减肥的数学建模

数学建模论文学院：电子与信息工程专业：计算机科学与技术班级：083班2减肥的数学模型摘要本文建立了减肥的数学模型，从数学的角度对有关身体肥胖的规律做进一步的探讨和分析。在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，在研究能量与运动之间的关系时，得到直接关系，就得求微分方程。本文利用了微分方程模型求解实际问题，根据基本规律写出了平衡关系式，再利用一定的转换条件进行转化为简单明了的式子，求解出结果。【关键字】：微分方程转化能量转换系数肥胖指数能量平衡原理一、问题提出随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断地提高。由于营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已成为全社会关注的一个重要问题.3无论从健康的角度还是从审美的角度，人们越来越重视自己形体的健美，从而导致目前社会上出现了各种各样的所谓“减肥药品”，“减肥食品”及名目繁多的健美中心。你如何对待减肥问题？试建立模型，从数学的角度对有关的规律做进一步的探讨和分析。二、背景知识肥胖通常是用肥胖指数（TheBodyMassIndex）来测量的。肥胖指数是一个体重与身高的比率，它被认为是大多数人身体脂肪的合理反映。肥胖指数的计算是体重（公斤）比上身高（米）的平方（kg/m2）。WHO的BMI参考标准为：低于18.5为轻体重，18.5-24.9为正常体重，25-29.9为超重（over-weight），大于30为肥胖（Obesity）。适用人群为：18至65岁的人士。儿童、发育中的青少年、孕妇、乳母、老人及身型健硕的运动员除外。临界点的划定依据是，BMI超过该点，不良健康结果的风险会显著提高。世界卫生组织认为BMI指数保持在422左右是比较理想的。但是这个BMI是基于美国的数据制定的，在不同人种间不一定普遍适用，基本上各国都有自己的BMI值。澳洲的BMI正常范围是20-24.9，超重的范围是25-30，BMI大于30界定为肥胖。我们中国人也有自己的BMI参考标准：低于18.5为轻，18.5-23.9为正常，24-27.9为超重，大于等于28为肥胖。但又有研究指出，BMI大于22.6的中国人，其平均血压、血糖、甘油三酯水平都比BMI小于22.6的人高，而有益于人体的高密度脂蛋白胆固醇水平却较低。因此中国人的体重最佳值应该在18.5—22.6之间，BMI指数大于22.6就是超重。根据中国生理科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南知：（1）每日膳食中，营养素的供给量是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准。如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将对身体产生不利的影响。（2）人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志。（3）人们热能需要量的多少，主要决定于三个方面：维持人体基本代谢所需要的能量、从事劳动和其他活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用（将食物转化为人体所需的能量）所消耗的能量。（4）一般情况下，成年男子每一千克体重每小时平均消耗热量为4200焦耳（J）。（5）一般情况下，食用普通的混合膳食，食物的特殊动力作用所需要的额外的能量消耗相当于基础代谢的10%。三、问题分析本问题要建立减肥的数学模型，减肥是一个比较长期和不定的过5程，因此要用数学的方法对减肥这一问题建模，就需要选定一个测量肥胖的标准量，因为人体的脂肪是能量的主要贮存和提供的方式，而且也是减肥的主要目标。因此，我们以人体脂肪的重量作为体重的标志。已知脂肪的能量转换率为100﹪，每千克脂肪可以转换为4.2×10^7焦耳/千克，称为脂肪的能量转换系数。肥胖主要是体现在人的身体上，减肥其实就是将人的体重降下来，所以归根到底，研究减肥就是要研究体重的变化，因此在减肥过程中我们要对人的体重进行持续的检测，可以将人体的体重看成是时间t的函数w(t)。在减肥的过程中，无论是由于进食摄取能量导致体重的增加，还是由于体力活动消耗能量致使体重的减少，异或还有其他一些不可预知的因素，这都是一个渐变的过程。所以我们认为能量的摄取和消耗都是随时发生的。而不同的活动对能量的消耗是却不同的。所以我们在建模的过程中需要设定一个参数用来表示某种活动消耗的人体能量。记r为某一种活动每小时所消耗的能量，记b为1千克体重每小时所消耗的能量。四、模型假设1．假设以人体脂肪的重量作为体重的标志。2．假设体重随时间的变化w(t)是连续而且充分光滑的。3．假设在单位时间人体的能量消耗与其体重成正比。4．假设人体每天摄入的能量是一定的。记为A。5．假设在研究减肥的过程中，我们忽略个体间的差异(年龄、性6别、健康状况等)对减肥的影响。6．假设单位时间内人体由于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量正比于人的体重。五、符号说明D；脂肪的能量转化系数W（t）：人体的体重关于时间的t的函数。r：每千克体重每小时运动所消耗的能量（kcal/kg）/hb：每千克体重每小时所消耗的能量（kcal/kg）/hA：每天摄入的能量B：每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗六、模型建立与求解如果以1天为时间的计量单位，于是每天基础代谢的能量消耗量应为B=24b（kcal/d）,由于人的某种运动一般不会是全天候的,不妨假设每天运动h小时,则每天由于运动所消耗的能量应为R=rh(kcal/d),按照假设2，体重随时间的变化w(t)是连续而且充分光滑的。我们可以在任何一个时间段内考虑由于能量的摄入与消耗引起人的体重的变化。按照能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量之差。我们选取某一段时间(t，t+△t)，在(t，t+△t)内考虑能量的改变：设体重改变的能量变化为△W,则有7△W=[w(t+△t)-w(t)]D设摄入与消耗的能量之差为△M，则有△M=t]tRB-[A）（）（根据能量平衡原理，有△W=△M即：t]tRB-[A(t)]D-t)(t[）（）（取0t,可得0daddt，（0）=(1)其中a=A/D,d=(B+R)/D,t=0(模型开始考察时刻),即减肥问题的数学模型模型求解有dtdt0ateed（）=+（1-）(2)如果把B理解为以减肥为目的的能量的消耗，则方程(1)就给出了一个减肥的数学模型。m=A/D表示由于能量的摄入而增加的体重，而n=(B+R)/D表示由于能量的消耗而失掉的百分数(每单位体重中由于基础代谢和活动而消耗掉的那部分)。在式（2）中假设a=0，即假设停止进食，无任何能量摄入。于是有-dt0et）（或dt0et）（8这表明在t时刻保存的体重占初始体重的百分率由dte给出，称为（0，t）时间内的体重保存率，特别当t=1时，de给出了单位时间内体重的消耗率，它表明在（0，t）时间内体重的消耗率，它表明在（0，t）内体重减少的百分率，可见这种情况下体重的变化完全是体内脂肪的消耗而产生的，如此继续下去，由0tlimt）（，即体重（脂肪）将消耗殆尽，可知不进食的节食减肥方法是危险的。（3）a/d是模型中的一个重要的参数，由于a=A/D表示由于能量的摄入而增加的体重，而d=（B+R）/D表示由于能量的消耗而失掉的体重,于是a/d就表示摄取能量而获得的补充量,综合以上的分析可知,t时刻的体重由两部分构成,一部分是初始体重中由于能量消耗而被保存下来的部分.另一部分是摄取能量而获得的补充部分,这一解释从直观上理解也是合理的.(4)由式(1.1)0dtd即a/d,体重从0递减,这是减肥产生效果,另外由式(1.2)可以看到t时R)A/(Ba/d(t)*,也就是说式(1.1)的解渐进稳定于a/d*,它给出了减肥过程的最终结果,因此不妨称*为减肥效果指标,由R)A/(B*，因为B是基础代谢的能量消耗，它不能作为减肥的措施随着每个人的意愿进行改变，对于每个人可以认为它是一个常数（非常数，即通过调整新城代谢的方法来减肥），于是就有如下结论：减肥的效果主要是由两个因素控制的，包括由于进食而摄入的能量以及由于运动消耗的能量，从而减肥的两个重要措施就是控制饮食和增加运动量，这恰是人们对减肥的认识。人体体重的变化时有规律可循的，减肥也应科学化，定量化，这9个模型虽然只是揭示了饮食和锻炼这两个主要因素与减肥的关系，但它们对人们走出盲区减肥的误区，从事减肥活动有一定的参考价值。七、模型分析通过对减肥问题的数学建模，我们有如下的结论：减肥的效果主要是由两个因素控制的：由于进食而摄取的能量以及由于活动而消耗的能量。从而减肥两个重要措施就是控制饮食和增加活动量，当然这也没有超出通常我们对减肥的认识。根据背景知识，我们知道任何人通过饮食摄入的能量不能低于用于维持人体正常生理功能所需要的能量。因此作为人体体重极限表明能量的摄入过低并致使无法维持他本人正常的生理功能的所需。这时减肥所得到的结果不能认为是有效的，它将危机人的身体健康，是危险的。另外人们为减肥所采用的各种体力活动对能量的消耗也有一个人体所能承受的范围，这表明减肥的效果是有控制饮食和增加消耗综合作用、相互协调的结果。八、模型评价实际上，减肥的过程比模型所描述的要复杂得多，这个模型只是为了总结出饮食和锻炼这两个主要因素与减肥的关系，有助于人们走出盲目减肥的误区，树立科学健康减肥的观念。至于对减肥的更深入的分析还有赖于进一步构建更详细的模型。10九、参考文献[1]徐全智、杨晋浩.数学建模.高等教育出版社.2004[2]王敏生王庚,现代数学建模方法,北京,科学出版社2006[3]罗万成，大学生数学建模案例精选，成都，西南交通大学出版社，2007年。[4]戴朝寿等，数学建模简明教程，北京，高等教育出版社，2007年。注:图片来源为百度文库