利用三角形全等测距离(含答案)

5.6利用三角形全等测距离A卷：基础题一、选择题1．如图1所示，将两根弯曲的钢条的中点O连在一起，使它们可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边图1图2图3图4图52．如图2所示，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量AB=9cm，则容器的内径A′B′为（）A．8cmB．9cmC．10cmD．11cm3．如图3所示，已知∠1=∠2，∠C=∠D，AC=3，BC=2，则AD+BD等于（）A．3B．4C．6D．54．如图4所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100m，则A，B两点间的距离（）A．大于100mB．等于100mC．小于100mD．无法确定5．如图5所示，∠BAC=90°，AB=AC，过点A任意作一直线DE，且作CE⊥ED，BD⊥ED，经测量CE=2cm，BD=4cm，则DE的长为（）A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm二、填空题6．如图5-6-6所示，P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，则PD与PE的大小关系是_______．图6图7图8图97．如图7所示，△ABC≌△DEF，AD=10cm，BE=6cm，则AE的长为______．8．如图8所示，AB∥CD，E，F是BD上的两点，且AE∥CF，BF=DE，AE=5cm，则CF=____．9．如图9所示，已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，BD=7cm，则CE=______．三、解答题10．如图，已知AB∥DE，EF∥BC，AF=DC，试问AB与DE有什么数量关系？为什么？11．如图，要测量水池宽AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，再从点C观测，在BA的延长线上测得一点D，使∠ACD=∠ACB，这时量得的AD的长度就是水池宽AB的长度，试说明理由．B卷：提高题一、七彩题1．（一题多解题）如图所示，在池塘岸边A，B两处各有一棵柳树，试设计测量A，B间的距离的方案，并说明理由．2．（一题多变题）如图所示，已知AC=AD，∠CAB=∠DAB．试说明点B到点C，D的距离相等．（1）一变：如图所示，若点E，F分别是BC，BD边上的中点，其他条件不变，AE和AF相等吗？为什么？（2）二变：如图所示，若点M，N分别在AC，AD上，且BM平分∠ABC，BN平分∠ABD，其他条件不变，BM和BN相等吗？试说明理由．二、知识交叉题3．（科内交叉题）如图所示，在正方形ABCD中，E是正方形的边AD上一点，F是边BA延长线上一点，并且AF=AE，已知△ABE≌△ADF．判断图中BE与DF之间的关系，并试说明理由．4．（科内交叉题）如图所示，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两个建筑物在太阳光下的影子BC与B′C′一样长，那么两建筑物AB与A′B′是否一样高？说明理由．三、实际应用题5．如图所示，要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再过点D作出BF的垂线DE，使A，C，E在同一条直线上，此时测得AD的长度就是A，B两点之间的距离，试说明其中的道理．四、经典中考题6．（2007，武汉，6分）你一定玩过跷跷板吧!如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA′，BB′有何数量关系？为什么？7．（2008，苏州，6分）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4．试说明：（1）△ABC≌△ADC；（2）BO=DO．参考答案A卷一、1．A点拨：由AO=A′O′，∠AOB=∠A′OB′，BO=B′O，可知△OAB≌△OA′B′（SAS）．2．B点拨：由A′O=AO，∠A′OB′=∠AOB，B′O=BO，可知△OA′B′≌△OAB，所以A′B′=AB=9cm．3．D点拨：由∠1=∠2，∠C=∠D，AB=AB，可知△ABC≌△ABD，所以AC=AD，BC=BD，所以AD+BD=AC+BC=3+2=5．4．B点拨：因为AC=DB，AO=DO，所以AC-AO=DB-DO，即OC=OB．在△AOB和△DOC中，AO=DO，∠AOB=∠DOC，OB=OC，所以△AOB≌△DOC，所以AB=DC=100m．5．C点拨：因为BD⊥ED，CE⊥ED，所以∠D=∠E=90°，又因为∠BAC=90°，∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°，所以∠DAB+∠CAE=90°，在△ACE中，∠CAE+∠E+∠ACE=180°，所以∠CAE+∠ACE=90°，所以∠DAB=∠ACE．在△ABD和△CAE中，∠D=∠E，∠DAB=∠ECA，AB=AC，所以△ABD≌△CAE（AAS），所以DA=EC，BD=AE，所以DE=DA+AE=EC+BD=2+4=6（cm）．二、6．PD=PE点拨：因为OC平分∠AOB，所以∠AOC=∠BOC，因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠ODP=∠OEP=90°，在△ODP和△OEP中，∠AOC=∠BOC，∠ODP=∠OEP，OP=OP，所以△ODP≌△OEP（AAS），所以PD=PE．7．2cm点拨：因为△ABC≌△DEF，所以AB=DE，所以AB-EB=DE-EB，即AE=DB，所以AE=12（AD-BE）=12（10-6）=2（cm）．8．5cm点拨：因为AB∥CD，所以∠ABD=∠CDB，又因为AE∥CF，所以∠AEF=∠CFE，所以∠AEB=∠CFD（等角的补角相等），又因为BF=DE，所以BF-EF=DE-EF，即BE=DF．在△ABE和△CDF中，∠ABD=∠CDB，BE=DF，∠AEB=∠CFD，所以△ABE≌△CDF（ASA），所以AE=FC，又因为AE=5cm，所以CF=5cm．9．7cm点拨：因为∠BAC=∠DAE，所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，所以△BAD≌△CAE（SAS），所以BD=CE，又因为BD=7cm，所以CE=7cm．三、10．解：AB=DE理由：因为AB∥DE，所以∠A=∠D，又因为EF∥BC，所以∠EFC=∠BCF．又因为AF=DC，所以AF+FC=DC+FC，即AC=DE．在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AC=DF，∠BCA=∠EFD，所以△ABC≌△DEF（ASA），所以AB=DE．点拨：通过判定△ABC≌△DEF来说明AB=DE．11．解：理由如下：因为AC⊥AB，所以∠BAC=∠DAC=90°，在△ABC和△ADC中，∠BAC=∠DAC，AC=AC，∠ACB=∠ACD，所以△ABC≌△ADC（ASA），所以AB=AD．点拨：通过判定△ABC≌△ADC来说明AD的长度就是水池宽AB的长度．B卷一、1．解法一：在池塘外找一点C，使C点能直接到达A，B两点．如图所示，连接AC并延长AC到A′，使A′C=AC．连接BC并延长BC到B′，使B′C=BC，则A′，B′之间的距离A′B′就是A，B之间的距离．理由：在△ABC和△A′B′C′中，AC=A′C，∠ACB=∠A′CB′，BC=B′C，所以△ABC≌△A′B′C（SAS），所以AB=A′B′（全等三角形对应边相等）．解法二：如图所示．在AB的垂线上，取C，D两点，使BC=CD，过D点作BD的垂线DF，在DF上找一点E，使A，C，E三点在一条直线上，则测量DE的长度就是AB的长度．理由：在△ABC和△EDC中，∠ABC=∠EDC=90°，BC=DC，∠ACB=∠ECD，所以△ABC≌△EDC（ASA），所以AB=DE（全等三角形对应边相等）．点拨：解法一根据SAS构造全等三角形，解法二中根据ASA构造全等三角形．2．解：在△ABC和△ABD中，因为AC=AD，∠CAB=∠DAB，AB=AB，所以△ABC≌△ABD（SAS），所以BC=BD，即点B到点C，D的距离相等．（1）相等．理由：由△ABC≌△ABD，得∠C=∠D，BC=DB，又点E，F分别是BC，BD的中点，所以CE=DF．在△ACE和△ADF中，AC=AD，∠C=∠D，CE=DF，所以△ACE≌△ADF（SAS），所以AE=AF．（2）相等．理由：由△ABC≌△ABD，得∠ABC=∠ABD，又BM平分∠ABC，BN平分∠ABD，所以∠ABM=∠ABN，在△ABM和△ABN中，∠CAB=∠DAB，AB=AB，∠ABM=∠ABN，所以△ABM≌△ABN（ASA），所以BM=BN．点拨：从不同角度培养学生灵活运用全等三角形解决问题的能力．二、3．解：线段BE与DF之间的关系为BE=DF，且BE⊥DF．理由：延长BE交DF于点G．如图所示．因为△ABE≌△ADF，所以BE=DF，∠ADF=∠ABE．在Rt△ADF中，∠ADF+∠AFD=90°，所以∠ABE+∠AFD=90°，在△BFG中，∠ABE+∠AFD+∠BGF=180°，所以∠BGF=90°，所以BG⊥GF，即BE⊥DF．点拨：在推理边角关系时，要注意全等三角形的性质的运用，而问题中BE⊥DF容易被忽视．4．解：一样高．理由如下：因为AC∥A′C′，所以∠ACB=∠A′C′B′，又因为∠ABC=∠A′B′C′=90°，BC=B′C′，所以△ABC≌△A′B′C′（ASA），所以AB=A′B′．点拨：本题也可以把条件中的影子长改成建筑物的高相等，把问题中的建筑物是否一样高改成影子是否一样长，结论同样成立．三、5．解：因为AB⊥BF，ED⊥BF，所以∠ABC=∠EDC=90°，在△ABC和△EDC中，∠ABC=∠EDC，BC=DC，∠ACB=∠ECD，所以△ABC≌△EDC（ASA），所以AB=DE（全等三角形对应边相等）．点拨：本题给出了一种测量河两岸两点之间距离的设计方案，是通过构建全等三角形，利用“全等三角形的对应边相等”把不能直接测量的线段转化为易测的线段，望同学们理解掌握．四、6．解：AA′=BB′．理由如下：因为O是AB′，A′B的中点，所以OA=OB′，OB=OA′，又∠A′OA=∠B′OB，所以△A′OA≌△BOB′（SAS），所以AA′=BB′（全等三角形的对应边相等）．点拨：本题考查全等三角形的判定和性质．7．解：（1）在△ABC和△ADC中，∠1=∠2，AC=AC，∠3=∠4，所以△ABC≌△ADC（ASA）．（2）因为△ABC≌△ADC，所以AB=AD，在△AOB和△AOD中，AB=AD，∠1=∠2，AO=AO，所以△AOB≌△AOD（SAS），所以BO=DO．点拨：本题考查全等三角形的判定和性质．