线性代数——正交矩阵

第四章向量空间§4.1向量空间§4.2向量内积§4.3正交矩阵的标准正交基两组标准正交基间的过渡矩阵正交矩阵及其性质求标准正交基的方法nR【注】1°标准正交基不唯一；2°特点:设是的一组标准正交基,12,,,nnR1111212212221212TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnE则12(cos,sin),(sin,cos)TT例如12,,,nnR0()Tijij1,1,2,,iin12,,,nnR定义1中的n个向量满足(1)两两正交(2)都是单位向量,即则称为的一组标准正交基.12(),n设一、的标准正交基nR二、两组标准正交基间的过渡矩阵设与是的两组标准12,,,n12,,,nnR12(),n12()n正交基,令,由到的过渡矩阵为Q,即=Q,则.EQQT证明：因为=Q,则T=QTT,所以T=QTTQ,又因为12,,,n12,,,n与均为标准正交基,所以T=E,T=E,故.EQQT性质(1)n阶矩阵Q为正交矩阵1;TQQ(2)Q为正交矩阵,则也是正交矩阵;1Q(3)若P,Q都是n阶正交矩阵,则PQ也是n阶正交矩阵;定义2实数域R上的n阶矩阵Q满足,TQQE称Q为正交矩阵.则如果,则Q为正交矩阵.TQQE进而,给出等价定义:(4)Q为正交矩阵,则.1||Q三、正交矩阵及其性质1°若和均是的标准正交基,则过渡矩阵Q是正交矩阵.2°若是标准正交基,Q是正交矩阵,则是标准正交基.3°若是标准正交基,Q是正交矩阵,则是标准正交基.1212()()nnQ小结：设nQ定理设1212()TTnnTnQ,则为正交矩阵为的一组标准正交基.12,,,nnR列向量组12,,,n为的一组标准正交基.nR行向量组例1设是的一组标准正交基,证明是一组标准正交基.123,,3R11211,222123112,6663123111333111263111,26321063Q证明：设则,Q123123,,且,TQQE即Q为正交矩阵,所以123,,是一组标准正交基.例2设A,B为同阶正交矩阵,下面错误的是()(1)A－1为正交矩阵；(2)A*为正交矩阵；(3)AB为正交矩阵；(4)A+B为正交矩阵。答：(4)不正确。例3设,323231313232323132P设三维向量的长度||||＝8,则||P||＝？【注】设,为n维向量,在n阶正交矩阵A的作用下||A||=||||,且T=(A)T(A).向量在正交矩阵A作用下变为A称为正交变换.四、求标准正交基的方法1．施密特正交化方法12,,,s设是Rn中一组给定的基,令11,,1111222TT121121112211TTTsssssssTTTss即112,3,,TiikiikTkkkis,222231111333TTTT……,则是与等价且两两正交的向量组.12,,,s12,,,s2．在一组基的基础上，求标准正交基的步骤：1°用施密特正交化方法,将其化为正交向量组;2°将正交向量组中每个向量单位化(也称标准化).例4已知是的一组基，将其化为标准正交基.1231100,1,11013R解答见书上187页例4。例5设是的一组标准正交基，求的一组标准正交基.1234,,,4R112212,2312(,)L作业:P16214,16,17,18(2),19~24,25(1),26,27,28