1.3.2“杨辉三角”与二项系数的性质

这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)n的，其中（r=0,1,2,……,n）叫做，叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示，该项是指展开式的第项，展开式共有_____个项.rnC展开式二项式系数r+1n+1二项式定理2.系数规律：2.指数规律：（1）各项的次数均为n；（2）二项和的第一项a的次数由n逐次降到0，第二项b的次数由0逐次升到n.1.项数规律：展开式共有n+1个项二项式定理1615201561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)2(a+b)61112113311464115101051(a+b)nCn0Cn1Cn2CnrCnn……表中的每一个数等于它肩上的两数的和一、杨辉三角的规律11rrrnnnCCC012,,,,nnnnnCCCCnba)(1.观察二项式系数表（杨辉三角），你发现杨辉三角中的每一行都具有那些特征？性质1：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.2.在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是A.第15项B.第16项C.第17项D.第18项练习2.在(a＋b)n展开式中，与第k项二项式系数相同的项是A.第n-k项B.第n-k-1项C.第n-k+1项C.第n-k+2项2661.,______.xCCx若则观察杨辉三角11121133114641151010511()ab2()ab3()ab4()ab5()ab1.增减性？左增右减2.在何处取得最大值？性质2：当n是偶数时，展开式有n+1项（n+1是奇数），中间项二项式系数最大.当n是奇数时，展开式有n+1项（n+1是偶数），中间两项二项式系数最大.■名师点拨对二项式系数性质的三点说明(1)对称性：源于组合数的性质“Cmn＝Cn－mn”，基础是C0n＝Cnn＝1，然后从两端向中间靠拢，便有C1n＝Cn－1n，C2n＝Cn－2n，….(2)最大值：①当n是偶数时，(a＋b)n的展开式共n＋1项，n＋1是奇数，这时展开式的形式是中间一项是第n2＋1项，它的二项式系数是Cn2n，它是所有二项式系数中的最大值；②当n是奇数时，(a＋b)n的展开式共有n＋1项，n＋1是偶数，这时展开式的形式是中间两项是第n＋12，n＋32项，它们的二项式系数是Cn－12n，Cn+12n，这两个系数相等，并且是所有二项式系数中的最大值.(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n源于(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cnnbn中令a＝1，b＝1，即得到C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.2）的展开式中，二项式系数的最大值是；是第_______项.3）若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=；9()ab()nab______.1开项项数则n)已知（a+b）的展式中只有第5的二式系最大，n=练习判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．()(2)二项式展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的．()(3)二项展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋…＋Cnn.()×××关于(a－b)10的说法，错误的是()A．展开式中的二项式系数之和为1024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数是非正数解析：选C．根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式第6项中的－b的次数为5次，所以是非正数.(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________.解析：令展开式左、右两边x＝1，得各项系数和为1；各二项式系数之和为26＝64.答案：164考点一、系数或二项式系数的最值问题例1、开项项数开项数项数项n(1+2x)的展式中第6与第7的系相等，求展式中二式系最大的和系最大的.01122(1)nkknnnnnnnxCCxCxCxCx问题1：此展开式二项式系数之和_______________________________.问题2：此展开式系数之和_______________________________.二：求某二项式系数或系数之和（a+x)n的二项式展开各项的系数和求法：只要令自变量为1即可。赋值法求系数和考点二：求二项式展开式二项式系数或系数和.2、（1+2x)3的展开式各项系数之和为多少？1、（1+2x)3的展开式的各项二项式系数之和分别为多少？0122nnnnnnCCCC令x=1,得所求展开式各项系数之和为33=27nnnnnnnnxCxCxCxCCx3322101)(开数项项数数项项数n即在（a+b）的展式中，奇的二式系的和=偶的二式系的和.(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数的和的关系。1.如果3x－13x2n的展开式中各项系数之和为128，那么n的值为()A．7B．8C．9D．10解析：选A．因为展开式中各项系数之和为128，所以令x＝1，得2n＝128，所以n＝7.已知x＋2x2n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大.(1)求该展开式中所有有理项的项数；(2)求该展开式中系数最大的项.解：(1)由题意，可知n2＋1＝6，所以n＝10.所以Tr＋1＝Cr10x10－r22rx－2r＝Cr102rx10－5r2，因为10－5r2∈Z且0≤r≤10，r∈N，所以r＝0，2，4，6，8，10.所以展开式中所有有理项的项数为6.(2)设第r＋1项的系数最大，则Cr102r≥Cr－1102r－1，Cr102r≥Cr＋1102r＋1，即2r≥111－r，110－r≥2r＋1.解得193≤r≤223.因为r∈N，所以r＝7.所以展开式中系数最大的项为T8＝C71027x－252＝15360x－252.1.x－1x11的展开式中二项式系数最大的项是()A．第6项B．第8项C．第5，6项D．第6，7项解析：选D．由n＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.2.已知x2＋1xn的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为()A．5B．10C．20D．40解析：选B．因为x2＋1xn的二项展开式的各项系数和为32，所以令x＝1得2n＝32，所以n＝5.所以x2＋1x5的二项展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cr5(x2)5－r1xr＝Cr5x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，故二项展开式中x4的系数为C25＝10.3.已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________.解析：依题可得a0＋a2＋a4＝－(a1＋a3＋a5)＝16，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.答案：－2564.若C2n＋620＝Cn＋220(n∈N*)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________.解析：由C2n＋620＝Cn＋220可知n＝4，令x＝－1，可得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝34＝81.答案：815.已知14＋2xn的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展开式中二项式系数最大的项的系数.解：由C0n＋C1n＋C2n＝37，得1＋n＋12n(n－1)＝37，得n＝8.14＋2x8的展开式共有9项.其中T5＝C48144(2x)4＝358x4，该项的二项式系数最大，系数为358.