73第8章 ( 8.6-8.7)相量及相量分析法

1第8章相量及相量分析法8.6、8.7重点：学习使用傅氏级数进行谐波分析掌握非正弦周期电流电路的计算方法正弦交流电路中的谐振分析理解滤波概念和滤波器原理2一.非正弦信号1.定义:电路中的电压电流变量随时间不是按正弦规律变化时统称为非正弦信号。2.种类:非周期性周期性[i(t)=i(t+T)/u(t)=u(t+T)](“信号与系统”中研究)例:电子技术中常用的非正弦周期信号---微分脉冲电流、方波电压、锯齿波电压、全波整流电压和半波整流电压等。非正弦周期信号在工程实际中更具有其普遍的研究意义(由于发电设备的限制即使工程中用的正弦量也只能是近似的)。8.68.6非正弦周期稳态电路的分析非正弦周期稳态电路的分析8.6.1非正弦周期波形的傅里叶级数展开(谐波分析)3例2示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波例1半波整流电路的输出信号4脉冲电路中的脉冲信号Tt例35交直流共存电路Es+V例4+Ucc6二.非正弦电路1.定义:电路中的变量(电压、电流）呈现非正弦情况时，称此电路为非正弦电路。2.种类:①正弦激励下的非线性电路②非正弦激励下的非线性电路③非正弦激励下的线性电路+－t0ωt0ω+－ui0tuo0t+－ui0tuo0t7三.周期函数分解为傅里叶级数(谐波分析)1.数学分析设非正弦周期函数f(t)=f(t+kT),k=0，±1，±2，…当f(t)满足狄里赫利条件时，即①f(t)在一周期内连续or有有限多个第一类间断点;②f(t)在一周期内有有限多个极大值与极小值)；③f(t)绝对可积。则f(t)可展成收敛的傅里叶级数：)cos()sincos()sincos()sincos()sincos(kkmkkkkkktkAAtkbtkaAtkbtkatbtatbtaAtf10102211022形式1形式28kkkkkmkTkTkTabbaAkdttktfTbkdttktfTatdtfTAarctan,)sin()()cos()()(22000001011求出各系数便可得到原函数f(t)的两种展开式。傅里叶系数的计算：Amkakbkφk9傅里叶级数展开式的第二种形式为：)cos()cos()cos()cos(kkkmkkmmmtkIItkItItIIti102211022.物理意义：一个非正弦周期电流可以分解成一个直流分量和多个与ω1成整数倍的不同频率的正弦交流电流。3.工程术语：I0直流分量（恒定直流、恒定分量）)cos(kkmtkIk次谐波（谐波分量）)cos(11tIm基波分量（和原函数同频）k≥2时称为高次谐波谐波合成实例10周期性方波信号的分解例1解图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：TtTTtItiS2020)(mtT/2TmI)(tiSis(t)的展开式为：)5sin513sin31(sin22tttIIimmS11ttt基波直流分量三次谐波五次谐波七次谐波周期性方波波形分解12基波直流分量直流分量+基波三次谐波直流分量+基波+三次谐波13)5sin513sin31(sin22tttIIimmStT/2T等效电源IS01si3si5sisimIIS01si3si5si各次谐波的叠加（取前四项）14)5sin513sin31(sin22tttIIimmStT/2TIS01si3si5sisimI753Akm0矩形波的频谱图154.有效值和平均值根据周期量有效值的定义,为其方均根值:dttiTIT20][1dttuTUT20][1)cos(110kkkmtkIItidttkIITIkkkmT21100)]cos([122221201220kkkIIIIIII有效值1622221201220kkkUUUUUUU同理有：结论:非正弦周期电流（电压）的有效值，等于它的直流分量的平方与各次谐波的有效值的平方和的平方根。例1.tUtUUttUummmm11112cos32cos2)2cos31cos421(2t0ωu的有效值。求经过半波整流后电压值设正弦交流电压的最大,2202VUm解：取傅里叶级数展开式的前三项：VUUUUUUUMMM2.1553221221222222120则有：17平均值定义（以电流为例）：非正弦周期电流的平均值为其绝对值的平均值。即：dtiTITav01IIIdttITIMMTmav637.0898.02cos10为例：正弦电流的平均值磁电系仪表：恒定分量（直流分量）电磁系仪表：有效值全波整流仪表：平均值18理论依据理论依据::傅里叶级数傅里叶级数++叠加定理叠加定理++相量法相量法（适用于一个非正弦周期激励的电路）（适用于一个非正弦周期激励的电路）理论依据理论依据::傅里叶级数傅里叶级数++叠加定理叠加定理++相量法相量法（适用于一个非正弦周期激励的电路）（适用于一个非正弦周期激励的电路）计算步骤:1.求所给定的非正弦激励源的傅里叶级数(查表),根据准确度要求取若干项。2.分别求出激励的直流分量和各次谐波分量单独作用时的响应。画各分电路图注意点:①直流分量激励下，C开路，L短路；②各次谐波分量激励下，电抗值不同XLk=kωLXCk=1/kωC3.将直流分量和各次谐波分量的瞬时响应叠加求和。titiIti210注意：210IIII8.6.2求解非正弦周期稳态电路的响应理论依据理论依据::叠加定理叠加定理++相量法相量法（适用于多频正弦稳态电路）（适用于多频正弦稳态电路）理论依据理论依据::叠加定理叠加定理++相量法相量法（适用于多频正弦稳态电路）（适用于多频正弦稳态电路）19R+－U0IR(0)IC(0)IL(0)例1.已知:u=200+200sinωt+100sin2ωtR=50Ω,ωL=20Ω,1/ωC=40Ω求：iR,iC,iL,电流表、电压表读数。解：⑴对直流分量：RCA+－uiRiCiLVLIR(0)=U0/R=200/50=4AIC(0)=0IL(0)=IR(0)=4AUL(0)=0⑵对基波分量：+－VU0220011RI1LI1CIR1CZ1LZ4011jCjZC201jLjZL2040502040204050//111jjjjjZZRZLC+－VU0220011RI1LI1CIR1CZ1LZAjZUIR7.3821.2405002/200111AjjjCjLjLjIIRC3.14121.24020207.3821.2111AjjjCjLjCjIIRL7.3842.44020407.3821.21111VjZIULLL3.514.88207.3842.411121⑶对二次谐波：+－VU0210022RI2LI2CIR2CZ2LZ20212jCjZC4022jLjZL40504020402050//222jjjjjZZRZLCAjZUIR7.3811.1405002/100222AjjjCjLjLjIIRC7.3822.22040407.3811.1212222AjjjCjLjCjIIRL3.14111.12040207.3811.1212212222VjZIULLL3.514.44403.14111.1222AtttitiItiRRRR7.382sin211.17.38sin221.24210AtttitiItiCCCC7.382sin222.23.141sin221.2210AtttitiItiLLLL3.1412sin211.17.38sin242.44210AAIIIRRR7.411.121.24222222120VVUUULLL9.984.444.88022222212023例2方波信号激励的电路。求u,已知：STICLRm28.6A157pF1000mH120、、、μtT/2TSimIRLCuSi解（1）已知方波信号的展开式为：)5sin513sin31(sin22tttIIimmSsTAImμ28.6,μ157代入已知数据：24直流分量A5.78215720μIImA10014.357.1221mmII基波最大值μA205115mmII五次谐波最大值rad/s101028.614.32266T角频率三次谐波最大值AIImm3.333113A5.780SI电流源各频率的谐波分量为：A10sin10061tisA103sin310063tisA105sin510065tis25mV57.1105.7820600SRIU（2）对各种频率的谐波分量单独计算：（a)直流分量IS0作用RIS0U0电容断路，电感短路:A5.780SI（b)基波作用tis6110sin100k11010k110100010113611261LCRLCuSikRCLRXXXXjRjXjXRZCLCLCL50)()()()(1XLR26KΩ50)(1ZmV2500050210100(6111）ZIUA10sin10061μtis(c)三次谐波作用tis63103sin310003333119.895.374)())(()3(CLCLXXjRjXjXRZΩk.31010333301010001031313611261LKC0613319.895.3742103.33)3(ZIUSmV2.89247.12027(d)五次谐波作用A105sin510065tis53.893.208)5())(()5(55551CLCLXXjRjXjXRZΩk)ΩK(.5101055201010001051513611261LCmV53.892166.453.893.20821020)5(6155ZIUs28(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：mV).sin(.).sin(.sin.5389516642893471250005715310tttuuuUumV57.10UmV2.89247.123UmV250001UmV53.892166.45U29例3求Uab及i。I+–60j20+–1Uab2UVttutVu)303cos(2100cos2220cos2220021已知解一次谐波作用时：VU