振动力学(梁的横向振动)

弹性体的振动振动力学------弹性体的振动弹性体的振动梁的横向振动仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。弹性体的振动1、运动微分方程在梁的主平面上取坐标xoz，原点位于梁的左端截面的形心，x轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振动过程中，轴线上任一点的位移u(x,t)均沿z轴方向。弹性体的振动取微段梁dx，截面上的弯矩与剪力为M和Q，其正负号的规定和材料力学一样。22QuQQdxfdxAdxxt则微段梁dx沿z方向的运动方程为：弹性体的振动即22QuAfxt利用材料力学中的关系MQx22uMEIx222222uuEIAfxxt得到梁的弯曲振动方程弹性体的振动边界条件和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例)。（1）固定端：挠度和转角为0，即0(,)(0,)0,0xuxtutx弹性体的振动（2）简支端：挠度和弯矩为0，即220(,)(0,)0,0xuxtutEIx（3）自由端：弯矩和剪力为0，即222200(,)(,)0,0xxuxtuxtEIEIxxx其它边界条件用类似的方法给出。弹性体的振动2、梁弯曲自由振动的解令振动方程中的干扰力为0，得到222222uuEIAxxt对于均匀梁，振动方程为其中422420uuaxtEIaA弹性体的振动假定有分离变量形式的解存在，令(,)()()uxtxqtΦ代入方程得到2222222()()()()dxdqtaqtxxdxdtΦΦ写为22222222()()()()dxdqtxdxdtaxqtΦΦ弹性体的振动则有222()()0dqtqtdt444()()dxxdxΦΦ其中242a（称为特征方程）弹性体的振动方程的通解为56()sincosqtCtCt1234()sincosshchxCxCxCxCxΦ由特征方程，利用边界条件即可求出振型函数F(x)和频率方程，进一步确定系统的固有频率wi。用四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。弹性体的振动【例1】求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。220(0)0,0xddxΦΦ22()0,0xldldxΦΦ1234()sincosshchxCxCxCxCx代入特征方程的解22122234()sincosshchxCxCxCxCxΦ以及解：边界条件为挠度和弯矩为0。弹性体的振动240,CC得到2213sinsh0ClCl以及224()0CC则240CC13sinsh0ClCl则30C以及频率方程sin0l由此解得,(1,2)iiil弹性体的振动所以固有频率振型为()()sinsiniiixCxCxlΦ2222,(1,2)iiiEIailA第i阶振型有i－1个节点。节点坐标kixkl即,(1,21)kklxiki212EIlA2224EIlA2329EIlA弹性体的振动【例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。(0)0,(0)0ΦΦ()0,()0llΦΦ代入特征方程的解得到240,CC以及13()0CC1234sincosshch0ClClClCl1243cossinshch0ClClClCl解：边界条件为挠度和转角为0，即弹性体的振动化简后得到频率方程cosch1ll求得31CC241sinshchcsllCCClol求出后得到固有频率22,(1,2)iiiEIaiA弹性体的振动振型为1234()sincosshchxCxCxCxCxΦ1111sinshsincoschcossinsinhshchchcosllCxCxllllCxCxllsinshsinsh(cosch)chcosllCxxxxll弹性体的振动【例3】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的均匀梁弯曲振动的频率方程。(0)0,(0)0ΦΦ解：左端的边界条件为挠度和转角为0弹性体的振动(0)0,(0)0ΦΦ解：左端的边界条件为挠度和转角为0弹性体的振动右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力()0lΦ33()xldMdQEIqqkldxdxΦΦ弹性体的振动1234()sincosshchxCxCxCxCxΦ代入特征方程的解以及22122234()sincosshchxCxCxCxCxΦ1243()cossinshchxCxCxCxCxΦ()0lΦ33()xldMdQEIqqkldxdxΦΦ弹性体的振动进一步化简后得到频率方程3chcos1chsincosshkllEIllll求出后得到固有频率22,(1,2)iiiEIaiA振型为1234()sincosshchxCxCxCxCxΦsinshsinsh(cosch)chcosllCxxxxll弹性体的振动33123334()cossinchshxCxCxCxCxΦ240,CC将边界条件代入得到13()0CC1234sincosshch0ClClClCl33331234(cossinchsh)EIClClClCl1234(sincosshch)kClClClCl求得31CC241sinshchcosllCCCll弹性体的振动讨论：（1）k＝0时，频率方程变为chcos10ll即为悬臂梁的情况。（2）k趋于无穷大时，频率方程变为chsincossh0llll或tanthll即为左端固定，右端简支的情况。弹性体的振动【思考题】证明图示悬臂梁在x＝l处的边界条件为：202(,)(,)xlxluxtuxtEIkxx33(,)(,)xluxtEIkultx弹性体的振动关于振型函数的正交性和一维波动方程振型函数的正交性类似。第i阶特征值满足22222()()()()iiidxdEIxAxxdxdxΦΦ弹性体的振动考虑边界条件为简支、自由、固定的情况，梁端点的位移、弯矩或剪力为0，则对第j阶振型进行上面类似的运算得：22220lijddEIdxdxdx22220ljiddEIdxdxdx20liijAdx22220ljiddEIdxdxdx22220ljiddEIdxdxdx20ljijAdx弹性体的振动用j左乘上式两端，并积分22220222200lijlliijjddEIdxdxdxddddEIEIdxdxdxdxdx22220022220lljiijljiddddEIEIdxdxdxdxddEIdxdxdx弹性体的振动上两式相减得则220()0lijijAdx00()lijAdxiji＝j时0liiiAdxM2222222200lliiiiidddEIdxEIdxMdxdxdx弹性体的振动梁在激励力作用下的响应和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应()1(,)()()iiiuxtqtxΦ1.标准坐标（正则坐标）对振型函数按下式条件正则化01liiiAdxM弹性体的振动2.对初始激励的响应设初始条件为00(,)()tuxtuxt0(,0)()uxux将其按标准振型展开001(,0)()iiiuxuxqΦ001(,0)()iiiuxuxqΦ弹性体的振动用Aj左乘上两式，并积分得标准坐标下的初始激励响应00001(,0)llijiiiiqAdxqAuxdxΦΦΦ00001(,0)llijiiiiqAdxqAuxdxΦΦΦ00()cossiniiiiiiqqtqtt弹性体的振动物理坐标下的响应001(,)()cossiniiiiiiiquxtxqttΦ弹性体的振动响应求解步骤：（1）根据边界条件求解固有频率和固有振型;（2）利用标准化条件确定振型中的常数因子;（3）将初始条件变换到标准坐标;（4）求标准坐标下的响应;（5）求物理坐标下的响应。弹性体的振动【例4】长为l的均匀简支梁初始静止，设在x＝x1处的微段d上有初始速度v，求系统对此初始条件的响应。解：（1）固有频率与相应的固有振型为2iiEIlA()siniiixxClΦ（2）由正规化条件确定系数Ci0sinsin1liiixixCACdxll01liiAdxΦΦ弹性体的振动求得2iCAl2()siniixxAllΦ所以（3）初始条件。按题意110(,0)0,220tvxxxuuxt弹性体的振动变换到主坐标下1100022()2sinliixxqAuxdxixAvdxAllΦ000()0liiqAuxdxΦ1122sinsin22sinixAlivlillixAvll00()cossiniiiiiiqqtqtt弹性体的振动3.对外激励的响应（1）分布干扰力设干扰力密度为f(x,t),和前面杆的外激励受迫振动响应推动方法一样。利用标准化振型函数Fi，得到标准坐标下的解耦方程20(,)liiiiqqfxydxΦ利用杜哈美积分得001(,)sin[()]ltiiiiqfxtddxΦ弹性体的振动（4）响应1(,)()()iiiuxtqtxΦ1121sinsinsiniiiixvixtlll0012cossinsiniiiiiiqixqttAll总响应为001(,)(,)sin[()]ltiiiiiuxtfxtddxΦΦ弹性体的振动（2）集中力设在x＝x1处受集中力F(t),这时可以用函数表示为分布形式：F(x,t)dx(x-x1),方程变为2110(,)()()()liiiiiqqFxtxxdxxFtΦΦ总响应为101()()(,)()sin[()]tiiiiixxuxtFtdΦΦ弹性体的振动（3）集中力偶（不推导，只给出结果）设在x＝x1处受集中力M(t),这时有10()()sin()tiiiixqMtdΦ总响应为101()()(,)()sin[()]tiiiiixxuxtMtdΦΦ弹性体的振动强迫振动的响应求解步骤：（1）根据边界条件求解固有频率和固有振型;（2）利用正规化条件确定振型中的常数因子;（3）求主坐标下的响应;（4）求广义坐标下的响应。弹性体的振动解：（1）固有频率与相应的固有振型为2iiEIlA()sini