09逻辑代数基础-数字部分

电子技术－数字部分信电学院电工电子教学部二零零七年八月第一章逻辑代数基础•概述•1.1基本概念、公式和定理•1.2逻辑函数的化简方法•1.3逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换•小结另一状态一种状态一、逻辑代数（布尔代数、开关代数）逻辑：事物因果关系的规律逻辑函数:逻辑自变量和逻辑结果的关系),,(CBAfZ逻辑变量取值：0、1分别代表两种对立的状态高电平低电平真假是非有无……1001概述二、二进制数表示法1.十进制（Decimal）--逢十进一数码：0~9位权：012341051041031021012.二进制（Binary）--逢二进一数码：0，1位权：2)1011(01232121202110)12345(i10i22101210510710310410110)75143.(2)11101.(2101221212120213.八进制（Octal）--逢八进一数码：0~7位权：8)41.37(2101818487834.十六进制(Hexadecimal)--逢十六进一数码：0~9,A(10),B(11),C(12),D(13),E(14),F(15)位权：i8i1616)7F2A.(210116151671610162任意(N)进制数展开式的普遍形式：iiNkDikiN—第i位的系数—第i位的权5.几种常用进制数之间的转换(1)二-十转换：将二进制数按位权展开后相加2)11.101(21012212121202110)75.5(25.05.014(2)十-二转换：整数的转换--连除法210)()26(26213余数206213202110111010除基数得余数作系数从低位到高位210)()1258.0(1101.00.812521.625021.250020.5000取整1100.62500.2500乘基数取整数作系数从高位到低位小数的转换--连乘法快速转换法：拆分法(26)10=16+8+2=24+23+21=(11010)2若小数在连乘多次后不为0，一般按照精确度要求(如小数点后保留n位)得到n个对应位的系数即可。21.00001168421(3)二-八转换:82)()11110110(25757(4)八-二转换:每位8进制数转换为相应3位二进制数28)()47.31(011001.100111每3位二进制数相当一位8进制数28)()64375.(011111101.110100082)()110001.0000111001(002341.062（5）二-十六转换：每4位二进制数相当一位16进制数16210)()()26(101011AA1（6）十六-二转换：每位16进制数换为相应的4位二进制数216)()6C.AF8(0001216)()F2.8DE(01111111.0101001101101011.000101001111)()100.011011011(1622.6B10000000编码：用二进制数表示文字、符号等信息的过程。二进制代码：编码后的二进制数。用二进制代码表示十个数字符号0~9，又称为BCD码（BinaryCodedDecimal）几种常见的BCD代码：8421码余3码2421码5211码余3循环码其他代码：ISO码，ASCII（美国信息交换标准代码）三、二进制代码二-十进制代码：0十进制数1234567898421码余3码2421(A)码5211码余3循环码00000001001000110100010101100111100010010011010001010110100010011010101111000000000100100011010010111100110111101111011100000001010001000101010101111000100111001101110111111111001001100111110011101010权842124215211几种常见的BCD代码1.1.1基本和常用逻辑运算一、三种基本逻辑运算1.与逻辑：当决定一事件的所有条件都具备时，事件才发生的逻辑关系。功能表1.1基本概念、公式和定理灭灭灭亮断断断合合断合合与逻辑关系开关A开关B灯Y电源ABY真值表（Truthtable）逻辑函数式与门（ANDgate)逻辑符号与逻辑的表示方法：ABY&000100011011ABBAY功能表灭灭灭亮断断断合合断合合ABYABY2.或逻辑：决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。BAY或门（ORgate)或逻辑关系开关A开关B灯Y电源真值表逻辑函数式逻辑符号011100011011ABYABY≥13.非逻辑：只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，事件一定发生的逻辑关系。真值表逻辑函数式AY逻辑符号非门（NOTgate)非逻辑关系1001AY1开关A灯Y电源RAY二、逻辑变量与逻辑函数及常用复合逻辑运算1.逻辑变量与逻辑函数在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值不是1就是0。逻辑函数：如果输入逻辑变量A、B、C∙∙∙的取值确定之后，输出逻辑变量Y的值也被唯一确定，则称Y是A、B、C∙∙∙的逻辑函数。并记作CBAFY,,原变量和反变量：字母上面无反号的称为原变量，有反号的叫做反变量。逻辑变量：(1)与非逻辑(NAND)(2)或非逻辑(NOR)(3)与或非逻辑(AND–OR–INVERT)(真值表略)1110ABY100011011CDABY3AB&1YBAY210002.几种常用复合逻辑运算ABY1Y2Y1、Y2的真值表AB2Y≥1AB&CD3Y≥1(4)异或逻辑(Exclusive—OR)(5)同或逻辑(Exclusive—NOR)(异或非)AB=14YBABABAY4011000011011AB=15YBAY5=A⊙BABY4ABBA100100011011ABY53.逻辑符号对照曾用符号美国符号ABYABYABYAYAY国标符号AB&BAYA1AYABYABBAY≥1国标符号曾用符号美国符号AB&BAYABYABYABYAB=1BAYABYABYABYABBAY≥1或：0+0=01+0=11+1=1与：0·0=00·1=01·1=1非：1001二、变量和常量的关系(变量：A、B、C…)或：A+0=AA+1=1与:A·0=0A·1=A非：0AAAA11.1.2公式和定理一、常量之间的关系(常量：0和1)三、与普通代数相似的定理交换律ABBAABBA结合律)()(CBACBA)()(CBACBA分配律ACABCBA)()()(CABABCA[例1.1.1]证明公式))((CABABCA[解]方法一：公式法CBBACAAACABA))((右式BCABACABCBCA)1(左式BCA证明公式))((CABABCA方法二：真值表法(将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中)ABCCBBCABACA))((CABA0000010100111001011101110001000100011111000111110011111101011111相等四、逻辑代数的一些特殊定理BABABABA同一律A+A=AA·A=A还原律AA[例1.1.2]证明：德摩根定理AB00011011BABA00011110ABBA110010101110BABABA011110001000相等相等德摩根定理将Y式中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”原变量换成反变量，反变量换成原变量五、关于等式的三个规则1.代入规则：等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。例如，已知BABA(用函数A+C代替A)则BCABCABCA)(2.反演规则：不属于单个变量上的反号应保留不变运算顺序：括号乘加注意:Y例如：已知)(1CDCBAY)()(1DCCBAYCDCBAY2CDCBAY)(2反演规则的应用：求逻辑函数的反函数则将Y式中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”原变量换成反变量，反变量换成原变量已知则运算顺序：括号与或不属于单个变量上的反号应保留不变Y3.对偶规则：如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等。将Y中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”)()(1DCBCAY)(1CDCBAYCDCBAY2CDCBAY)(2例如对偶规则的应用：证明等式成立0·0=01+1=10AAAA1)(对偶式Y运算顺序：括号与或六、若干常用公式BAAB(1)ABA(2)BAA(3)CAABBCCAAB(4)ABBABABA(5)CAAB(6)AAA)()(BBA)1(BA))((BAAA))((CABAAABACABA推广BCAACAAB)(左BCAABCCAABCAAB公式(4)证明：CAABBCDCAAB推论ABBABABABABA左)()(BABABBABBAAAABBA公式(5)证明：即BA=A⊙B同理可证CAABBCCAABAABABAA⊙B七、关于异或运算的一些公式异或同或BABABABAABA⊙B(1)交换律ABBA(2)结合律)()(CBACBA(3)分配律)(ACABCBA(4)常量和变量的异或运算AA1AA00AA1AA(5)因果互换律如果CBABCA则有ACBBA=A⊙BBAA⊙B一、标准与或表达式)(A,B,CFYCBABCACABABCCAAB1.2逻辑函数的化简方法1.2.1逻辑函数的标准与或式和最简式)()(BBCACCAB标准与或式标准与或式就是最小项之和的形式最小项1.最小项的概念：包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。)(A,BFY(2变量共有4个最小项)BABABAAB)(A,B,C,DFY(4变量共有16个最小项)(n变量共有2n个最小项)DCBADCBA…DABC…ABCDDCBA)(A,B,CFY(3变量共有8个最小项)CBACBACBABCACBACBACABABC1CBA1CBA对应规律：1原变量0反变量2.最小项的性质：0000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000000000001010011100101110111ABCCBACBACBABCACBACBACABABC(1)任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1；ABC001ABC101(2)任意两个最小项的乘积为0；(3)全体最小项之和为1。3.最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用mi表示。对应规律：原变量1反变量0CBACBACBABCACBACBACABABC00000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m74.最小项是组成逻辑函数的基本单元CAABA,B,CFY)(BCACBAABCCAB3176mmmmm7,6,3,1任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都可以表示成为最小项之和的形式。)()(BBCACCABY