华东师范大学《数学分析》与《高等代数》考研真题(1997年-2013年)

1华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：数学分析一、（12分）设()fx是区间I上的连续函数.证明：若()fx为一一映射，则()fx在区间I上严格单调.二、（12分）设1,()0xDxx⎧=⎨⎩为有理数，为无理数证明：若()fx，()()Dxfx在点0x=处都可导，且(0)0f=，则'(0)0.f=2三、（16分）考察函数()lnfxxx=的凸性，并由此证明不等式：2()(0,0).ababababab+≥四、（16分）设级数1nnan∞=∑收敛，试就1nnd∞=∑为正项级数和一般项级数两种情况分别证明1nnann∞=+∑也收敛.3五、（20分）设方程(,)0Fxy=满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数()yfx=，又设(,)Fxy具有连续的二阶偏导数.1)求()fx′′；2)若0000(,)0,()Fxyyfx==为()fx的一个极值.试证明：i)当00(,)yFxy与00(,)xxFxy同号时，0()fx为极大值；ii)当00(,)yFxy与00(,)xxFxy异号时，0()fx为极小值.3)对方程2227xxyy++=，在隐函数形式下（不解出y）求()yfx=的极值，并用2)的结论判别极大或极小值.4六、（12分）改变累次积分4204842(4)xxxIdxydy−−=−∫∫的积分次序，并求其值.七、（12分）计算曲面积分222(coscoscos)sIxyzdsαβγ=++∫∫其中s为锥面22zxy=+上介于0zh≤≤的一块，{}cos,cos,cosαβγ为s的下侧法向的方向余弦.5华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：高等代数一、（10分）计算下列行列式：11222221122111112211...1(1)(1)...(1)(1)(1)...(1)(1)(1)...(1)nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxx−−−−−−−−−−−−⋮⋮⋮.6二、（15分）设5200200000520022A−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠，求正交矩阵T，使'1TATTAT−=为对角形矩阵，并写出这个对角形矩阵.三、(15分)设200201Aabc⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠是复矩阵.1)求出A的一切可能的Jordan标准形；2)给出A可对角化的一个充要条件.7四、(15分)已知3阶实数矩阵()ijAa=满足条件(,1,2,3)ijijaAij==，其中ijA是ija的代数余子式，且331a=−，求：1)A2)方程组123001xAxx⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠的解.五、（15分）证明：一个非零复数α是某一有理系数非零多项式的根的充要条件是存在一个有理系数多项式()fx使得1().fαα=8六、（15分）设A是n阶反对称阵.证明：1)当n为奇数时0A=.当n为偶数时A是一实数的完全平方;2)A的秩为偶数.七、（15分）设V是有限维欧氏空间.内积记为(,)αβ.又A设是V的一个正交变换。记{1|Vα=A},Vααα=∈,{2Vα=−A}|Vαα∈.求证：1)12,VV是v的子空间;2)12.VVV=⊕9八、（15分）设n阶实数方阵A的特征值全是实数且A的所有1阶主子式之和为0，2阶主子式之和也为0.求证：0.nA=九、（15分）设A，B均是正定矩阵，证明：1)方程0ABλ−=的根均大于0；2)方程0ABλ−=所有根等于1⇔.AB=10华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：数学分析一、简答题（20分）1)用定义验证：22323lim212nnnn→∞+=++.2)已知2cos,0()ln(1),0xxfxxx⎧=⎨+≥⎩，求().fx′3)计算不定积分32.1xdxx+∫11二、（12分）设()fx有连续的二阶导函数，且()2fπ=，0[()()]sin5fxfxxdxπ′′+=∫，求(0).f三、（20分）1)已知1nna∞=∑为发散的一般项级数，试证明11(1)nnan∞=+∑也是发散级数；2)证明：112sin3nnnx∞=∑在(0,)+∞上处处收敛，而不一致收敛.12四、（12分）设2222:Dxyzt++≤，222()()DFtfxyzdxdydz=++∫∫∫，其中f为连续函数，(1)1f=.证明：(1)4.Fπ′=五、（12分）设D为由两抛物线21yx=−与21yx=−+所围成的闭域.试在D内求一椭圆，22221,xyab+=使其面积为最大.13六、（12分）设(,)uxy有连续二阶偏导数，(,)Fut有连续一阶偏导数，且满足(,)0xyFuu′′=，22()()0stFF′′+≠.证明：2()0.xxyyxyuuu′′′′′′−=七、（12分）设()fx为(,)−∞+∞的周期函数，其周期可小于任意小的正数.证明：若()fx在(,)−∞+∞上连续，则()fx≡常数.14华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：高等代数一、（10分）计算下列行列式:13131322222...2223333...336...nnnnnnnnnnnnnn−−−−−−−−−−−−−⋮⋮⋮⋮.二、(10分)证明：方程组111122121122221122...0...0(1)...............0nnnnsssnnaxaxaxaxaxaxaxaxax+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩⋯的解全是方程1122...0(2)nnbxbxbx+++=⋯的解的充分必要条件是：12(,...,)nbbbβ=可由向量组12,...,sααα线性表示，其中12(,,...,)(1,2,...,).iiiinisαααα==15三、（15分）设32()fxxaxbxc=+++是整系数多项式，证明：若acbc+为奇数，则()fx在有理数域上不可约.四、（15分）设A是非奇异实对称矩阵，B是反对称实方阵.且ABBA=.证明：AB+必是非奇异的.五、（15分）A为n阶方阵，()||fEAλλ=−是A的特征多项式.并令'()(),((),())fgffλλλλ=（'()fλ称为()fλ的一阶微商）.证明：A与一个对角矩阵相似的充要条件是()0.gA=16六、（15分）假设σ是n维欧氏空间V的线性变换，τ是同一空间V的变换.且对,,Vαβ∀∈有(,)(,).σαβατβ=证明：1)τ是线性变换,2)σ的核等于τ的值域的正交补.七、（15分）证明：任意方阵可表为两个对称方阵之积，其中一个是非奇异的。17八、（15分）设()fx为数域P上多项式，且有12()()(),fxfxfx=⋅12((),())1.fxfx=又设V为P上n维线性空间.σ为V的一个线性变换.K为()fσ的核，1W为1()fσ的核，2W为2()fσ的核.证明：12.KWW=⊕九、（15分）设abi+是n阶实方阵A的任一特征值.,ab是实数.若AA′+的n个特征值是12,,...,nµµµ.证明：必有11minmax22iiiiaµµ≤≤（A′是A的转置矩阵）。18华东师范大学1999年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：数学分析一、设0a，10xa，1(2)nnnxxxa+=−，nN∈.证明：{}nx收敛，并求其极限.二、证明：若函数f在区间I上处处连续，且为一一映射，则f在I上为严格单调.19三、用条件极值的方法证明不等式：22221212......nnxxxxxxnn++++++⎛⎞≥⎜⎟⎝⎠，(0,1,2,...,).kxkn=四、设()fx在(,)a+∞上可导，且lim()xfx→+∞′=+∞.证明:()fx在(,)a+∞上不一致连续.20五、设()fx在[,]ab上二阶可导，且()0fx≥，()0fx′′.证明：2()()bafxftdtba≤−∫，[],.xab∈六、设(,)fxy在[,][,]Dabcd=×上有二阶连续偏导数.1)通过计算验证：(,)(,)xyyxDDfxydxdyfxydxdy′′′′=∫∫∫∫；2)利用1)证明：(,)(,)xyyxfxyfxy′′′′=，(,).xyD∈21七、设对每个,()nnfx在[,]ab上有界，且当n→∞时，()()nfxfx⇒，[],.xab∈证明：1）()fx在[,]ab上有界；2)limsup()sup()suplim().nnnnaxbaxbaxbfxfxfx→∞→∞≤≤≤≤≤≤==八、设2000,(,)SRPxy⊂为S的内点，111(,)Pxy为S的外点.证明：直线段01PP至少与S的边界S∂有一个交点.22华东师范大学1999年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：高等代数一、（15分）计算下列行列式:123210232101341012105432014321nnnnnnnnnnnnnn−−−−−−−−−−−−−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.二、（15分）设p是一个素数，多项式12()...1.ppfxxxx−−=++++证明：()fx在有理数域上不可约.23三、（15分）设11111xAxyy⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠与000010002B⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠相似，（1）求,xy的值,（2）求一个正交矩阵T，使1'TATTATB−==.四、（15分）设A是实矩阵，A′是A的转置矩阵，求证：（1）AA′与A的秩相等，（2）当A是满秩时，AA′是正定的.五、（20分）设A是n阶方阵，证明：（1）n的特征多项式()fx与A的最小多项式()mx的根相同,（2）若A的特征根互异，则()()mxfx=.24六、（20分）设V是数域F上任一线性空间，σ是V上一个线性变换，[]Fx是数域F上一元多项式的集合.证明：设()dx是(),()fxgx的最大公因式，(),()[],fxgxFx∈则ker()ker()ker(),dfgσσσ=∩(其中kerσ是σ的核).七、（20分）设n维欧氏空间V的线性变换A满足A3+A0=.证明：A的迹（即A在V的某一基下对应矩阵的迹数）等于零.25华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：数学分析一、（24分）计算题：1)011lim()ln(1)xxx→−+2)32cossin1xxdxcosx×+∫3)设(,)zzxy=是由方程222(,)0Fxyzxyz++=,所确定的可微隐函数，试求.gradz26二、（14分）证明：1)111nn+⎧⎫⎪⎪⎛⎞+⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎪⎪⎩⎭为递增数列；2)111ln(1)1nnn++，1,2,n=⋯三．（12分）设f在[,]ab中任意两点之间都具有介值性，而且f在(,)ab内可导，|()|fxK′≤（正常数）,(,).xab∈证明f在点a右连续，点b左连续.27四、（14分）设()1201.nnIxdx=−∫证明：1)1221nnnIIn−=+，2,3,n=⋯；2)23nIn≥，1,2,3,n=⋯五、（12分）设S为一旋转曲面，由平面光滑曲线{0(),[,]zyfxxab==∈(()0)fx≥绕x轴旋转而成.试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S的面积公式为22()1().baAfxfxdxπ′=+∫（提示：据空间解析几何知道S的方程为222()yzfx+=）28六、（24分）级数问题：1)设sin,0()1,0xxfxxx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩.求()(0).kf2)设1nnna=∑收敛，lim0nnna→∞=.证明：111()nnnnnnnnaaa+==−=∑∑.3)设{()}nfx为[,]ab上的连续函数序列，且()(),[,]nfxfxxab⇒∈证明：若()fx在[,]ab上无零点，则当n充分大时()nfx在[,]ab上也无零点，并有[]11,,.()()nxabfxfx⇒∈29华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：高等代数一、（15分）已知下列非齐次线性方程组(1)(2)、(1)1241234123264133xxxxxxxxxx+−=−⎧⎪−−−=⎨⎪−−=⎩(2)123423434521121xmxxxnxxxxxt+−−=−⎧⎪−−=−⎨⎪−=−+⎩1）求解方程组(1),用其导出组的基