高等数学(乙)历年真题(2000-2013年)

中国科学院大学2013年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（乙）考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。一、选择题(本题满分40分，每小题5分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。)（1）下列极限中不为0的是（）。（A）lim!nnen（B）11limsinln(1)nnnn（C）1limarctannnn（D）sinlimnnn（2）24sec2tanlim1cos4xxxx=（）。（A）0（B）12（C）1（D）2（3）以下关于函数261(3)xyx的叙述正确的是（）。（A）函数图像有唯一渐近线（B）函数在(3,3)上是单调减的（C）函数图像没有拐点（D）32是函数最大值（4）设L是由曲线1(01)yxx，1(10)yxx和0(11)yx依次连接构成的曲线，方向为逆时针。则曲线积分22()2Lxydxxydy（）。（A）0（B）23（C）43（D）83科目名称：高等数学（乙）第1页共3页（5）设函数21(),(1,1)nnxfxxn，则'()fx（）。（A）221xx（B）221xx（C）221xx（D）221xx（6）设()fx是定义在整个实轴R上的连续函数，下列说法正确的是（）。（A）若()fx是一个偶函数，则它的原函数是一个奇函数（B）若()fx是一个奇函数，则它的原函数是一个偶函数（C）若()fx是一个周期函数，则它的原函数也是一个周期函数（D）若()fx是一个单调函数，则它的原函数也是一个单调函数（7）设D是2R上包含原点的一个区域，(,)fxy是定义在D上的连续函数。如果极限222001(,)lim1(,)xyxyfxyxyfxy存在且有限，则(0,0)f（）。(A)-1(B)0(C)1(D)2（8）过点(0,1,0)，并且与(1,0,0)，(1,1,0)，(1,0,2)所确定的平面垂直的直线是（）。（A）111xyz（B）1101xyz（C）1111xyz（D）1101xyz二、(本题满分10分)设函数()fx在[,]ab上存在二阶导数，连接点(,())Aafa与点(,())Bbfb的线段与曲线(,())xfx相交于点(,())Ccfc，这里acb。证明：在(,)ab上存在一点，满足''()0f。三、(本题满分10分)设函数((,,),(,,))ufsxyztxyz，其中(,,)sxyzxyz，222(,,)txyzxyz，并且函数(,)fst存在二阶连续偏导数。证明：22222222234()4()622222uuuffffxyzxyzsttxyzst。科目名称：高等数学（乙）第2页共3页四、(本题满分10分)求函数22(,)4fxyxxyy在圆域221xy上的最大值和最小值。五、(本题满分10分)设()fx是[,]ab上连续的单调非减函数。证明：对[,],cab()()2ccaaacxfxdxfxdx。六、(本题满分10分)计算球面2221xyz被圆柱面2214xy所截部分（即在圆柱面内部的部分）的面积。七、(本题满分10分)计算线积分||LIxyds，L是221yx在0y和2y之间的部分。八、(本题满分10分)求解常微分方程22(3)20yxdyxydx。九、(本题满分10分)设()fx是定义在实数R上以2为基本周期的周期函数，且在(0,2)上，()2xfx，应用函数()fx的Fourier级数展开证明：1111143579=。十、(本题满分10分)设函数3()ln(2)ln(1),(1,2)1fttttt。证明：对xR，都存在唯一的(1,2)t，使得()ftx。十一、(本题满分10分)设函数()fx在[0,2]上存在二阶连续导数，且满足：''()cos'()fxxfx，'()fx在[0,2]上的最大值为2，(0)0f。求()fx。十二、(本题满分10分)设222{(,)|1}DxyxyR，(,)fxy是D上的连续函数，并且在\{(0,0)}D上存在连续的一阶偏导数。又设12(,),(,)gxygxy是D上的连续函数，且满足在\{(0,0)}D上，12,ffggxy。证明：120,00,0(0,0),(0,0)xyxyffggxy。科目名称：高等数学（乙）第3页共3页中国科学院长春光机所2004年高等数学（乙）一、（本题共5小题，每小题5分，共25分。每小题的答案直接写在答卷纸上并标明题号，不需计算过程）。1、求)211(23limxxxXx.2、求11111dxedxdx.3、设xxf2sin)(,求)()(xfn.4、求曲面0)1ln(23zyexz在点（1,2,0）处的法线方程.5、设xdtttxf11ln)(,求)1()(xfxf.二、（本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题有(A)、(B)、(C)、(D)四个答案代号，只有一个是正确的，将所选你认为是正确的答案代号写在答卷纸上，并标明题号）。1、函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在点(0,0)处为(A)连续，且偏导数存在；(B)连续，但偏导数不存在；(C)不连续，但偏导数存在；(D)不连续且偏导数不存在。2、xxxcos1lim0的值为(A)0；(B)1；(C)2；(D)不存在.3、设为一长方体：0≤x≤a，0≤y≤b，0≤z≤c，则积分dxdydzzyx)(3222的值为(A)333cba；(B))(cbaabc；(C))(222cbaabc；(D))(333cbaabc.4、设f(x)在[0,1]上二次可微且f(0)=0，)0(f0，则函数xxfxF)()(在[0,1]上为(A)单调增加；(B)单调减少；(C)有极值；(D)常数.三、（本题共3小题，每小题9分，共27分）1、设,sin,sincos,coscoszyx求xz与yz.2、计算曲线积分：AByydyxexdxxe)()12(2其中AB为由点A（1,0）到B(2,0)的某一曲线弧，已知它与直线段AB所包围的面积等于5。3、设xdttarctgttxf121)(,求10)(dxxf.四、（本题共2小题，每小题9分，共18分）1、证明下列不等式：2≤ppxx)1()1(≤p2.其中1≤x≤1，P12、设f(x)在[a,b]上连续且f(x)0，xaxbdttfdttfxF)(1)()(，试证明（1）)(xF≥2；（2）方程)(xF=0在[ab]内有且仅有一个实根。五、（本题12分）计算曲面积分:Sdxdyzdzdxydydzx222其中S为圆锥面22yxz(0≤z≤h)指向外侧。六、（本题12分）求幂级数1121nnnXn的收敛区间，并求其和函数S(x)。七、（本题12分）设f(x)二阶可导，满足xxdttftxxexf0)()()(，求此函数f(x)。八、（本题12分）求函数32zxyu在平面x+y+z=1上的极值。九、（本题12分）设f(x)是以2为周期的周期连续函数，具有的傅立叶（Fourier）系数为ao,an,bn(n=1,2,…).试证明：(1)函数dttfhxFhxhx)(21)(也是以2为周期的周期函数；(2)F(x)的傅立叶系数为nnnnbnhnhBanhnhAaAsin,sin,oo(n=1,2,…).