用导数解决某些实际问题.-3-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航知识梳理1.生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.2.用导数解决优化问题的实质是利用导数求函数的最值.3.解决优化问题的基本思路:-4-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航知识梳理【做一做1】设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时的底面边长为()A.𝑉3B.2𝑉3C.4𝑉3D.2𝑉3解析:设底面边长为x(x0),则表面积S=32𝑥2+43𝑥𝑉.𝑆′=3𝑥2(𝑥3−4𝑉).令S'=0,得x=4V3.答案:C-5-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航知识梳理【做一做2】把长60cm的铁丝围成矩形,当长为cm,宽为cm时,矩形面积最大.解析:设长为xcm,则宽为(30-x)cm,所以面积S=x(30-x)=-x2+30x.由S'=-2x+30=0,得x=15,30-x=15.答案:1515-6-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航重难聚焦1.求解应用问题的方法剖析:解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情景”译为数学语言.要先找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题,再化归为常规问题,最后选择合适的数学方法求解.对于这类问题,我们往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换,从而造成了解决应用问题的最大思维障碍.运算不过关,就得不到正确的答案,对数学思想方法不理解或理解不透彻,则找不到正确的解题思路.在此正需要我们依据问题本身提供的信息,利用所谓的动态思维,去寻求有利于问题解决的新的途径和方法,并从中进行一番选择.-7-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航重难聚焦2.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤剖析:(1)函数建模,细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题,即列出函数关系式y=f(x).(2)确定定义域,一定要从问题的实际意义去考察,舍去没有实际意义的变量的范围.(3)求最值,此处尽量使用导数法求出函数的最值.(4)下结论,紧扣题目,给出圆满的答案.-8-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四面积、容积最大问题【例1】用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接起来(如图).问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?分析:设出容器的高,进而求出容器的长和宽,表示出容积V,然后利用导数求最值.-9-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四解:设容器的高为xcm(0x24),容器的容积为V(x)cm3,则V(x)=x(90-2x)(48-2x)=4x3-276x2+4320x.求V(x)的导数,得V'(x)=12x2-552x+4320=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36),令V'(x)=0,得x1=10,x2=36(舍去).当0x10时,V'(x)0,V(x)为增函数;当10x24时,V'(x)0,V(x)为减函数.因此,在定义域(0,24)内,函数V(x)只有当x=10时取得极大值,也是最大值,其最大值为V(10)=10×(90-20)×(48-20)=19600(cm3).答:当容器的高为10cm时,容器的容积最大,最大容积为19600cm3.-10-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四反思利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和使f'(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;(4)写出实际问题的答案.-11-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使体积最大,则其高应为()A.533cmB.1033cmC.53cmD.2033cm-12-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四解析:设圆锥的高为xcm(0x20),则底面半径为202-𝑥2cm,其体积为V=13π𝑥(202−𝑥2)(cm3),𝑉′=13π(400−3𝑥2).令V'=0,得x1=2033,𝑥2=−2033(舍去).当0x2033时,V'0;当2033𝑥20时,V'0,故当x=2033时,V取最大值.答案:D-13-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四费用(用材)最省问题【例2】某网球中心欲建连成片的网球场数块,用128万元购买土地10000平方米,该中心每块球场的建设面积为1000平方米,球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关,当该中心建球场x块时,每平方米的平均建设费用(单位:元)可近似地用f(x)=8001+15ln𝑥来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和),该网球中心应建几个球场?解:设建成x个球场,则1≤x≤10,每平方米的购地费用为128×1041000𝑥=1280𝑥元,因为每平方米的平均建设费用(单位:元)可近似地用f(x)=8001+15ln𝑥来表示,-14-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四所以每平方米的综合费用为g(x)=f(x)+1280𝑥=800+160lnx+1280𝑥(𝑥0),所以g'(x)=160(𝑥-8)𝑥2(𝑥0).令g'(x)=0,则x=8,当0x8时,g'(x)0,当x8时,g'(x)0,所以x=8时,函数取得极小值,且为最小值.故当建成8个球场时,每平方米的综合费用最省.-15-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四反思注意利用导数的方法解决实际问题时,如果在定义区间内只有一个点使f'(x)=0,且函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道该点的函数值就是最大(小)值.-16-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?-17-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四解:如图,设圆柱的高为h,底面半径为R,则表面积S=2πRh+2πR2,由V=πR2h,得h=𝑉π𝑅2,则S(R)=2π𝑅𝑉π𝑅2+2π𝑅2=2𝑉𝑅+2π𝑅2,令S'(R)=−2𝑉𝑅2+4π𝑅=0,解得R=V2𝜋3,从而h=V𝜋R2=𝑉π𝑉2π32=4𝑉π3=2V2𝜋3,即h=2R.因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值.所以当罐的高与底面直径相等时,所用材料最省.-18-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四利润最大问题【例3】已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为p=25−18𝑞,求产量𝑞为何值时,利润𝐿最大?分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格,由此可得出利润L与产量q的函数关系式,再用导数就可求最大利润.-19-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四解:收入R=q·p=𝑞25-18𝑞=25𝑞−18𝑞2.利润L=R-C=25𝑞-18𝑞2−(100+4𝑞)=−18𝑞2+21𝑞−100(0𝑞200),所以L'=−14𝑞+21.令L'=0,即−14𝑞+21=0,解得q=84.因为当0q84时,L'0;当84q200时,L'0,所以当q=84时,L取得极大值,也是最大值,最大值为782.答:当产量为84时,利润取得最大值782.-20-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四反思解本题的关键是根据题意列出函数关系式,利用导数求最值.这种方法运算量比较小,且适用范围广,具有一般性.-21-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】在一定面积的水域中养殖某种鱼类,每个网箱的产量p是网箱个数x的一次函数,若放置4个网箱,则每个网箱的产量为16吨;若放置7个网箱,则每个网箱的产量为10吨,由于该水域面积限制,最多只能放置10个网箱.(1)试问放置多少个网箱时,总产量Q最高?(2)若该种鱼的市场价为0.25万元/吨,养殖的总成本为(5lnx+1)万元,应放置多少个网箱才能使总收益y最大?解:(1)设p=ax+b,由已知得16=4𝑎+𝑏,10=7𝑎+𝑏,所以𝑎=-2,𝑏=24,-22-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四所以p=-2x+24,所以Q=px=(-2x+24)x=-2(x-6)2+72(x∈N*,x≤10),所以当x=6时,f(x)最大,即放置6个网箱时,可使总产量达到最大.(2)总收益f(x)=(-2x2+24x)×14−(5lnx+1)=−12𝑥2+6𝑥−5lnx-1,所以f'(x)=−(𝑥-1)(𝑥-5)𝑥,当1x5时,f'(x)0,当5x10时,f'(x)0,所以当x=5时,函数取得极大值,也是最大值.所以应放置5个网箱才能使总收益y最大.-23-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点求极(最)值时没考虑定义域而致错【例4】甲、乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过ckm/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(单位:km/h)的平方成正比,比例系数为b(b0);固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(单位:元)表示为速度v(单位:km/h)的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?-24-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四错解:(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为𝑠𝑣,全程运输成本为y=a·𝑠𝑣+𝑏𝑣2·𝑠𝑣=𝑠𝑎𝑣+𝑏𝑣,所求函数及其定义域为y=𝑠𝑎𝑣+𝑏𝑣,𝑣∈(0,c].(2)由题意,s,a,b,v均为正数,由y'=𝑠𝑏-𝑎𝑣2=0,得v=𝑎𝑏,但0v≤c.所以当v=𝑎𝑏时,全程运输成本y最小.-25-知识梳理重难聚焦典例透析目标导航典例透析题型一题型二题型三题型四错因分析:第(2)问中𝑎𝑏与c未进行比较大小而直接得出结论,故错误.正解:(1)正确.(2)①若𝑎𝑏≤c,则当v=𝑎𝑏时,全程运输成本y最小;②若𝑎𝑏𝑐,则v∈(0,c],此时y'0,即y在(0,c]上为减函数.所以当v=c时,y最小.综上可知,为使全程运输成本y最小:当𝑎𝑏≤c时,行驶速度v=𝑎𝑏;当𝑎𝑏𝑐时,行驶速度v=c.