matlab 函数的极值与优化

《高等数学》—上机教学（四）函数的极值与优化上机目的上机内容MATLAB2、会使用Matlab解决无约束最优化问题.上机软件1、会使用Matlab求函数的极值；1、Matlab中函数的输入与调用；2、函数极值的求法；3、无约束最优化问题.在Matlab中，函数是采用M文件的方式存储的。具体步骤如下：1、新建一个M文件：通过点击主窗口左上的新建按钮。2、输入函数内容：例：函数f(x1,x2)=exp(X1^2+X2)应在M文件中输入如下：一、自变量为数量形式的函数的输入第一节Matlab中函数的输入与调用注意：（1）、函数标识关键字：function（2）、函数名：f1=f1自变量:(x1,x2)（3）、函数表达式：a=exp(x1^2+x2)函数表达式可以由多个式子组成。（4）、给函数结果赋值：f1=a3、存储函数：点击编辑窗口的保存按钮。注意:不要改变保存路径，文件名称必须和函数名称一致。4、函数的调用：函数保存后，在命令窗口中即可调用该函数。如求上述函数在x1=1,x2=2处的函数值，即可在命令窗口中输入：f1(1,2)其中f1为刚才所输入的函数名。二、自变量为向量形式函数的输入例：函数f(x)=exp(x(1)^2+x(2)).其中x=(x(1),x(2)),即x为一个二维向量。此时的输入与调用方式与数量时不同。1、输入：2、调用：此时自变量为向量，调用格式为：f2([1,2])或x=[12];f2(x)即，自变量需采用向量形式输入。3、实际运行结果如下：f2([1,2])ans=20.0855x=[1,2];f2(x)ans=20.0855Matlab中，求一元函数极值的函数为fminbnd1、此函数最简输入格式为：x=fminbnd(f,a,b)含义为：求函数f在区间[a,b]上的最小值点(自变量值).2、对于最大值问题，需转化为最小值问题来处理。(-f(x)在区间[a,b]上的最小值就是f(x)在[a,b]的最大值）第二节函数极值的求法一、一元函数极值的求法3、常用格式[x,fval]=fminbnd(f,a,b).结果中，fval为最小值，x为取到最小值的点。例：Matlab命令：[x,fval]=fminbnd('x.^2+3*x+1',-2,3)含义是：求函数f(x)=x^2+3*x+1在[-2,3]内的最小值。结果为x=-1.5000fval=-1.2500注：此时函数很简单，故没有使用M文件。多元函数的最小值问题，在Matlab中有2个经常使用的函数：1、fminsearch2、fminunc注意：（1）、在使用这两个函数时，必须首先用M文件的形式存储待求最值的函数，并且需以向量函数的形式表达；（2）、最大值问题需转化为最小值问题。二、多元函数极值的求法（1）、此函数使用单纯型法搜索最值；（2）、使用格式：[x,fval]=fminsearch(@f,x0)其中f为待求最值的向量函数，x0为搜索过程开始时自变量的初始值。例：fminsearch(@f,[1,2])含义为：在x=[1,2]附近搜寻函数f的最小值。1、fminsearch例：求函数f(x,y)=-(x+y)+(x^2+y^2+1)在x=1,y=2附近的最小值点。解决步骤：1、建立M文件，保存函数f；M文件内容为：functionf1=f1(x)a=-(x(1)+x(2));b=(x(1)^2+x(2)^2+1);f1=a+b;2、调用fminsearch函数求最值.在命令窗口中，输入：x0=[1,2];[x,fval]=fminsearch(@f1,x0)3、输出结果为：X=0.50000.5000fval=0.5000（1）、此函数与fminsearch不同的地方在于使用的搜索方法不同，它使用牛顿法搜索最值，在效率上有所提高；（2）、使用格式与fminsearch类似：[x,fval]=fminunc(@f,x0)其中f为待求最值的向量函数，x0为搜索过程开始时自变量的初始值。例：fminunc(@f,[1,2])含义为：在x=[1,2]附近搜寻函数f的最小值。2、fminunc第三节无约束最优化问题求解无约束最优化问题的的基本思想*Matlab优化工具箱简介XfnEXmin其中1:EEfn标准形式：一、求解无约束最优化问题的基本思想求解的基本思想(以二元函数为例)1x2x)(21xxf01x2x05310X1X2X)(0Xf)(1Xf)(2Xf连续可微XfnEXmax=][minXfnEX多局部极小298.0f0f298.0f唯一极小(全局极小)2122212121322)(xxxxxxxxf搜索过程21221221)1()(100)(minxxxxxf最优点(11)初始点(-11)1x2xf-114.00-0.790.583.39-0.530.232.60-0.180.001.500.09-0.030.980.370.110.470.590.330.200.800.630.050.950.900.0030.990.991E-40.9990.9981E-50.99970.99981E-8二、用Matlab解无约束优化问题（举例说明）1.一元函数无约束优化问题:minf（x）21xxx其中（3）、（4）、（5）的等式右边可选用（1）或（2）的等式右边。函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解。常用格式如下：（1）x=fminbnd(fun,x1,x2)（2）x=fminbnd(fun,x1,x2，options)（3）[x，fval]=fminbnd（...）（4）[x，fval，exitflag]=fminbnd（...）（5）[x，fval，exitflag，output]=fminbnd（...）运行结果：xmin=3.9270ymin=-0.0279xmax=0.7854ymax=0.6448例1求f=2xexsin在0x8中的最小值与最大值解在matlab命令窗口中输入：f='2*exp(-x).*sin(x)';fplot(f,[0,8]);%作图语句[xmin,ymin]=fminbnd(f,0,8)f1='-2*exp(-x).*sin(x)';[xmax,ymax]=fminbnd(f1,0,8)例2对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？设剪去的正方形的边长为x，则水槽的容积为：2(32)xx建立无约束优化模型为：miny=-2(32)xx，0x1.5解先编写M文件fun0.m如下:functionf=fun0(x)f=-(3-2*x).^2*x;主程序为：[x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5);xmax=xfmax=-fval运算结果为:xmax=0.5000,fmax=2.0000.即剪掉的正方形的边长为0.5米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米.命令格式为:（1）x=fminunc（fun,X0）；或x=fminsearch（fun,X0）（2）x=fminunc（fun,X0，options）；或x=fminsearch（fun,X0，options）（3）[x，fval]=fminunc（...）；或[x，fval]=fminsearch（...）（4）[x，fval，exitflag]=fminunc（...）；或[x，fval，exitflag]=fminsearch（5）[x，fval，exitflag，output]=fminunc（...）；或[x，fval，exitflag，output]=fminsearch（...）2、多元函数无约束优化问题标准型为：minF(X)[3]fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法，由options中参数LineSearchType控制：LineSearchType=’quadcubic’(缺省值)，混合的二次和三次多项式插值；LineSearchType=’cubicpoly’，三次多项式插•使用fminunc和fminsearch可能会得到局部最优解.说明:•fminsearch是用单纯形法寻优.fminunc的算法见以下几点说明：[1]fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。由options中的参数LargeScale控制：LargeScale=’on’(默认值),使用大型算法LargeScale=’off’(默认值),使用中型算法[2]fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法，由options中的参数HessUpdate控制：HessUpdate=’bfgs’（默认值），拟牛顿法的BFGS公式；HessUpdate=’dfp’，拟牛顿法的DFP公式；HessUpdate=’steepdesc’，最速下降法例3minf(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1)1、编写M-文件fun1.m:functionf=fun1(x)f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);2、输入命令窗口中输入:x0=[-1,1];x=fminunc('fun1',x0);y=fun1(x)3、运行结果:x=0.5000-1.0000y=1.3029e-10例4产销量的最佳安排某厂生产一种产品有甲、乙两个牌号，讨论在产销平衡的情况下如何确定各自的产量，使总利润最大.所谓产销平衡指工厂的产量等于市场上的销量.1、符号说明z(x1,x2)表示总利润；p1，q1，x1分别表示甲的价格、成本、销量；p2，q2，x2分别表示乙的价格、成本、销量；aij，bi，λi,ci（i，j=1，2）是待定系数.2、基本假设（1）．价格与销量成线性关系利润既取决于销量和价格，也依赖于产量和成本。按照市场规律，甲的价格p1会随其销量x1的增长而降低，同时乙的销量x2的增长也会使甲的价格有稍微的下降，可以简单地假设价格与销量成线性关系，即：p1=b1-a11x1-a12x2，b1，a11，a120，且a11a12；同理，p2=b2-a21x1-a22x2，b2，a21，a220，且a22a21.（2）．成本与产量成负指数关系甲的成本随其产量的增长而降低,且有一个渐进值,可以假设为负指数关系,即:0,,,11111111crcerqx同理，0,,,22222222crcerqx3、模型建立若根据大量的统计数据,求出系数b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20,r2=100,λ2=0.02,c2=30,则问题转化为无约束优化问题：求甲,乙两个牌号的产量x1，x2，使总利润z最大.为简化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,问题转化为求:z1=(b1-a11x1)x1+(b2-a22x2)x2的极值.显然其解为x1=b1/2a11=50,x2=b2/2a22=70,我们把它作为原问题的初始值.总利润为：z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x24、模型求解（1）.建立M-文件fun.m:functionf=fun(x)y1=((100-x(1)-0.1*x(2))-(30*exp(-0.015*x(1))+20))*x(1);y2=((280-0.2*x(1)-2*x(2))-(100*exp(-0.02*x(2))+30))*x(2);f=-y1-y2;（2）.输入命令:x0=[50,70];x=fminunc('fun',x0),z=fun(x)（3）.计算结果:x=23.902562.4977z=-6.4135e+003即甲的产量为23.9025,乙的产量为62.4977,最大利润为6413.5.1、求函