2.2.2椭圆的简单几何性质(3)

一.例5:已知椭圆,直线221259xy:45400lxy椭圆上是否存在一点,它到直线l的距离最小?最小距离是多少?xyomml二.椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法这是求解直线与二次曲线有关问题的通法。∆0∆=0∆0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）练习、已知直线y=x-与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系。2121xyx2+4y2=2解：联立方程组消去y01452xx∆0因为所以，方程（１）有两个根，直线与椭圆相交.那么，相交所得的弦的弦长是多少？-----(1)三.弦长公式：设直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，2221212122121212221||1()41111()4ABkxxkxxxxyyyyyykk,其中k是直线的斜率.则当直线斜率不存在时,12AByy例1:如图,已知斜率为1的直线l过椭圆2214xy的右焦点,交椭圆于A,B两点,求弦AB的长.85AB答案:BAoFP1222yx2121，P例2已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．．．．Pk2121xky解：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得0232122212222kkxkkxk由韦达定理得22212122kkkxx121xx21k∵是弦中点，∴．故得所以所求直线方程为0342yx23210.,xexyPQOPOQ例、已知椭圆的焦点在轴上，离心率，直线与此椭圆交于两点，求此椭圆的标准方程。1432232yx答案：例4.中心在原点一个焦点为的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程．23xy21)50,0(1F分析：根据题意可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用中点公式求得弦的中点的横坐标，最后解关于的方程组即可．,ab解：设所求椭圆的方程为由得①把直线方程代入椭圆方程，整理得设弦的两个端点为，，则由根与系数的关系得又中点的横坐标为．由此得12222aybx)50,0(F5022ba222222(9)12(4)0abxbxba),(11yxA),(22yxB22221912babxx21223ba解①、②得：.故所求的椭圆方程为:1257522xy②四.练习：1.直线y=x+1与椭圆恒有公共点,求m的取值范围。1522myx2.直线y=kx+1与椭圆恒有公共点,求m的取值范围。1522myx51110mm且即可。），代入椭圆方程左边，直线恒过点（（m0且m≠5）01yx3.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线交于A,B两点，M为AB的中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．1222yax101222yaxyx021222xaxa222112aaxxxM2111axyMM4112axykMMOM42a1422yx解：由题意，设椭圆方程为由，得∴∴