2016年全国大学生数学建模竞赛获奖论文

1基于数据拟合方法的电池剩余放电时间的研究摘要本文针对电池剩余放电时间预测的问题，通过对附件一的数据进行综合分析，首先建立标准对数据进行预处理排除异常点，见表1，再借助MATLAB软件，对数据进行拟合和插值处理，基于建立的模型对数据进行预测，并用MRE方法对模型求解结果进行检验。针对问题1，本文用多项式函数和高斯函数两种函数分别对数据进行拟合，通过两个函数的拟合精度对比，见表2，本文采用了较优的多项式函数拟合。本文使用MATLAB拟合出在每个不同电流强度下的电池电压随放电时间变化的多项式函数表达式，见表3；然后，利用EXCEL筛选出在低压段和电压差符合小于0.005V要求的231个样本点，利用MATLAB拟合插值计算出样本点的预测电压值，基于MRE方法使用EXCEL编制函数计算得出样本点的平均相对误差平均值，每种放电曲线的平均相对误差平均值在3%左右，详情见表5、表5及附录二。最后，将电压值作为自变量，把时间作为因变量，使用MATLAB拟合插值得到9.8V和9V电压所预测的时间，再利用MRE方法对剩余时间预测结果的误差进行计算，得到误差平均值为12.81%，详细数据见表7。针对问题2：要做到给任一恒定电流就可以得到该电流放电的曲线及数据。因此本文先将题目中的电流强度与放电总时间进行拟合，得到任一电流强度在任一电压点的总放电时间.为进一步优化拟合，在此引进比例分电压点的概念，即在待求电流强度的电压点已知下，首先求出待求电压点的总放电时间，将总放电时间分成10段，建立条件语句，按照利用待求电压点在同一时刻的相邻两个已知电压点的放电时间上占的比例，建立数学模型，基于模型利用MATLAB编程可计算出每个时刻所求电流对应的电压值。根据程序预测最低保护电压与实际最低保护电压计算两者之间的误差1，然后利用Excel表求出电压误差1的平均误差为1.48%。最后，基于问题2中的模型，利用MATLAB得出电流55A时的数据见附录四，并画出其对应的图像，见图10。针对问题3：本文采用横向对比，纵向预测的方法，用其他三种衰减状态中数据与缺失数据衰减3分别作差，将得到的差值进行拟合和插值预测，再将其他三种衰减状态中数据依次减去拟合差值得到缺失数据的拟合值，再将这三组数据取平均解出最后需要的衰减状态3的数据。通过检验发现，横向作差纵向拟合处理后所得数据较好。关键词：数据拟合，插值预测，比例分电压点，异常点排除，MATLAB2一问题的重述在法国人普兰特于1859年发明铅酸蓄电池，已经历了近150年，铅酸电池在理论研究发面，在产品种类、品种、电气性等方面都得到了长足的进步，不论在交通、电力、工业、军事、日常生活等各个领域中，铅酸电池都起到了不可缺少的重要作用。本题要求铅酸电池在以恒定电流强度放电过程中，电压随放电时间单调下降，直到额定的最低保护电压（Um，本题中为9V）。从充满电开始放电，电压随时间变化的关系称为放电曲线。电池在当前负荷下还能供电多长时间（即以当前电流强度放电到Um的剩余放电时间）是使用中必须回答的问题。根据电池因较长时间使用或放置，充满电后的荷电状态会发生衰减的特性，讨论下列问题：1.附件1是同一生产批次电池出厂时以不同电流强度放电测试的完整放电曲线的采样数据。请根据数据用初等函数表示各放电曲线，并分别给出各放电曲线的平均相对误差。如果在新电池使用中，分别以30A、40A、50A、60A和70A电流强度放电，测得电压都为9.8伏时，根据你获得的模型，电池的剩余放电时间分别是多少？2.试建立以20A到100A之间任一恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模型，并用MRE评估模型的精度。用表格和图形给出电流强度为55A时的放电曲线。3.附件2是同一电池在不同衰减状态下以同一电流强度从充满电开始放电的记录数据。试预测附件2中电池衰减状态3的剩余放电时间。二问题的分析2.1数据的预处理：异常点排除首先对数据的分析，运用MATLAB对20A至100A的每种电流强度放电测试数据进行散点图描绘，（见图1）。图1各个电流强度下的散点图通过对图1的观测可明显发现每种电流强度放电测试数据的开始几分钟中都存在“电压陡降”的现象。为了便于对数据整体的拟合和分析，首先建立异常点的评判和排3除标准。异常点判定标准：在同一种电流强度放电情况下，计算每两分钟的电压差，再对电压差求平均值，将所得数据中电压差大于电压差值平均值10倍以上的电压点，判定为异常点，并将其排除。从而减小蓄电池因自身特性的原因而影响对蓄电池容量使用的预测，确保拟合效果更好。判定为异常点被排除的数据，见表1.表1排除的异常点电流（A）/电压（V）放电时间（min）20A30A40A50A60A70A80A90A100A011.178111.051411.065011.082111.104311.124311.153611.186411.2179210.891310.717910.642110.565010.508610.425710.3736410.741910.617110.552110.4793610.6288810.55811010.5181再运用MATLAB对去除异常点的数据进行散点图的描绘（见图2），此后数据分析处理，都采用排除异常点后的数据进行分析计算。图2去除异常点的各个电流强度下的散点图2.2问题的分析2.2.1问题一的分析首先作出数据的散点图，判断使用多项式拟合与高斯拟合试用此散点图。对经过预处理的数据进行这两种拟合，对比2R数值，确立使用多项式二次函数拟合效果较好。从而利用MTALAB解出各拟合函数方程，得出第一小问各放电曲线的初等函数.4第二小问首先利用EXCEL筛选出231个电压样本点，采取相对误差是绝对误差与实际数据的比值的方法，求出231个相对误差，取平均即为MRE.第三小问是建立在第一小问的基础上，将数值9.8V带入初等函数模型，求出在30A，40A，50A，60A，70A的电流强度下电池的剩余放电时间.2.2.2问题二的分析问题二要建立适用于任一电流强度在任一时刻的的放电时间，但题中所给数据只有几个特殊的电流强度，因此利用这些数据来建立任意时刻的模型，就是要建立起任意时刻都能找到与已有数据的关系，文中引进比例分电压点来建立起这个联系，较好的解决了不能实现任意时刻的放电时间的计算，并且与现有数据始终相关，拟合数据偏差较小.2.2.3问题三的分析对于问题三直接使用衰减状态3的数据会导致拟合效果不达要求，由于新电池状态、衰减1状态和衰减2状态使用二次函数拟合效果较好，题目所给是同一电池，因此衰减状态三应也是与前三个状态变化相似，所以利用前三个状态的与衰减状态3现有数据来作差，进行拟合，补全缺失数据的差值，将补全的差值进行还原，得到衰减状态3的缺失数据，并用MATLAB进行四种状态的拟合，结果发现效果较好,三模型的假设假设1：采样数据都为真实数据.假设2：使用电池都为常规铅酸电池，并且状态正常.假设3：不考虑极板对电池的影响假设4：不考虑环境湿度、温度对电池的影响假设5：电池以恒流放电过程中不出现故障假设6：同一批次电池性能相同假设7：不考虑循环寿命对电池的影响四名词解释和符号说明4.1名词解释(1)电压陡降：铅酸电池在放电时，端电压出现瞬间下降，接着电压回升到一定阶段，电压又开始缓慢下降。业内人员称为“电压陡降”.(2)异常电压点（异常点）：电压大于电压差值平均值10倍的电压值(3)电压差值：（前一时间的电压）（后一时间的电压）前后VV-的绝对值。(4)电压差值平均值：根据电压差值所得的平均数。(5)相对误差：绝对误差与测量值或多次测量的平均值的比值。(6)平均相对误差：相对误差的平均值，即平均相对误差绝对值表示。4.2符号说明5符号名称iX数据样本放电时间iXˆ函数拟合放电时间n231个电压样本点ie相对误差MRE平均相对误差预测预测数据的剩余时间实际实际数据的剩余时间预测剩余时间与实际剩余时间的误差)(tPII电流强度在t时刻的电压值I电流强度'I。''II所处区间的两个端点总t放电总时间五模型的建立与求解5.1问题一模型的建立与求解5.1.1问题一第一小问的建立与求解根据附件一对每列数据进行分析，本文发现当铅酸电池放电过程开始时，铅酸电池端电压出现瞬间下降，接着开始回升，当回升到一定阶段后，又开始缓慢（平稳）下降。即电压陡降复升现象。经查阅相关资料知该现象为电池特性，因该现象为电池特性，故本文主要对电压缓慢下降曲线进行数据拟合。通过对问题数据的分析，本文采取两种方式拟合，即二次多项式拟合和高斯函数拟合，选取其中拟合度高的拟合方式，确定初等函数表达式。求解思路转化为流程图的形式，见图3：6图3第一小问求解思路图5.1.1.1多项式函数与高斯函数拟合对比运用MATLAB工具箱对在电流强度为20A的数据进行多项式函数和高斯函数的拟合，得到两个拟合图像如图4所示：多项式函数拟合的图像高斯函数拟合的图像图4两种函数的拟合图像根据观察20A电流情况下两种拟合函数的放电图像，发现两种函数的放电图像无明显差别，无法看出哪种函数的拟合效果好，所以本文用两种函数拟合的拟合精度进行比较，见表2：表2拟合函数的拟合精度表电流强度（A）多项式函数拟合精度（2R）高斯函数拟合精度（2R）200.99190.9846300.98860.9863400.98940.98597500.98850.9832600.98930.9818700.98870.9776800.98980.9746900.99020.96911000.99140.9637由表2可得多项式函数拟合的精度要高于高斯函数拟合精度，并且多少，因此本文选用多项式函数拟合来求出各放电曲线的初等函数。5.1.1.2问题一第一小问多项式函数拟合根据上述两种拟合函数之间比较的结果，本文运用MATLAB工具箱对各电流强度下的电压与时间的数据进行多项式函数拟合，拟合MATLAB程序见附录一，图像见图5。图5各电流强度拟合图像然后得到以放电时间作为自变量，电压为因变量的各放电曲线的初等函数表达式，见表2：表3所得初等函数表达式电流强度（Ａ）初等函数表达式2056.1010556.710262.7528xxy3058.100001682.010475.127xxy4053.100001648.010344.327xxy5048.100001763.010725.527xxy6044.100001957.010007.927xxy7038.100001524.010401.126xxy88034.100001744.010925.126xxy9031.100001659.010685.226xxy10028.100002591.010365.326xxy5.1.2问题一第二小问的建立与求解5.1.2.1第二小问的模型的建立第二小问要求各放电曲线的平均相对误差。为此本文用Excel表中求出每个电流强度中相邻时刻的电压差值，从中筛选出电压差值小于或等于0.005V的电压点，然后从低电压段到高电压段依次选出各个电流强度下的231个电压样本点。在计算MRE数值时，选取100A电流强度的231个电压样本点会出现不够231个数据的情况，在计算中，依然直接选用了符合筛选条件的179个数据，虽然拟合效果出现偏差，但由于前8个电压强度的样本点数据完整，此处并不会影响整体拟合效果。本文将100A的样本点仍然按照二次函数拟合的方法进行拟合。由于题目要求的MRE值是时间的差值，基于此本文将电压作为自变量，放电时间作为因变量，建立拟合函数（见表3）。表4拟合函数电流强度（Ａ）模型拟合函数表达式201138002607014462xxy3068540158802.8872xxy4056170128107092xxy5049280111305.6122xxy604155093682.5152xxy703680082