数学文化

付雨楼讲高考数学1数学文化【高考命题规律】谈到数学文化，往往会联想到数学史.确实，宏观地观察数学，从历史上考察数学的进步，确实是揭示数学文化层面的重要途径.但是，除了这种宏观的历史考察之外，还应该有微观的一面，即从具体的数学概念、数学方法、数学思想中揭示数学的文化底蕴.数学文化是数学的一个重要组成部分.教育部考试中心公布了[2016]第179号文件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》，对数学增加了数学文化的要求.这一文件的公布，是从考试命题的角度第一次非常正式地明确要求要把数学文化渗透入数学试题，那么未来高考数学命题肯定会遵照执行，定会有所体现，故要求考生注重这方面知识的积累，注重实际应用.可以有针对性地训练有一定传统文化含量的数学题目，如带有函数、数列、立体几何、算法等内容的古代数学问题.所以2018年仍旧会出一道与数学文化有关的题.【基础知识整合】中国古代著名数学著作：1、《张丘建算经》：最小公倍数的应用、等差数列各元素互求以及“百鸡术”2、《四元玉鉴》：多元高次方程列式与消元解法、高阶等差数列求和与高次内插法3、《黄帝九章算经细草》：贾宪三角，高次幂开方4、《数书九章》：作者秦九韶，“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术”（高次方程数值解法）5、《九章算术注》：作者刘徽，《九章算术注》中所蕴涵的科学思想可谓极其深邃.逻辑思想、重验思想、极限思想、求理思想、创新思想、对立统一思想和言意思想等均是其科学思想的真实体现.①在数系理论方面用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法.②在筹式演算理论方面先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵.③在勾股理论方面逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析.④在面积与体积理论方面用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题.数学文化主要考点：算法、数列、立体几何、统计概率、圆锥曲线【高考真题研究】（2017全国卷Ⅰ理2）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）付雨楼讲高考数学2(A)14(B)π8(C)12(D)π4（2015全国卷Ⅰ理6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛（2014湖北卷理8）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式21.36VLh它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275VLh相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）(A)227(B)258(C)15750(D)355113【名题精选，提升能力】算法类1、秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图1所示，若输入的012,,,,naaaa分别为0,1,2,,n，若5n，根据该算法计算当2x时多项式的值，则输出的结果为（）(A)248(B)258(C)268(D)2782、如图2的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,,abi的值分别为6,8,0，则输出,ai的值分别为（）(A)2,4(B)2,5(C)0,4(D)0,5付雨楼讲高考数学3图1图23、公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图3是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（）(参考数据：0031.732,sin150.2588,sin7.50.1305)(A)12(B)24(C)48(D)964、秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图4所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3，每次输入a的值均为4，输出s的值为484，则输入n的值为（）(A)6(B)5(C)4(D)3图3图45、宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图5是源于其思想的一个程序框图，若输入的a、b分别为5、2，则输出的n（）付雨楼讲高考数学4(A)2(B)3(C)4(D)56、如图6，下边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“mMODn”表示m除以n的余数），若输入的,mn分别为485，135，则输出的m（）(A)0(B)5(C)25(D)45图5图6数列类7、在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.问几天后两鼠相遇？（）(A)2217(B)3217(C)5217(D)1248、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）钱(A)54(B)43(C)32(D)539、我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高3尺，菀草第一天长高1尺.以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第________________天，蒲草和菀草高度相同.（已知lg20.3010,lg30.4771，结果精确到0.1）付雨楼讲高考数学510、“珠算之父”程大位是我国明代伟大数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”（［注释］三升九：3.9升次第盛：盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（）(A)1.9升(B)2.1升(C)2.2升(D)2.3升11、我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一个，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和，恰好1斤.问原来持金多少？”若将题中“5关所受收税金之和，恰好重1斤.问原来持金多少？”改成“假设这个人原来持金为x，按此规律通过第8关”，则第8关需收税金为__________x12、我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法（“少广”算法），其方法的前两步如下，第一步：构造数列11111,,,,,234n.①第二步：将数列①的各项乘以2n，得到一个新数列123,,,,naaaa.则1223341nnaaaaaaaa等于（）(A)24n(B)214n(C)14nn(D)+14nn几何类13、祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等，设,AB为两个同高的几何体，:,pAB的体积不相等，:,qAB在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件14、祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，其中小正方形边长为1，用一个与该几何体的下底面平行相距为付雨楼讲高考数学6(02)hh的平面截该几何体，则截面面积为（）(A)4(B)2h(C)2(2)h(D)2(4)h15、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有邹亮，下广三丈，茅四仗，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3仗长4仗；上棱长2仗，高一丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该锲体的三视图给出右图所示，齐总网格纸小正方形的边长1丈，则该锲体的体积为（）(A)5000立方尺(B)5500立方尺(C)6000立方尺(D)6500立方尺16、《九章九术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABCABC中，ACBC，若12AAAB，当阳马11BAACC体积最大时，则堑堵111ABCABC的体积为（）(A)83(B)2(C)2(D)2217、《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即2222221[()]42cabSca.现有周长为225的ABC满足sin:sin:sin(21):5:(21)ABC，试用以上给出的公式求得ABC的面积为（）付雨楼讲高考数学7(A)34(B)32(C)54(D)5218、《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积21()2弦矢矢.弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差.现有圆心角为23，弦长等于9米的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为__________（实际面积弧田面积）19、在公元前3世纪，