材料力学课件-第四章-扭转

MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage1第四章扭转§4-1引言§4-2扭力偶矩计算与扭矩§4-3圆轴扭转横截面上的应力§4-5圆轴扭转变形与刚度计算§4-7非圆截面轴扭转§4-8薄壁杆扭转§4-4圆轴扭转破坏与强度条件§4-6简单静不定轴MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage2外力：作用面垂直于杆轴线的力偶，称为扭力偶，扭力偶之矩称为扭力偶矩或扭力矩。变形：各横截面绕轴线作相对旋转，轴线仍为直线。轴：以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。受扭杆件的外力及变形特征§4-1引言MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage3工程中的扭转问题传动轴MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage4§4-2扭力偶矩计算与扭矩1.轴的动力传递已知传动构件的转速与所传递的功率，计算轴所承受的扭力矩。（弧度）牛顿米）（弧度）牛顿米）nTTW2((（秒）牛顿米）（秒）千瓦）601000(60(PPW牛顿米）(9549260000nPnPT解:计算一分钟的功W从扭力矩看从电机看两式得扭矩MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage52扭矩与扭矩图扭矩：矢量方向垂直于横截面的内力偶矩，并用T表示。符号规定：矢量方向(按右手螺旋定则)与横截面外法线方向一致的扭矩为正，反之为负。BAMmmMMAmmxT扭矩扭力矩!MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage6例：画扭矩图。ABC2MM3MAC2M2TMM12TMM2MTx扭矩图：扭矩(T)随轴线位置(x)变化的图线。在AB和BC段分别切开，分别考察左与右段平衡（设正）12TM2TMAB段：BC段：画扭矩图。注意：扭矩图与受扭轴对齐，标注正负号。MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage71Txmx2Tml32Tml例：画扭矩图(m：单位长度的扭力偶矩)。AB段：BC段：CD段：•试与轴力图比较，考察对应关系。/2ll/2lABDCm3Mmlxx1()TxTx2mlml在AB、BC和CD段分别由三截面切开，考察左（或右）段平衡画扭矩图MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage8对应的拉压问题轴力图ABDCm3MmlNFql2qlxTx2mlmlq3Fql/2ll/2lMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage9§4-3圆轴扭转横截面上的应力分析方法：几何、物理、静力学三方面。关键是几何方面：问题：横截面应力大小、方向、分布均未知，仅知合成扭矩T。连续体的静不定问题。合理假设截面上各点变形的规律：实验观测连续体的变形协调条件(数学公式)MMTM12)(),(rfr几何方面：截面上各点变形的规律静力学方面：合成扭矩等于扭力矩MdArTA),()(),(rGfr物理方面：变形与应力之间的关系MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage10一、试验与假设纵线：倾斜同一角度并保持直线。2.扭转平面假设各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。圆周线：形状、大小与间距均不改变，仅绕轴线相对旋转。1.实验观测这一假设为建立单参数的变形协调公式提供了依据。MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage11二、扭转应力的一般公式取楔形体O1O2ABCD为研究对象微段扭转变形1.几何方面（截取楔形体）MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage121.几何方面'tanddadddx'dddaddx由此得其中MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage132.物理方面ddxGdGdx考察：扭转切应力分布规律与成正比，垂直于半径•纵截面上存在切应力MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage14AdATPTI3.静力学方面圆轴扭转切应力的一般公式。dAOT2AdGdATdx2pAIdA极惯性矩定义：PdTdxGI扭转角变化率dGdx公式中还有哪些量未被确定？MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage15maxPPTRTIIR三、圆轴扭转最大切应力OmaxRPPIWR定义：抗扭截面系数maxPTW最大扭转切应力发生在圆轴表面MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage162dAd/2442P/22(1)32DdIdDdD3P4(1),16WD•空心圆截面dDd四.极惯性矩与抗扭截面系数•实心圆截面0设4P,32DI3P16DW2pAIdAMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage17圆轴扭转应力小结公式的适用范围：圆截面轴；maxp外部变形平面假设物理方程(应力应变关系)静力学条件(平衡方程)横截面上剪应力PTI切应变ddx求出截面常数完全确定切应变分布dxd剪切胡克定律MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage18薄壁圆管的扭转切应力1、精确计算——按空心轴的计算办法2、近似计算管壁薄——假设切应力沿管壁均匀分布R1R2当R0/10时，足够精确T=AR0A2R0202TRMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage19切应力互等定理切应力互等定理在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或离开交线。0zM1101dydxdzdxdydzxyzdydxdzdydz1dydz1将所取微体置于坐标系下，研究其平衡MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage20切应力互等定理的几点推论•矩形截面角点上的切应力为零。•纵截面上存在切应力•受扭轴横截面边缘上任一点的切应力方向与该点的切线方向一致（即边缘切应力平行于周边）MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage21§4-4圆轴扭转强度条件与合理设计一、扭转失效与扭转极限应力扭转极限应力扭转屈服应力，塑性材料扭转强度极限，脆性材料subMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage22maxPmaxTWunmaxpmaxTW二、圆轴扭转强度条件许用切应力：maxPTW等截面圆轴：强度条件：安全因数n[][]与关系详细讨论见第九章工作应力：等截面与非等截面轴塑性材料：=（0.5－0.577）脆性材料：=（0.8－1.0）tMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage23思考：竹竿扭转破坏沿纵向还是沿横向开裂？MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage24思考：是否是愈大愈好？0/R三、圆轴合理截面与减缓应力集中空心轴实心轴dA0R1.合理截面形状maxPmaxTW增大pW为了合理利用材料，应做成空心的MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage252.采用变截面轴与阶梯形轴截面尺寸突变配置过渡圆角MMMM3.减小应力集中在截面尺寸突变或急剧改变处，会产生应力集中，因此在阶梯轴交界处，宜配置适当尺寸过度圆角以减小应力集中。MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage26§4-5圆轴扭转变形与刚度计算微段dx的扭转变形一、圆轴扭转变形公式相距l的两横截面的扭转角PdTdxGIPTddxGIPllTddxGI长l常扭矩等截面圆轴PTlGI圆轴截面扭转刚度GIpMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage27PdTdxGI二、圆轴扭转刚度条件PmaxTGI刚度条件:()/m单位长度许用扭转角：工程常用单位等截面圆轴:PmaxTGIrad/m:扭转角沿轴线的变化率单位dxd/mπ180m/rad1注意注意单位换算:一般传动轴，[]=0.5~1/mMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage28例：已知轴的尺寸，，，计算总扭转角，校核强度与刚度。解：1、画扭转图（与轴位置对齐），确定危险截面。可能危险截面A、Bx2MMABT2MTxaxaaaadD3M2MmaABMMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage29a4444402M2a32323232TxMaMaMadxDDDDdGGGG(分4段计算)2、总扭转角Tx2MMABT2MTxaxaaaadD3M2MmaABMMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage30maxmax334max2:,:11616MMABDD3、强度校核（危险截面A和B）x2MMABT2MTxaxaaaadD3M2MmaABMMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage31maxmax444max2:,:13232MMABDD4、刚度校核注意单位换算设计轴，可按，分别设计，取较大者x2MMABT2MTxaxaaaadD3M2MmaABMMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage32max602120NTml解：最大扭矩发生在B端（危险截面）lABm例：，均布力偶矩，设计实心轴直径30MPa,1/m2lm60Nmm,80GPa,mGdMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage33max3116Td127.311mmdmax4232TdG130.588mmd31mmd设计实心圆轴直径d。a、根据强度条件b、根据刚度条件lABm取max120NTMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage34Tmx331116PxWdl33161mxxxdl0dxdx,2lxmax36427mldmax32mlld例：求最大切应力。解：思考：危险截面在何处？比较：d2dxlmMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage35作业：习题4-1(a)(d)、4-54-12、4-18MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage36§4-6简单静不定轴MabCAB例：圆轴两端固定在刚性墙面上，中部作用一集中扭力偶，其矩为M，抗扭刚度GIp,,求两端的扭矩。两个未知数：MA与MB一个方程：MA＋MB＝M扭转静不定问题如何解？MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage37MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage38MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage39例图示组合轴，承受集度为m的均布扭力偶，与矩为M=ml的集中扭力偶。已知：G1=G2=G，Ip1=2Ip2。试求：圆盘的转角。解：1.建立平衡方程沿截面B切开,画受力图MECHANICSOFMATERIALSBUAAPage402.建立补充方程(a),021mlTTMBBxBB21－变形协调条件未知力偶矩－2，平衡方程－1，一度静不定lBxGIxT0p111d)()()(11xlmTxTBMECHANICSOFMATERIALSBUAAPage41联立求解平衡（a)与补充方程(b)，p22p2222GImlGIlTBBB圆盘转角为3.扭矩与圆盘转角2121p11mllTGIBBp222GIlTBB(a),021mlTTMBBxlBxGIxT0p111d)()()(11xlmT