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第二章一元二次方程花边有多宽(1)学习目标:1、经历抽象一元二次方程概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。2、会识别一元二次方程及各部分名称。一,自主探究活动内容:问题一:一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图,它的长为8m,宽为5m.地毯中央长方形图案的面积为18m2。根据这一情境,结合已知量你想求哪些量?你能根据条件列出关于这个量的什么关系式?问题二:你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗?得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么?根据猜想继续找五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。问题三:如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米?二,总结归纳活动内容:归纳一元二次方程的概念:结合上面三个问题得到的三个方程,观察它们的共同点,得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。8m一元二次方程概念:含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程。经过整理后,一个一元二次方程可化简为ax2+bx+c=0(a≠0),即它的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)。应从两方面理解一元二次方程的一般形式:(1)若ax2+bx+c=0是一元二次方程,则有a≠0;(2)若a≠0(b、c可以为零),则ax2+bx+c=0是一元二次方程。判断一个方程是不是一元二次方程,满足三个条件:①含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;②必须是整式方程;③二次项系数不能为零。简而言之是指经化简后,若符合ax2+bx+c=0(a≠0),则为一元二次方程,否则不是。三,学以致用活动内容:1、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.2.从前有一天,一个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺,另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程.易错易混点1.下列关于x的方程:(1)ax2+bx+c=0;(2)532aa;(3)0322xx;(4)0223xxx中,一元二次方程的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个2.判断方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是关于x的一元二次方程。(1)一变:若方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x的一元二次方程,则m应满足_________。(2)二变:若方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x的一元一次方程,则m的值为__________。3.m为何值时,关于x的方程023112mxxmm是一元二次方程?四,课堂小练【基础训练】(100分)1、一元二次方程的一般形式是_________________(a,b,c为常数,a≠0)二次项系数、一次项系数、常数项分别是_____,______,______.2、填表方程二次项系数一次项系数常数项3x2=5x-1(x+2)(x-1)=64-7x2=03、请在一元二次方程的后面打“√”(1)7x2-6x=0()(2)2x2-5xy+6y=0()(3)2x2-x31-1=0()(4)x2+2x-3=1+x2()4、如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米?(只列方程)5.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图,它的长为8m,宽为5m.如果地毯中央长方形图案的面积为18m2,则花边多宽?(只列方程)五,反思总结活动内容:让学生通过本节课的学习,自己归纳本节的知识要点,学会了什么?还有哪些困惑?课后练习:1.下列方程是关于x的一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0B.k2x+5k+6=0C.02142333xxD.(m2+3)x2+2x-2=02.若下列方程是关于x的一元二次方程,求出m的取值范围。(1)51122xmxm;(2)0327124mxxmm3.某城市2003年底已有绿化面积300公顷,经过两年绿化,绿化面积逐年增加,到2005年底增加到363公顷,设绿化面积平均每年的增长率为x,由题意,所列方程正确的是()A.300(1+x)=363B.300(1+x)2=363C.300(1+2x)=363D.363(1-x)2=3004.某种产品,原来每件产品成本是700元,由于连续两次降价,现在成本为448元,如果每次降低成本的百分数相同,求每次降低成本百分之多少?若设每次降低成本的百分数为x,则第一次降低成本后的成本为___________,第二次降低成本后的成本为____________,这样可列方程得__________________。5.已知:直角三角形的周长为62,斜边上的中线长为1,试求这个直角三角形的面积。6.如图Y2—01①所示,用一块长80cm,宽60cm的薄钢片,在四个角上截去四个相同的小正方形,然后做成如图Y2—01②所示的底面积为1500cm2的没盖的长方体盒子。想一想:应怎样求出截去的小正方形的边长?若设小正方形的边长为xcm,那么这个盒子的底部的长及宽分别为_______________cm和________cm,根据题意,可得方程__________________整理成一般形式得________________。Y2—01第二章一元二次方程花边有多宽(2)学习目标:1、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型,继续深化对一元二次方程的认识。2、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程,促进学生对方程解的理解,发展学生的估算意识和能力。一,复习回顾活动内容:在上一节课中,我们得到了如下的两个一元二次方程:182x52x8,即:0111322xx;2221076x,即:01512xx2。发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。上一节课的两个问题是否已经得以完全解决?你能求出各方程中的x吗?二,情境引入活动内容:1、有一根外带有塑料皮长为100m的电线,不知什么原因中间有一处不通,现给你一只万用表(能测量是否通)进行检查,你怎样快速的找到这一处断裂处?与同伴进行交流。2、在前一节课的问题中,我们若设地毯花边的宽为x(m),得到方程:182x52x8,即:0111322xx;(1)x可能小于0吗?说说你的理由.(2)x可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由,并与同伴进行交流.(3)完成下表:x00.511.522.52x2-13x+11(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?还有其他求解方法吗?与同伴进行交流.三,做一做活动内容:上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程,即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程2221076x,把这个方程化为一般形式为01512xx2(1)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?(2)小明认为底端也滑动了1m,他的说法正确吗?为什么?(3)底端滑动的距离可能是2m吗?可能是3m吗?为什么?(4)x的整数部分是几?十分位是几?四,练习提高活动内容:五个连续整数,前三个数的平方和等于后两个数的平方。您能求出这五个整数分别是多少吗?【基础训练】(100分)1、把下列一元二次方程化为一般形式1)4(2xx_____________________,(x-2)2=5______________________,2、方程012322xx的二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A、2、23、1;B、2、3、1;C、2、21、1;D、2、23、3、082,0105,1,5)2)(1(42222xxxyxxx中,一元二次方程的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个4、观察下列等式:73452331210122222222、、、,用含自然数n的等式表示这种规律为5、从前有一天,一个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺,另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程.【探究提高】(20分)6.一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必需在踞水面5m以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员踞水面的高度h(m)满足关系:h=10+2.5t-5t2.那么他最多有多长时间完成规定动作.五,课堂小结活动内容:互相交流总结探索解一元二次方程的基本思路和关键,以及在求解(或近似解)时应注意的问题。学习自评1.下列方程中是一元二次方程的是()①ax2=bx;②312232xx;③0122xx;④0212xx;⑤112yy;⑥8132xxxA.①②④⑥B.②C.①②③④⑤⑥D.②③2.某学校计划在一块长8米,宽6米的矩形草坪的中央划出面积为16平方米的矩形地块栽花,使矩形四周的草地的宽度都一样,求四周草地的宽度应为多少?设矩形四周留下草地的宽为x米,根据题意下列方程不正确的是()A.48-(16x+12x-4x2)=16B.16x+2x(6-2x)=32C.(8-x)(6-x)=16D.(8-2x)(6-2x)=163.若关于x的一元二次方程01122axxa的一个根是0,则a的值为()A.1B.-1C.1或-1D.214.某地2004年外贸收入为2.5亿元,2006年外贸收入达到了4亿元,若平均每年的增长率为x,则可列出方程为()A.2.5(1+x)2=4B.(2.5+x%)2=4C.2.5(1+x)(1+2x)=4D.2.5(1+x%)2=45.若关于x的方程0322xxmm是一元二次方程,则m=_______________。6.方程x2-2x-1=0的近似解是__________________.(结果精确到十分位)7.当x_______时,代数式x2-4x+3的值等于0.8.某高新技术生产的生产总值,两年内由50万元增加到75万元。若每年产值的增长率相同,设增长率为x,则可列方程为_____________。9.已知a≠0,a≠b,且x=1是方程ax2+bx-10=0的一个解,则baba2222的值是____________。10.已知:方程04326422mxmxm,当m_________时,它是一元二次方程,当m________时,它是一元一次方程。11.一口井直径为1.5米,用一根竹竿直插入井底,竹竿高出井口半米,如果把竹竿斜插入井口,竹竿刚好与井口平。(如图Y2—02所示)求竹竿的长度,设竹竿长x米,则井深为___________米,可列方程为___________________。12.已知x=1是关于x的方程x2-ax+1=0的根,化简:226912aaaa。13.一个长方形的周长是30cm,面积是54cm2,求这个长方形的长和宽。14.在宽20m,长32m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路。把耕地分成大小相等的六块试验地,要使试验地总面积变为570m2,那么道路的宽应为多少米?Y2—02Y2—03第二章一元二次方程配方法(1)学习目标:1、会用开方法解形如nmx2)()0(n的方程,理解配方法,会用配方法解二次项系数为1,一次项系数为偶数的一元二次方程;2、经历列方程解决实际问题的过程,体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型,增强学生的数学应用意识和能力;一,复习回顾活动内容:1、如果一个数的平方等于4,则这个数是,若一个数的平方等于7,则这个数是。一个正数有几个平方根,它们具有怎样的关系?2、用字母表示完全平方公式。3、用估
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