球体内任何点的稳定温度分布

球体内任何点的稳定温度分布林的（物理与电信工程学院08物理学3班20082301065）引言：物体的温度分布规律是热学中经常研究的问题之一，而在热学中，当一个球体表面处在温度保持在一定规律时，其各个部分温度按一定规律分布，但是该球体内部的温度分布通常不可直接测量，而我们需要掌握导体内部温度变化规律。在数学物理方法课程中，我们可通过分离变量法用于处理这种球体内稳定温度分布的问题。本文就此通过分离变量法对该问题进行了探究，同时做出导球体内部任何点的稳定温度分布变化图形，将该模型完好的表达了出来。模型：设有半径为1的球体，其整个表面上的温度分布保持为2cos12u。求在球内任何点的稳定温度分布u。解：上述问题可归纳为下列定解问题：0u，10r,21cos12ru。球坐标下的拉普拉斯方程为0sin1sinsin11222222urrrrurr由于方程的自由项及定解条件中的均与变量无关，所以可假设所求的解函数只有r、两个变量有关，而与变量无关，因此，02。则定解问题可化为0sinsin11222urrrurr，10r，①21cos12ru。②利用分离变量法求解：令rRru,代入方程①，得0cot121''''''2rrRrRrrR则krRrrRrRr''''''2cot2③取)1(nnk，则③可分解为0)1(2'''2rRnnrrRrRr④0)1(cot'''nn⑤由勒让德方程的定义可得⑤是勒让德方程，其通解为)(cos)(cos21nnQDPD⑥由问题的物理意义，函数,ru应是有界的，于是也应有界。因此，只有当n为整数时，方程⑤在区间[0，π]内才有有界解)(cosnnP，其中)(cosnP（n=0,1,2，…）就是方程⑤在自然边界条件)(,)0(下的固有函数系。而方程④是欧拉方程，其通解为)1()(nnnnnrDrCrR因为u有界，所以)(rRn也应有界，故0nD，即nnnrCrR)(运用叠加原理，设原问题的解为)(cos,0nnnnPrCru⑦由边界条件②得)(coscos12021nnnrPCu⑧令xcos，则⑧可化为)(1202xPCxnnn⑨于是，有112)(12212dxxPxnCnn⑩当n为奇数时，因被积函数为奇函数，则0)(12112dxxPxn当n为偶数时：0n时，812)(121121102dxxdxxPx2n时，516132112)(1211221122dxxxdxxPx2n时，11221121!212)(12dxxdxdxndxxPxnnnnn11211112112121!212dxxdxdxxdxdxnnnnnnnn01!2361!2361123311222nnnnnnnnxdxdndxxdxdn将上述结果代入⑩，则得412211120dxxC,8516252C,0nC2,0n将上面算得的系数值代入⑦，则得所求定解问题的解为)(cos8)(cos4,220PrPru)4cos12(422r)cos31(4222rr。该球体内任何点的稳定温度分布的解的图像如下所示：结论：球体内部的稳定温度分布呈现出椭球形状，具有高度对称性，并且其内部有部分点没有温度分布，即为零。